6.3 数学归纳法(1) 教案-湘教版数学选修2-2

数学归纳法
教材背景：
归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数false有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．
教材分析：
“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：等式不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的的应用的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过上一节课的讲解，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。
教学目标
1、知识和技能目标
(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）
(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。
(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式、整除、几何等问题。
2、过程与方法目标
通过对数学归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感态度价值观目标
通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
教学重点和难点
教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质 。
（2）掌握数学归纳法证题步骤。
教学难点：
（1）数学归纳法的原理的应用；
教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法
教学过程：
（一）复习引入
数学归纳法定义：
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。
其格式主要有两个步骤、一个结论:
（1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确；（验证初始条件）
（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；（假设推理）
（3）由（1）、（2）得出结论. （点题）
设计意图：复习回顾知识点，对数学归纳法的应用可以信手拈来。
（二）新课讲解
1、数学归纳法应用举例：
(1)数学归纳法证明等式问题：
例：是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论
解:令n=1,2,并整理得
以下用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,
false
故当n=k+1时,结论也正确.
根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
设计理念：本例题是探索性问题，从实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论。
(2)数学归纳法证明整除问题：
例 ：用数学归纳法证明:
当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立
(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.
则当n=2k+2时,有
false
都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.
由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
设计理念：能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
2、分组训练（讨论）：
（1）用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，
则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明: ①当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1)·d=a1,
∴ 当n=1时，等式成立

②假设当n=k时等式成立， 即 ak=a1+(k-1)d
则当n=k+1时
ak+1 = ak+d
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d
∴当n=k+1时，等式也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
（2）用数学归纳法证明 1+3+5+…+(2n1)=n2
证明: ①当n=1时
左＝1，右＝12＝1
∴n=1时，等式成立
② 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]
=k2+2k+1
=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立
由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
3、课堂练习
（1）
（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1
（3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1
设计理念：通过分组讨论得出结论，最后展示学生的成果，是学生获得成功的喜悦，从而促使学生对数学产生趣味性、快乐性。
3．基础反馈
（三）、课堂小结
(1) 本节的中心内容是数学归纳法的应用;
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归纳法和不完全归纳法二种;
(3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行;
(4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明必须要利用假设的结论。
（四）课后练习及探究:
1.资料P27习题2.1第4题，第5题。
2.上网查阅利用数学归纳法证明几何问题。
设计理念：培养学生的探索精神，养成学生终身学习的精神。
课后反思：
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．
3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．