6.2.2间接证明：反证法_教案-湘教版数学选修2-2

间接证明：反证法

【教学目标】
1．掌握间接证明的一种基本方法：反证法。
2．熟练运用反证法解决具体问题。
3．亲历反证法的探索过程，体验分析归纳得出反证法的思考过程、特点，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】
重点：掌握反证法思考过程、特点。
难点：反证法思考过程、特点的实际应用。
【教学过程】
一、直接引入
师：今天这节课我们主要学习间接证明的一种基本方法：反证法，这节课的主要内容有反证法的特点，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解反证法内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习反证法的含义，它的具体内容是：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例1：如图6-12所示，直线false平行于平面false是过直线false的平面，平面false与false相交于直线false.求证：直线false平行于直线false。


解析：
证明 ：假设命题的结论不成立，即“直线false不平行于直线false”。由于直线false，false在同一平面false中，且直线false，false不平行，则直线false，false在同一平面false中，且直线false，false不平行，则直线false，false相交.设交点为false，又点false在直线false上，故点false在平面false上. 所以，直线false与平面false相交于点false。这与条件“直线false平行于平面false”矛盾. 因此，假设不成立，故原命题成立。
例2： 求证false是无理数
解析：用反证法证明如下：
反设 假设false是有理数，不妨设false，false。
归谬 由反设有false，故2必是false的因数，于是可设falsefalsefalse，所以false，故2又是false的因数，因此false，false有公因数2，这与false，false为互质的正整数相矛盾。
结论 假设false是有理数不成立，故false是无理数。
在应用反证法证题时，必须按“反设一归谬一结论”的思路进行，这就是应用反证法的三步曲，但叙述上可以简略每一步的名称。
例3：若false，求证：false。
解析：证明 假设false，则
false
false
false false。
又false，false，矛盾，故假设不成立。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：若false，求证：false。
解析：证明 假设false，则
false
false
false false。
又false，false，矛盾，故假设不成立。
三、课堂总结
（1）这节课我们主要讲了哪些内容？
（2）它们在解题中具体怎么应用？
四、习题检测
已知直线false，false和平面false，若false，且false. 求证：false。