《课时备课工具——“导评用”案》
第
八
章：
第
3
单元
第
2
课时
共
3
课时
学
科
高一数学
课
型
新授课
课
题
8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
知识梳理
发展数学运算素养
表面积求法
本节知识
直观想象
体积求法
教学重点
表面积和体积求法
教学难点
解决实际问题
板书设计
8.3.2圆柱、圆锥、圆台表面积和体积
一、圆柱表面积、体积
二、圆锥表面积、体积
三、圆台表面积、体积
学习目标
1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究,掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法.
2.会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积.
3.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算,培养数学运算等素养.
核心情境
已有的圆柱、圆锥的基础表面积和体积概念
学习任务一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
学习评价：熟悉公式
教学过程：
例1.如图所示,在边长为4的正△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正△ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.
解析 该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.
令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,
则R=2,r=1,l=4,h=.
所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,
圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1×=2π.
所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2π=(12+2)π.
【巩固训练】
已知圆台的上、下底面半径分别是2、6,且侧面面积等于两底面面积之和.
(1)求圆台的母线长;
(2)求圆台的表面积.
解析 (1)设圆台的母线长为l,
则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62,
∴8πl=40π,∴l=5,
∴该圆台的母线长为5.
(2)由(1)可得圆台的表面积S=π×(2+6)×5+π×22+π×62=40π+4π+36π=80π.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
先确定旋转体的类型,然后根据旋转体的表面积公式计算.
学习任务二：圆柱、圆锥、圆台的体积公式
学习评价：熟悉体积公式
教学过程：
例2. 若已知《学习情境》中的健身哑铃大圆柱的底面半径为6
cm,高为2
cm,连杆圆柱的底面半径为2
cm,高为12
cm.
(1)求该健身哑铃的体积;
(2)求该健身哑铃的表面积.
解析 (1)设该健身哑铃的体积为V,则V=2V大圆柱+V连杆,2V大圆柱=π×62×2×2=144π
(cm3),V连杆=π×22×(12-4)=32π
(cm3),
因此该健身哑铃的体积V=144π+32π=176π
(cm3).
(2)设该健身哑铃的表面积为S,则S=2S大圆柱-2S连杆底面+S连杆侧面积,2S大圆柱=π×62×4+2π×6×2×2=192π
(cm2),2S连杆底面=2×π×22=8π
(cm2),S连杆侧面积=2π×2×(12-4)=32π
(cm2),
则该健身哑铃的表面积S=192π-8π+32π=216π
(cm2).
【巩固训练】
如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AD=3,AB=1,点C到AB与AD的距离分别为1和2,若将ABCD绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.
解析 如图,旋转后得到一个圆锥和圆台的组合体,
V圆锥=π×22×2=π,
V圆台=π×1×(22+12+2×1)=π,
所以所得旋转体的体积V=V圆锥+V圆台=5π.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
方法总结
方法总结
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积,若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解.(2)求以三视图为背景的几何体的体积,应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解
学习任务三：数学运算——空间几何体的有关计算问题
学习评价：解决实际问题
教学过程：
例3.在如图所示的圆锥SO中,母线长为4,且其侧面积为8π.
(1)求该圆锥的体积;
(2)若AB为底面直径,点P为SA的中点,求圆锥面上点P到点B的最短距离.
解析 (1)设底面圆半径为r,周长为l,则l=2πr,
S侧=l·4=·2πr·4=8π,解得r=2,
所以SO==2,
所以V圆锥=·πr2·SO=×π×4×2=.
(2)将圆锥展开为扇形,设圆心角为θ,4θ=4π,则θ=π,
所以圆锥面上点P到点B的最短距离为==2.
【巩固训练】
圆台的上、下底面半径分别为10
cm、20
cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)
解析 如图所示,设圆台的上底面周长为c,上底面半径为r1,下底面半径为r2,因为扇环的圆心角是180°,
所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,
所以AB=SB-SA=20,
所以S表面积=S侧+S上+S下=π(r1+r2)·AB+π+π=π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).
故圆台的表面积为1100π
cm2.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
(1)设底面圆半径为r,周长为l,利用扇形的面积公式求出底面半径,进而求出圆锥的高,利用圆锥的体积公式即可求解.(2)利用弧长公式求出侧面展开图的圆心角,利用两点之间线段最短即可求解.
【当堂检测】
1.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( ).
A.1∶2
B.1∶
C.1∶
D.∶2
解析 设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l=r.∴S侧=πrl=πr2,
S底=πr2,∴S底∶S侧=1∶.故选C.
2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ).
A.7
B.6
C.5
D.3
解析 设圆台较小底面的半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
已知圆锥的底面直径与高都是4,则该圆锥的侧面积为 .?
解析 如图所示,
圆锥的底面直径2r=4,r=2,高h=4,
则母线长l==2,
所以该圆锥的侧面积为πrl=π×2×2=4π.
课堂小结
本节课主要内容：
圆锥、圆柱、圆台的表面积和体积求法
课后作业
课堂反思《课时备课工具——“导评用”案》
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8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
知识梳理
发展数学运算素养
表面积求法
本节知识
直观想象
体积求法
教学重点
表面积和体积求法
教学难点
解决实际问题
板书设计
8.3.2圆柱、圆锥、圆台表面积和体积
一、圆柱表面积、体积
二、圆锥表面积、体积
三、圆台表面积、体积
学习目标
1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究,掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法.
2.会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积.
3.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算,培养数学运算等素养.
核心情境
已有的圆柱、圆锥的基础表面积和体积概念
学习任务一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
学习评价：熟悉公式
教学过程：
例1.如图所示,在边长为4的正△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正△ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.
【巩固训练】
已知圆台的上、下底面半径分别是2、6,且侧面面积等于两底面面积之和.
(1)求圆台的母线长;
(2)求圆台的表面积.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
先确定旋转体的类型,然后根据旋转体的表面积公式计算.
学习任务二：圆柱、圆锥、圆台的体积公式
学习评价：熟悉体积公式
教学过程：
例2. 若已知《学习情境》中的健身哑铃大圆柱的底面半径为6
cm,高为2
cm,连杆圆柱的底面半径为2
cm,高为12
cm.
(1)求该健身哑铃的体积;
(2)求该健身哑铃的表面积.
【巩固训练】
如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AD=3,AB=1,点C到AB与AD的距离分别为1和2,若将ABCD绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
方法总结
方法总结
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积,若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解.(2)求以三视图为背景的几何体的体积,应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解
学习任务三：数学运算——空间几何体的有关计算问题
学习评价：解决实际问题
教学过程：
例3.在如图所示的圆锥SO中,母线长为4,且其侧面积为8π.
(1)求该圆锥的体积;
(2)若AB为底面直径,点P为SA的中点,求圆锥面上点P到点B的最短距离.
【巩固训练】
圆台的上、下底面半径分别为10
cm、20
cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
(1)设底面圆半径为r,周长为l,利用扇形的面积公式求出底面半径,进而求出圆锥的高,利用圆锥的体积公式即可求解.(2)利用弧长公式求出侧面展开图的圆心角,利用两点之间线段最短即可求解.
【当堂检测】
1.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( ).
A.1∶2
B.1∶
C.1∶
D.∶2
2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ).
A.7
B.6
C.5
D.3
3.
已知圆锥的底面直径与高都是4,则该圆锥的侧面积为 .?
课堂小结
本节课主要内容：
圆锥、圆柱、圆台的表面积和体积求法
课后作业
课堂反思
