第6章 推理与证明 复习课件-湘教版数学选修2-2（47张PPT）

第6章 推理与证明
复习课件
学习目标
1.整合本章知识要点.
2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.
3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.
4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题.
知识梳理
达标检测
题型探究
内容索引
知识梳理
1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.
部分
整体
个别
一般
特殊
特殊
2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理；
② ——所研究的特殊情况；
③ ——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
一般
特殊
大前提
小前提
结论
3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 ：
① 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.
4.数学归纳法
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝ 时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝ 时结论成立，推得当n＝ 时结论也成立.
综合法
分析法
综合法
分析法
反证法
n0
k＋1
k
1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.
(　　)
2.“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(　　)
3.综合法是直接证明，分析法是间接证明.(　　)
4.反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(　　)
[思考辨析 判断正误]
×
×
√
×
题型探究
类型一　合情推理与演绎推理
例1　(1)观察下列等式：
……
照此规律，
答案
解析
答案
解析
解析　题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；
与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.
与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.
答案
解析
(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______.
解析　由题意可知丙不拿2和3.
若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；
若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意.
故甲的卡片上的数字是1和3.
1和3
反思与感悟　(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确.
跟踪训练1　(1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成.
?
通过观察可以发现：第4个图形中有____根火柴棒；第n个图形中有_______根火柴棒.
解析　设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.
通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N*)，
所以an＝3n＋1.
答案
解析
13
3n＋1
(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________________________ _______________________________.
解析　由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，
加减运算类比推理为乘除运算.
累加类比为累乘，
由此，等差数列{an}的性质类比到等比数列{bn}中为：
数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，
若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1.
数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1
答案
解析
类型二　综合法与分析法
证明
证明　方法一　分析法
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立.
方法二　综合法
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
反思与感悟　分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.
跟踪训练2　设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
即需证a2－ab＋b2>ab成立.
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立.
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
所以(a－b)2>0显然成立.
即a3＋b3>a2b＋ab2.
证明
类型三　反证法
证明
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.
反思与感悟　反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.
跟踪训练3　已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.
证明　假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，
从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
证明
类型四　数学归纳法
解答
下面用数学归纳法证明：
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，
那么当n＝k＋1时，
即当n＝k＋1时猜想成立.
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立.
反思与感悟　(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少.
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.
跟踪训练4　观察下列四个等式：
第一个式子　　　　 1＝1
第二个式子 2＋3＋4＝9
第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25
第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
(1)按照此规律，写出第五个等式；
解　第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.
解答
(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明.
解答
解　猜想第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
下面用数学归纳法证明.
①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，
猜想成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，
即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2
＝[2(k＋1)－1]2.
右边＝[2(k＋1)－1]2，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据①②知，猜想对任意n∈N*都成立.
达标检测
1.数列5,9,17,33，x，…中的x等于
A.47 B.65
C.63 D.128
解析　5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
√
1
2
3
4
5
答案
解析
解析
1
2
3
4
5
答案
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析
答案
√
3.若a>0，b>0，则有
解析
4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.
1
2
3
4
5
答案
√
解答
1
2
3
4
5
左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
则当n＝k＋1时，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立.
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
规律与方法
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立.第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.
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