用二阶导数判断极值 教案-湘教版数学选修2-2

用二阶导数判断极值
教学设计

一、教材分析
《用二阶导数判断极值》是湘教2003课标版高中数学选修2-2（理科）（2005年8月第1版）“多知道一点”的内容，它位于教材第四章第三节第二小节《函数的极大值和极小值》之后，属于拓展性内容。
《用二阶导数判断极值》是在学生学习了利用导数研究函数的单调性和极值之后，利用导数工具研究函数性质的又一实例，在其余版本的教材中没有这部分内容，但二阶导数在高考中（如函数的“凹凸性”等）及用导数研究函数的过程中（如“二次求导”等）经常用到，所以有必要补充这一内容。这不仅有助于学生进一步认识和理解导数的工具性作用，还有助于借助二阶导数更快更好地解决有关函数问题。
函数极值的定义为判断可导函数极值提供了方法，即先求一阶导数为零的根（驻点），再判断导函数在驻点附近的符号（正负）是否发生变化。如果导函数在驻点附近的符号（正负）不发生变化，则驻点不是极值点；如果导函数在驻点附近的符号（正负）发生变化，则驻点是极值点。判断导函数在驻点附近的符号（正负）是否发生变化，一般是采用列表或者画导函数图象的方法，但列表的过程比较繁琐，有时导函数的图象不容易画出。二阶导数为解决这类问题提供了新的视角，即抓住二阶导数的正负与一阶导数单调性之间的关系，直接判断在导函数零点处的单调性，从而判断极值情况。用二阶导数判断极值与用定义判断极值在原理上一致，利于学生理解和掌握。
从联系初等数学与高等数学的角度看，用二阶导数判断极值起着承上启下的作用。在高等数学中，利用二阶导数判断函数极值有三个充分条件，利用极值的定义是第一充分条件，本节内容是第二充分条件。在现行教材中，略去了“连续”及“极限”理论，本节课涉及到的很多细节问题，需要学生到高校后进一步学习研究，本课没有细究，只留了一道选做题供学有余力的学生课后思考。
二、学情分析
我所教的高2019届1班的学生基础较好，有比较好的学习习惯。针对“用二阶导数判断极值”的学习所必须的要素分析如下：
1.知识储备。
学生在本章已经学习了导数的概念及几何意义，会求常见函数的导数，会利用导数研究函数的单调性及用定义判断函数的极值。
2.认知能力。
优势：通过导数的概念、几何意义及利用导数研究函数的单调性等知识的学习，知道了函数在某点的导函数值反映了曲线在该点处切线的斜率；通过本章内容的学习，具备了一定的观察、猜想、抽象、归纳及自然语言、符号语言、图形语言的认识和转换的能力。
不足：本课内容的综合性较强，难度较大，需要大量的数学抽象和逻辑推理，需要综合应用到数形结合、分类讨论等思想方法，这正是学生的“软肋”。在本课的学习中，寻找的仅仅是充分条件，而非必要条件，一阶导数为零且二阶导数也为零的点不一定不是极值点（如false在false处），这里虽然可以类比一阶导数为零的点不一定是极值点，但学生总体感觉“绕”，是难点，理解容易产生困难。
3.心理基础。
二阶导数是一阶导数的导数，可以与导数研究函数的性质类比，学生并不陌生，用二阶导数判断极值依旧是处理极值问题，学生对此比较熟悉，有亲切感。充分把握二阶导数的概念，由二阶导数的符号反推一阶导数及原函数图象的特征，学生有探究的欲望。在学习的过程中需要让学生明白，用定义可以求函数的极值为何还要学习用二阶导数判断极值，及这两种方法之间的联系。
三、教学目标
◆【知识与技能】
1、理解二阶导数的符号（正负）与一阶导数的单调性及原函数的“凹凸性”之间的关系；
2、理解利用二阶导数判断函数false在false处取得极值的充分条件，掌握利用二阶导数判断极值的原理与方法。
◆【过程与方法】
1、通过研究二阶导数的符号（正负）与一阶导数的单调性、二阶导数的符号（正负）与原函数的“凹凸性”之间的关系、二阶导数值的符号（正负）与对应极值点的关系等问题，培养学生数学抽象、逻辑推理等学科核心素养。
2、在探究的过程中渗透化归与转化、特殊与一般、数形结合、分类讨论的思想方法，积累基本经验。
◆【情感态度价值观】
通过小组合作探究，激发学生的探究热情，培养学生勇于探究、理性思维的科学精神。
四、教学重难点
