5.4 复数的几何表示 教案-湘教版数学选修2-2

【教学设计】
一、教学主题： 复数的几何表示
二、学生分析：
由于本节课是复数的最后一节课，在此之前，学生们已经学习了复数的相关概念和运算，而本节课所需的向量又是高一所学的内容，因此学生们并不陌生，在课堂上能比较好的完成老师布置的任务。
三、教学目标：
知识与技能：了解复数的几何表示，应用复数的几何表示解决相关问题。
过程与方法：在学习复数的几何表示时，充分认识人类理论思维的能动性。
情感、态度与价值观：在掌握知识的同时，培养学习的信心。
四、教学环境
1、简易多媒体教学环境（ ）；
2、交互式多媒体教学环境（ √ ）；
3、网络多媒体教学环境（ ）；
4、其他（ ）。
五、信息技术应用思路：
本节课是复数的几何表示，既然和几何扯上关系了，那自然离不开图形的展示，在图形的呈现上本人主要利用了几何画板在白板上进行作图。在相关概念、例题、练习、归纳小结等的展现上，本人主要是利用白板进行课件的展示，可以说在复习引入、讲授新课、例题讲解、归纳小结、作业布置等各个环节都用到了白板进行课件展示，利用多媒体进行课件的展示，不仅节约了时间，还扩充了课堂内容，提高了教学效率。而在图形的相关展示上，比如例题1的对应点、复数的向量表示以及例题2复数和向量的相互转换，利用白板的可操作性和几何画板的强大的作图能力进行展示，使得课堂生动、有趣，教学难点得到有效的突破，更好的服务于教师的教学，从而收到良好的效果。
六、教学流程设计：
教学环节
教师活动
学生活动
信息技术支持（资源、方法、手段等）
复习引入
1.\* MERGEFORMAT是什么？
\* MERGEFORMAT（—1）
2.复数\* MERGEFORMAT，其中\* MERGEFORMAT表示什么？
3.复数能比较大小吗？
复数相等满足的条件？
思考
回答
白板展示课件
讲授新课
【思考】实数可以看成是特殊的复数（虚部为零的复数）。另外，由复数相等的意义可以知道复数由实部和虚部唯一确定，那么复数集还有什么性质和特点呢？复数有什么作用呢？
【探究】复数的性质和特点
实数可以判定相等与否 复数可以判定相等
类
不等的实数可以比较大小 不等复数不可以比较大小
比
实数可以进行四则运算 复数可以进行四则运算
…… ……
问：除了以上讲到的相等，大小比较，四则运算，实数集还有些什么性质和特点？
1.实数的几何意义
在几何上，我们用什么来表示实数？
我们知道实数可以用数轴上的点来表示
一一对应
实数 数轴上的点
（数） （形）
实数的几何模型：
注：规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴
【想一想】类比实数的几何表示，可以用什么来表示复数？
一个复数由什么唯一确定？
由复数相等的意义可以知道复数由实部和虚部唯一确定
2.复平面、实轴、虚轴：
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
例1．在复平面画出下列复数的对应点
（1） ５； （2） －5i； （3） ２+５i ；（4） －３+4i；
（5） ２－5i； （6） －３－4i；
【问】这些点有什么特殊？

3.共轭复数
实部相同，虚部相反数\* MERGEFORMAT

【问】如果将图中OZ相连，再给它一个方向，那么，这是谁？
（1）复平面内的点平面向量
（2） 复数平面向量
即复数可以用向量来表示，因此，向量的模叫做复数的模，记作\* MERGEFORMAT或\* MERGEFORMAT
所以，\* MERGEFORMAT\* MERGEFORMAT
思考
回答
思考
回答
思考
回答
思考，
并动手在方格纸上作答，之后回答老师问题
白板展示课件
在几何画板上绘制相关点
在几何画板上绘制相关图像
例题讲解
例1．求下列复数的模
（1） ５； （2） －5i；（3） ２+５i ；（4） －３+4i；
（5） ２－5i； （6） －３－4i；
【思考】（1）满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
（2）满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？

设z=x+yi(x,y∈R)，则\* MERGEFORMAT\* MERGEFORMAT
所以，这些点在一个以原点为圆心，5为半径的圆上



例2．如图，已知OACB是复平面上的平行四边形，O是原点，A,B分别表示复数4+i,3+4i，M是OC,AB的交点。求C,M表示的复数
解：由于分别表示4+i,3+4i,
\* MERGEFORMAT代表的复数为(4+i)+(3+4i)=7+5i，即C表示的复数
\* MERGEFORMAT代表的复数为\* MERGEFORMAT 即M表示的复数
例3．已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由\* MERGEFORMAT得\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
变式训练一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，∴m=1或m=-2

变式训练二：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。
证明：若复数对应的点位于第四象限，则
\* MERGEFORMAT 即\* MERGEFORMAT，不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限
学生思考，并动手解题
学生思考，并动手解题
学生思考，并动手解题
在几何画板上绘制相关图像
在几何画板上绘制相关图像
归纳小结
与老师一同回顾本节所学知识
白板展示课件
课后作业
课本第106页 习题3. 1 A组1，2，3，4
学生自己完成作业题目
白板展示课件
七、教学特色：
本节课是复数的几何表示，它将代数、平面几何、平面向量、平面解析几何中有关内容进行了一次大集合，不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数、向量、解析几何完美地统一了起来。既然是和几何有关，那自然离不开几何画板的应用了，通过白板和几何画板的完美配合，使得学生对复数的几何表示有一个较为直观的视觉感受，在难点的突破上，让学生自己亲自动手上来画图，即增加了学生学习的趣味性，又体现了新课改理念，通过师生的合作与努力，从而扫清了在这一知识形成过程中的思维障碍，使学生在温故了旧知识后，又发现了新知识，从而实现教学目标。