6.3 数学归纳法 教案-湘教版数学选修2-2

<数学归纳法>教学设计
【教学内容剖析】
《数学归纳法》是湘教版选修教材2—2第六章第三节内容，本节课是第一课时。前面学生已经学习了推理与证明的各种方法，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。
【教学目标确定】
1、知识和技能
(1)
了解数学归纳法的原理；
(2)
掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；
(3)
会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、过程与方法
通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感态度价值观
通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
【教学重点和难点】
　　根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下：
教学重点：
（1）使学生理解数学归纳法的实质
。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用[]
教学的难点：
（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．
因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。
为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当时，命题成立；（2）假设时，命题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．
【教学条件支持】
利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．
【教学过程设计】
一、问题导入[]
在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.
在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性．
问题：数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？
探究一：
多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
（1）使第一张牌能倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定
导致后一块倒下。
分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）证明当取第一个值时,命题成立.
（归纳奠基）
分析2：根据“假设某一块骨牌倒下，那么必定导致后一块骨牌倒下。”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）假设时命题成立,证明当时命题也成立.
（归纳递推）
分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.
二、.数学归纳法概念的形成
数学归纳法:
对于一些与正整数有关的命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：
（1）证明当取第一个值时,命题成立；（归纳奠基）
（2）假设时命题成立,证明当时命题也成立；（归纳递推）[]
根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.
探究二：
数学归纳法的关键点是什么？
问题1：略
通过问题1得出关键点1
关键点1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.
问题2：略
通过问题2得出关键点2
关键点2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
三、.数学归纳法的应用
1、
尝试应用数学归纳法解决问题，所以本题选取了教材练习的题目。在本题证明中，如果有学生出现直接套用公式解决的同学，就及时强调第二步证明中核心———必须用到归纳假设。教会学生归纳法的步骤。
2、课堂练习两个小题，使得学生了解到怎样验证初始值和证明k到k+1时增加的项目
四．课堂小结
（1）理解数学归纳法的原理
（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。[]（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。
五．课后作业：
书本第132页：练习1