◆【教学重点】探究二阶导数的符号（正负）与一阶导数的单调性、二阶导数的符号（正负）与原函数的“凹凸性”之间的关系，二阶导数值的符号（正负）与对应极值点的关系，提炼用二阶导数判断极值的原理与方法。
◆【教学难点】利用二阶导数判断函数false在false处取得极值的充分条件的探究过程，false是否为零的发现与处理。
五、教法学法
1、二阶导数的概念由具体问题引发的认知冲突中引出。通过对二阶导数概念的深入剖析，二阶导数的符号（正负）反映其一阶导数的信息与其原函数的信息，为后面的学习探究奠定基础。
2、先通过具体实例，引导学习先独立观察极值点与其对应的二阶导数值的符号（正负）的关系，再小组合作探究，合情推理一般性的结论，并从图象的角度加以解释，这样符合学生的认知规律。再从二阶导数值的符号（正负）与极值点的关系出发，通过增减条件的方式，寻找false是false的极值点的充分条件，突破难点，进而归纳用二阶导数判断极值的方法与步骤。
3、充分发挥学生主体地位，通过一系列问题串，充分调动学生的积极性与探究热情，通过画图、分享、小组合作、小组讨论等活动，充分交流、表达自己的观点，以此促使学生主动学习。在活动中习得基础知识、基本方法，在活动中积累基本活动经验。
4、利用“智慧课堂”系统及时掌握学生课堂学习情况，向解答错误的学生有针对性地推送类型试题，实现精准教学与学习的个性化学习与精准学习。
六、教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环
节
一
情
境
导
入
，
激
活
思
维
出示问题1（2013年高考全国Ⅱ卷改编）：
求函数falsefalse的极值。
组织学生自主解答、分享解答过程。
独立完成，利用平板提交解答过程。
倾听、思考、交流、订正答案。
交流解题过程中遇到的问题、该问题的不同的解答方法等。
该问题有一定的难度，但解答方法较多。可以通过画两个导函数的图象，由图象得到导函数的零点及零点附近导函数的符号，得到极值；也可以直接利用二级结论，得到导函数的单调性，从而画出导函数的图象，得到极值；也可以把导函数看作一个新的函数，通过对新的函数求导，得到导函数的单调性，画出草图，得到极值。
把导函数看作一个新的函数，再对这个新的函数求导，便是本节课要研究的二阶导数问题，由此导入新课。
环
节
二
：
剖
析
概
念
，
深
化
理
解
根据引例的解答过程，引导学生尝试给二阶导数下定义。
利用平板随机抽人回答。
引导学生类比一阶导数，思考研究二阶导数的目的是什么。
利用平板随机抽人回答。
引导学生思考二阶导数的符号（正负）能反映其一阶导数的什么信息。
利用平板随机抽人回答。
出示过渡问题，引导学生完成选择题。
由此引导学生思考二阶导数的符号为负时原函数的特征。
先
通过平板公布答案，反馈的正答率等信息，引导学生交流讨论。
引导同学们观察二阶导数为负时原函数的图象特征。
通过平板抢答。
引导学生小组合作，画出二阶导数为正时，一阶导数及原函数的大致图象。
以小组为单位通过平板提交所画图象。
引导学生观察二阶导数为正时原函数的图象特征。
引导学生从二阶导数与一阶导数、一阶导数与原函数的关系角度解释图象特征。
总结二阶导数的正负能反映原函数的“凹凸性”特征。
交流分享。
交流分享。
交流分享。
思考，作答，利用平板提交答案。
答错和答对的同学谈自己的见解。
观察、思考、归纳。
抢答。
画图。
小组合作，交流讨论，通过平板上传所画图象。
小组代表交流分享。
交流分享。
交流分享。
听讲、笔记。
通过引例的问题情境及解答过程，引导学生尝试给二阶导数下定义。提高学生的语言表达能力。
通过随机抽问的方式，让每一位积极参与课堂。
从学生熟知是问题背景出发，引导学生明白研究二阶导数的目的与意义，促进学生有意义学习。
深入剖析概念，抓住概念的本质特征。
问题设置由浅入深，从具体到抽象，符合学生的认知规律。
继续深入剖析概念。
给足学生的思考时间，在学生的交流分享中理解问题。
结合具体图象，观察、思考、归纳概括，提高学生把握本质属性的能力。
增强课堂气氛，调动学生积极参与课堂的情绪。
通过学生画图，在活动过程中积累活动经验，把握图象的特征。
