第5章 数系的扩充与复数 复习课件-湘教版数学选修2-2（36张PPT）

第5章 数系的扩充与复数
复习课件
学习目标
1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.
2.理解复数的几何意义.
3.掌握复数的相关运算.
知识梳理
达标检测
题型探究
内容索引
知识梳理
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的
和 .若b＝0，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi为虚数，若
，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴，
叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示
；各象限内的点都表示非纯虚数.
实部
虚部
b≠0
a＝0且b≠0
a＝c且b＝d
a＝c，b＋d＝0
x轴
y轴
实数
纯虚数
|z|
|a＋
bi|
2.复数的几何意义
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝ .
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)
2.原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
3.方程x2＋x＋1＝0没有解.(　　)
[思考辨析 判断正误]
×
×
√
题型探究
类型一　复数的概念
解答
解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.
解答
(2)z是虚数；
解　由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.
(3)z是0.
解　由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
解答
引申探究　
例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由.
解　由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.
反思与感悟　(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
解答
跟踪训练1　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；
解　因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
解答
(2)z为虚数.
解　因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
类型二　复数的四则运算
解答
＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
解答
反思与感悟　
(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化.
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)；
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*).
A.－1＋3i B.1－3i
C.3＋i D.3－i
√
答案
解析
解答
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
解答
类型三　数形结合思想的应用
解答
解　由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
解答
解　由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).
反思与感悟　根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论.
跟踪训练3　在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数 ＋z2对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
答案
解析
达标检测
解析　由已知得x＋xi＝1＋yi，根据两复数相等的条件可得x＝y＝1，
√
1
2
3
4
5
答案
解析
A.1 B.－1
C.i D.－i
解析
1
2
3
4
5
答案
√
3.复数z＝ (a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于
A.2 B.－1
C.1 D.－2
√
1
2
3
4
5
解析
答案
√
根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，
解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
解析
答案
1
2
3
4
5
3＋4i
1
2
3
4
5
解析
答案
1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化.
2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现.
3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.
规律与方法
谢 谢