6.3数学归纳法_课件-湘教版数学选修2-2（33张PPT）

数学归纳法
学习目标
1.弄清数学归纳法的适用范围，理解数学归纳法的步骤特点．
2．会用数学归纳法证明与自然数有关的命题．
课前自主学案
温故夯基
个别事物
1．归纳推理的一般步骤
(1)实验、观察：通过观察___________发现某些相同性质．
(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题．
2．用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是应该注意，仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是
__________的．
不正确
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当__________________时命题成立，证明当__________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有________都成立．
上述证明方法叫作_____________
知新益能
n＝k＋1
正整数n
数学归纳法．
n0(n0∈N＋)
n＝k(k≥n0，k∈N＋)
思考感悟
应用数学归纳法时应注意哪些问题？
提示：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．
(2)第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可．　 　
课堂互动讲练
用数学归纳法证明恒等式
考点突破
用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关；由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．
例1
【思路点拨】
【名师点评】　运用数学归纳法证明等式问题应注意当n＝k＋1时添加了哪些项，并明确要证明的目标，以便分析思路，便于入手．
自我挑战1　用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1，
则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1
＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)
＝2k2＋2k＋1
＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，等式成立，
由(1)(2)知，等式对任何n∈N＋都成立．
用数学归纳法证明不等式
(1)在利用数学归纳法证明不等式时，除直接应用不等式性质证明外，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、综合法、放缩法等．
(2)在由假设n＝k时成立，证明n＝k＋1成立时，一定要注意项的变化．
例2
【思路点拨】　先求出当n＝1时不等式左右两边的值，验证不等式成立，然后作出假设：当n＝k时不等式成立，接着令n＝k＋1，将假设得到的结论代入新不等式的左边，将所证不等式左边进行化简．
【名师点评】　用数学归纳法证明不等式、比较大小是高考的重点．用数学归纳法证明不等式的第二步即从n＝k(k≥1)到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，并对照目标式进行恰当的放缩来实现，也可以在归纳假设后用分析法来证明n＝k＋1时不等式成立．
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从所证式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，在这一过程中，拼凑最为关键．
用数学归纳法证明整除性问题
例3
利用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N＋)能被9整除．
【思路点拨】　第一步当n＝1时，可计算(3n＋1)·7n－1的值，从而验证它是9的倍数．第二步要设法变形成为“假设”＋“9的倍数”的形式，进而论证能被9整除．
【证明】　(1)当n＝1时，(3×1＋1)×71－1＝27，能被9整除，所以命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除．
那么当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝(3k＋4)·7k＋1－1＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1
＝[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k＋1＋6·(3k＋1)·7k
＝[(3k＋1)·7k－1]＋7k(21＋6×3k＋6)
＝[(3k＋1)·7k－1]＋9·7k(2k＋3)．
由归纳假设知，(3k＋1)·7k－1能被9整除，而9·7k·(2k＋3)也能被9整除，故[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除．
这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N＋，(3n＋1)·7n－1能被9整除．
【名师点评】　用数学归纳法证明整除问题时，应注意以下几点：
(1)如果a能被c整除，那么a的倍数pa也能被c整除；如果a，b都能被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除．
(2)在推证“n＝k＋1”时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧：a(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1，即加上一项，再减去相同的项．
(3)证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．
“归纳——猜想——证明”的问题是探索性命题，它是通过对特殊情况的观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题并证明所猜结论的正确性，这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．
归纳——猜想——证明
例4
∴n＝k＋1时，猜想也正确．
由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N＋都正确．
【名师点评】　由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后再用数学归纳法证明，用不完全归纳法与数学归纳法相结合是一种重要的解决数列通项公式问题的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak＋1或Sk与Sk＋1之间的关系，使命题得证．
自我挑战3　已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
方法感悟
1．数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”．第二步解决的是延续性问题，称为“归纳递推”．在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．
2．数学归纳法的关键是第二步，即由n＝k成立的假设来证明n＝k＋1时命题也成立，其一般的思路是对n＝k＋1的情况进行变形或转化，使之变为可以利用假设的形式，再应用假设进行推理，构造或配凑是这个过程常用的技巧．
3．运用数学归纳法时易犯的错误
(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．
(2)没有利用归纳假设，归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．