提高分析问题的能力及语言表达能力。
从感性到理性，引导学生理性思考问题。提高分析问题及处理综合问题的能力。
结合二阶导数为负与二阶导数为正两方面的情况，水到渠成地得到“凹凸性”。
环
节
三
：
数
学
应
用
，
升
华
概
念
引导学生完成两个具体问题。
通过平板拍照讲解。
引导学生先独立观察、思考、猜想二阶导数的符号（正负）与对应的极值点有什么联系。
引导学生结合函数图象解释上面的猜想。
向学生说明：该猜想的正确性是通过画图说明的，并不是一个严格的论证，严格的论证到大学里面去学习。
引导学生思考，在已知极值点的前提下，由二阶导数的正负能得到极值情况。但在实际问题中，并不一定知道极值点，往往只知道导函数值为零，需要判断是否是极值点。在导函数为零的条件下，需要添加一个关于二阶导数的什么条件，使得导函数为零的点是极值点。
通过平板随机抽人回答。
引导学生总结，二阶导数的符号（正负）与函数极值的关系。
通过平板拍照讲解。
引导学生完成典型例题（学案上的问题8）。通过平板对比过程，引导学生点评。
独立思考、完成。
红笔订正。
先独立观察、思考、猜想，再小组交流内讨论。
小组代表交流分享、补充完善。
以小组为单位画图。
通过平板提交图象。
小组代表交流分享，补充完善。
思考、分享导函数为零的点一定是极值点吗？
思考、分享在导函数为零的前提下，添加一个关于二阶导数的什么条件能使导函数为零的点是极值点。
交流分享，并说明理由。
独立完成学案上的表格。
红笔订正，明确取极值的条件。
独立完成典型例题。
通过平板拍照上传，学习别人的解答过程，交流点评。
先从具体的问题出发，低起点，符合学生的认知规律。
提高学生观察、猜想、提出问题的能力。
提高学生语言表达的能力。
从感性到理性，尝试通过图象解释。
小组合作学习，提高学生的探究热情。
指出这里的解释是数形结合在验证，严格的证明需要到大学中学校，提高学生的学习热情。
由具体问题出发，从学生熟知的问题入手，所有知识在最近发展区发展，符合学生的认知规律。
两种不同前提，符合教学逻辑。
通过添加条件的方式，符合学生的认知规律，突破难点。
提高学生的语言表达能力与逻辑思维能力。
独立思考、及时总结。
培养学生规范书写的习惯和意识。
学生自主点评，提高学生应用知识的能力，归纳用二阶导数判断极值的方法及注意点。
环节
四：
当堂
检测
，
及时
反馈
引导学生独立完成学案上的问题9。
通过平板对比讲解，引导学生点评、量化打分。
独立完成。
通过平板上传答题情况。
学习别人的解答过程，交流点评。
量化打分，及时反馈情况。
学生独立思考问题，提高分析问题、解决问题的能力。
学生自主评价，提高语言表达的能力及综合应用知识的能力。
量化打分，实现及时反馈。
环节
五：
回顾
小结
，
理清
脉络
引导学生归纳总结通过本节课的学习，掌握了哪些知识？学会了哪些方法？经历了怎样的研究过程？获得了什么体会？还有什么疑问？
学生交流分享。
从本课所涉及到的知识、方法、过程等角度梳理本节课的内容，谈心得体会，谈疑问等。
提高学生的语言表达能力，归纳概括能力。总结相关知识，概括方法，梳理基本活动过程，谈心得体会，使本课知识与方法成为有机整体，疑难问题等成为课后思考的素材。
环节
六：
分层
作业
，
延伸
思维
布置当堂作业与课后推送内容。
课后完成分层作业及相关课后推送内容。
满足不同层次学生的学习需求。
七、课后反思
1.落实学生的主体地位，重视学生基本活动经验的积累。
在本课的教学中，落实学生的主体地位。课题的引入源于学生的认知冲突及解题过程，所有结论的得到源于学生的操作、交流、分享、讨论、点评等。在学生活动中，注重学生的观察、猜想、归纳，通过环环相扣的学生的活动，学生在活动中不断积累基本活动经验，知识与方法水到渠成，符合学生的认知规律，符合数学逻辑、教学逻辑和学习逻辑。
2.“智慧课堂”系统为学生多维立体地展示提供了平台。
本课通过平板，利用“智慧课堂”系统，不论是随机抽问、抢答，还是答题情况的展示、及时反馈正答率、智能推送等，为学生更加全面地参与课堂，丰富立体地交流展示，以及更加方便快捷地实现个性化学习提供了平台及可能。