4.3.1利用导数研究函数的单调性 课件-湘教版数学选修2-2（28张PPT）

课题：利用导数研究函数的单调性
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义
来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1　(1)若f(x1)　.
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是减函数
此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
　值，且x1< x2.
(3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1 f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）
= (x1－x2)(x1+x2－4）
则当x1f(x2)，
那么 y=f(x)单调递减。
当20， f(x1) 那么 y=f(x)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）
y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
函数y=x2－4x＋3的图象：
2
y
x
0
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
0
y
x
1
2
-1
-2
单增区间：(-∞，-1)和
（1，+∞）.
单减区间：(-1，0）和
（0，1）.
例2：讨论函数　　　　　的单调性。
那么如何求出下列函数的单调性呢?
发现问题：用单调性定义讨论
函数单调性虽然可行，但十分
麻烦，尤其是在不知道函数图
象时.例如y=2x3-6x2+7.是否有更
为简捷的方法呢？下面我们通
过函数的y=x2－4x＋3图象来考
察单调性与导数有什么关系：
这表明：导数的正、负与函数的单调性密
切相关
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.
如果f′(x)<0,
则f(x)为增函数;
则f(x)为减函数.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R, f′(x)=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x<0或x>2，
则f(x)的单增区间为（－∞，0）和
（2，＋∞）.
再令6x2-12x<0,解得0则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单
调性发生改变.
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为（0，+∞）
当
时，解得
则，函数的单调递增区间为
当
时，解得
则，函数的单调递减区间为
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.
解: 函数定义域为R
f’(x) =ex-1
当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞).
当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
注意：定义域优先，两（或多）部分单调区间的书写。
知识应用
1．应用导数求函数的单调区间
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。
基础训练：
增
变1：求函数 　的单调区间。
理解训练：
求函数 的单调区间。
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为　 　　　函数
(填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。
增
减
既不是增函数
又不是减函数
变2：求函数 的单调区间。
巩固训练：
已知导函数的下列信息：
试画出函数 图象的大致形状。
A
B
x
y
o
2
3
2．应用导数信息确定函数大致图象
练习:P36
设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
B
C