6.3数学归纳法--教学设计-湘教版数学选修2-2

课题：数学归纳法（一）（湘教版数学选修2-2第6章第三节）
支撑本节课的高效课堂理念：
课堂教学是实现教学目标、促进学生发展的主渠道，是学生获取新知识、形成学习能力的主阵地，是教师实践教学理念、展示教学技能的平台.高效的有价值的课堂应该有意义和有效率，即有效的、常态的、和谐的、连续的，才是对学生的学习和发展有意义的课堂.数学归纳法是一种用于证明与正整数n有关的命题的证明方法，为了使学生能了解新的知识产生的来龙去脉，最好是强化数学归纳法产生过程的教学，并让学生参与进来.
一、教学内容解析
数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。湘教版教科书把数学归纳法安排在选修2—2第三章推理与证明中，教学时间为2课时，此教案为数学归纳法的第一节课。在此之前，学生已通过数列的内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题猜想或者发现数学规律的重要手段。但是由有限个实例得出结论的推理只是合情推理，而合情推理得出的结论未必正确。因此为了弥补这一不足，我们必须学习严谨的科学论证方法——数学归纳法！它是促进学生从有限思思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力和抽象思维能力的好素材！
1.重点：掌握数学归纳法证明题目的步骤，掌握数学归纳法的一些应用.
2.难点：应用数学归纳法第二个步骤中从k到k+1的变化情况分析.
二、教学目标解析
（一）知识与技能
1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2．培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法.
（二）过程与方法
1.以“多米诺现象”做类比创设问题情境，引导学社亲身经历数学发现与数学证明的全过程，感悟并掌握从观察到归纳猜想再到证明的数学思想方法.
2.通过例题的讲解与习题的训练让学生较熟练的使用数学归纳法证明一些简单的数学命题，形成严谨的数学归纳思维.
（三）情感态度与价值观
数学是关于无穷的科学，数学归纳法是数学中处理无穷问题的重要方法，在数学归纳法的学习过程中，进一步培养学生严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系.
三、学情诊断分析
学生通过推理与证明前两节的学习，已经基本掌握了归纳推理，且已经具备了一定的观察、归纳、猜想能力。初次接触数学归纳法时,学生往往难以理解,会怀疑数学归纳法证明的可靠性或者只是形式上的模仿而不知其所以然, 所以结合教学内容的特点，本节主要采用“探究式学习法”进行教学。
四、教学策略选择
在教学方法上，采取师生共同讨论、探索、训练和实践的方法. 通过演示“多米诺骨牌”，进行类比联想，形成概念，经历从现实生活中抽象出数学原理的过程，体会归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用. 在应用时，通过展示学生的作业，暴露书写问题，加以纠正，加深学生印象.
五、教学程序设计
（一）创设情境，启动思维
1.复习提问，引出背景
（1）归纳推理的基本特征是什么？由个别事实概括出一般结论.
（2）综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？
2.师生互动，引导探究
归纳推理的应用：
举例一：费马猜想（不完全归纳），证明一个猜想或结论不成立，只需举一个反例。
举例二：观察下列等式
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜想可以引出什么规律？
分析：
举例三： 已知数列{}的第一项 且 , 试归纳出这个数列的通项公式.
分析：通过计算前4项，归纳出通项公式.
观察这些例子的相似之处.
举例二、三得到的两个结论都是与正整数n有关的数学命题，在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？
归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综合法，分析法和反证法虽可证明某些结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个与归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的“黄金搭档”.
3.类比联想，形成概念
观察与联想:举例三是由前一个值推导下一个值的，一个推一个，很像多米诺骨牌游戏.
?背景材料：多米诺骨牌游戏
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或_??????_制成的长方形_é?¨???_。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。
（播放多米诺骨牌视频，让学生直观感受，有冲击感）
?让学生总结：多米诺骨牌游戏的原理
（1）推倒第一块骨牌；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块骨牌倒下时一定能碰倒后一块骨牌.
只要满足这两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下.
用数学语言来表述，条件（1）表示取初始值，条件（2）给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
现在我们就能类比多米诺骨牌游戏解决与正整数n有关的数学命题的证明问题！在数学上，我们称之为数学归纳法.
