6.3数学归纳法3 课件-湘教版数学选修2-2（20张PPT）

数 学 归 纳 法（一）
复习提问
1.归纳推理的基本特征是什么？
由个别事实概括出一般结论.
2.综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？
综合法：由已知推可知，逐步推出未知.
分析法：由未知探需知，逐步推向已知.
反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明.
法国数学家费马观察到：



于是他用归纳推理提出猜想：
任何形如 的数都是质数（费马猜想）
都是质数，
半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数
F5=
不是质数,从而推翻了费马的猜想
1
2
3
4
要证明一个猜想或结论不成立，只需举一个反例，
要证明它们成立，则需严格证明.
归纳推理应用举例一



那么，你的猜想正确吗？如何证明？
举例二
观察下列等式：
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？
猜想可以引出什么规律？
已知数列{an}的第一项 a1=1, 且
(n=1, 2,…), 试归纳出这个数列的通项公式.
举例三
归纳猜想：
归纳猜想：
特点：举例二、三得到的两个结论都是与正整数n有关的数学命题.在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？
观察与联想:举例三是由前一个值推导下一个值的，一个推一个，很像多米诺骨牌游戏.
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。
游戏启发思维：多米诺骨牌游戏
多米诺骨牌游戏的原理是：
（1）推倒第一块骨牌；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块骨牌倒下时一定能碰倒后一块骨牌.
?两个条件的作用：
条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系.
只要满足这两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下.
用数学语言来表述，条件（1）表示取初始值，条件（2）给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
一、数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:
(1) 证明当n取第一个值______________________时命题成立;
(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当
____________时命题也成立;
根据（1）和（2），就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做_________________．
n0(n0∈N* 例如1或2等)
n＝k＋1
数学归纳法
（递推的依据）
（递推的基础）
二、数学归纳法的应用
?证明：
用数学归纳法证明等式
1
1
k＋1
(k＋1)3
证明:（1）当n=__时，等式左边=___，右边=_____，等式成立；
（2）假设当 n = k(k∈N*)时等式成立,即
那么，当n =______时，左边= +_______
= +_______
=__________________________
即当n=k+1时，等式也成立，
根据(1)、(2)，可得原等式对正整数n成立,即
(k＋1)3
1、第二步一定要用到归纳假设；
2、看清从k到k＋1中间的变化；
3、两个步骤，一个结论 ，缺一不可.
注 意：
二、数学归纳法的应用
已知数列{an}的第一项 a1=1, 且
(n=1, 2,…), 试归纳出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
?
解：归纳猜想：
那么,当n=k+1时，
证明:(1)当n=1时,
猜想成立.
(2)假设n=k时,猜想成立，即
即当 n=k+1时猜想也成立.
根据（1）和（2）可得，对任何n?N*猜想都成立,即
小结
用数学归纳法证明不等式
分析：由n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加后3项减少第1项，而不等式右边的值不变，因此，只需证明左边这四项的代数和非负即可．
二、数学归纳法的应用
求证对于任何非负整数
，都有
分析：初始值 n＝0. 初始值不一定要取1，即使用第一步骤时，并不一定每次都从n=1开始，也可以从某个别的正整数开始，但这个正整数必须是要证公式的第一项.
小结
1．用数学归纳法证明 < n (n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．6
C
自测自评
B
小结
3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)
自测自评
B
4．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设
n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明(　　)
A．n＝k＋1时命题成立 B．n＝k＋2时命题成立
C．n＝2k＋2时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立
B
小结
5．用数学归纳法证明等式1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1
(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明中的错误是________________．
没用上归纳假设
自测自评
小结
用数学归纳法证明整除和几何问题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．
(证明几何问题)平面上有n个圆，其中每两个圆都 相交于两点，并且三个圆都不相交于同一点．
求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．
分析：对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．
分析：证明第二步时，通常需要借助于图形的直观性，说清楚在满足条件的k个圆的基础上，增加了一个圆(第k＋1个圆)后，第k＋1个圆与前k个圆相交，被分成多少段弧，进而说明增加了多少个区域，从而建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．
小结
二、数学归纳法的应用
例4
证明：(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两个部分，
而f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆相交于2k个点．这2k个点把圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两个部分．因此，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，
即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立．
根据(1)(2)可知n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．
点评：利用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，关键要写清楚从“n＝k”到“n＝k＋1”时的变化规律．
二、数学归纳法的应用
例4
【名师点评】　(1)用数学归纳法证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．
(2)用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少．同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系．
小结
二、数学归纳法的应用
1．数学归纳法是一种证明某些与正整数有关的命题的方法．
2．数学归纳法的三步密切相关、缺一不可．
3．运用数学归纳法证明第二步时，一定要利用归纳假设．
三、课堂小结
四、作业
课本P132 习题6 2、4、7
课本P141 14
特别提示：
(1)(归纳奠基)是递推的基础．找准n0.
(2)(归纳递推)是递推的依据．设n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k＋1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明．
第二步中证明n＝k＋1命题成立是全局的主体，力求详细，不可随意省略.
方法：“凑”成n＝k时的形式(这样才好利用归纳假设)．
(3)第三步是总体结论，也不可少．
4.两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能成立；
递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉.
两个步骤一结论；
递推基础不可少；
归纳假设要用到；
结论写明莫忘掉。
祝同学们学习快乐。