（二）、讲解新课，理解应用
1.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:
（1）证明当取第一个值（例如或2等）时结论正确；（递推的基础）
（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确；（递推的依据）
根据（1）和（2），可知命题对从开始的所有正整数都正确。
上述证明方法叫做数学归纳法.概括起来就是“两个步骤，一个结论。”
强调一点：数学归纳法证题时这两个步骤缺一不可，只有把两个步骤中的结论结合起来，才能断定命题成立.
2.数学归纳法的应用（讨论交流，深化认识）
题型一：用数学归纳法证明等式
? 证明：.
证明：（1）当_1__时，等式左边=_1_，右边=，等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即,
那么，当时，左边==
=
即当时，等式也成立，
根据（1）、（2），可得等式对正整数成立，即.
注意：1、第二步一定要用到归纳假设；
2、看清从k到k＋1中间的变化；
3、两个步骤，一个结论 ，缺一不可.
? 已知数列{}的第一项 且 , 试归纳出这个数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
题型二：用数学归纳法证明不等式
例1、求证对于任何非负整数，都有（投影学生练习，指出不足）
分析：初始值 n＝0.初始值不一定要取1，即使用第一步骤时，并不一定每次都从n=1开始，也可以从某个别的正整数开始，但这个正整数必须是要证公式的第一项.
例2、求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
分析：由n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加后3项减少第1项，而不等式右边的值不变，因此，只需证明左边这四项的代数和非负即可．
六、小结与回顾
(三)、课堂小结（归纳总结，加深理解）师生共同完成
1．数学归纳法是一种证明某些与正整数有关的命题的方法．
2．数学归纳法的两步密切相关、缺一不可．
3．运用数学归纳法证明第二步时，一定要利用归纳假设．
特别提示：
(1)(归纳奠基)是递推的基础．找准n0.
(2)(归纳递推)是递推的依据．设n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k＋1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明．
第二步中证明n＝k＋1命题成立是全局的主体，力求详细，不可随意省略.
方法：“凑”成n＝k时的形式(这样才好利用归纳假设)．
(3)第三步是总体结论，也不可少．
(四)、布置作业
1、课本P132 习题6 2、4 课本P141 14
七、目标检测设计
?自测自评（反馈练习，巩固提高）
1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式(　B　)A. B. C. D.
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　C　) A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．6
3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(B　　)
A. B. C. D.
4．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明(　B　)
A．n＝k＋1时命题成立 B．n＝k＋2时命题成立
C．n＝2k＋2时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立
5．用数学归纳法证明等式的过程如下：
①当n＝1时，左边＝，右边＝，等式成立．
②假设时，等式成立，即.
则当时，，
所以当时，等式也成立．
由①②知，对任意，等式成立．
上述证明中的错误是________________．没用上归纳假设
八、课后反思
高效的有价值的课堂应该有意义和有效率，即有效的、常态的、和谐的、连续的，才是对学生的学习和发展有意义的课堂。
数学归纳法是一种用于证明与正整数n有关的命题的证明方法。为了使学生能了解新的知识产生的来龙去脉，最好是强化数学归纳法产生过程的教学，并让学生参与进来.所以在教学方法上，采取师生共同讨论、探索的方法.先设计问题情境，提出数学问题，如何证明与正整数n有关的猜想是否成立，然后通过“多米诺骨牌”的视频，揭示“多米诺骨牌”效应产生所具备的两个条件，然后类比“多米诺骨牌”效应产生的条件来构建数学模型，继而用数学语言写出数学归纳法原理. 学生在问题的带动下，进行较主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出数学原理的过程，体会归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.在应用时，通过展示学生的作业，暴露书写问题，加以纠正，加深学生印象.从实际效果来看，学生感受到学习新知识的必要性和重要性，理解了数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系.
不足之处：例题的处理不大恰当，不用追求量多，但求质好，针对某些例题，要黑板板书证明过程，让学生规范格式；教学语言需要更准确；“多米诺骨牌”的视频的背景音乐会影响学生注意力，选择时尽量排除不必要的干扰.时间把握不好，在举例时花了太多时间，要注意及时调整。对部分内容可以处理得更好些.
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