《课时备课工具——“导评用”案》
第
八
章：
第
3
单元
第
3
课时
共
3
课时
学
科
高一数学
课
型
新授课
课
题
8.3.3球的表面积和体积
知识梳理
发展数学运算素养
球表面积求法
本节知识
直观想象
球的体积求法
教学重点
球表面积和体积求法
教学难点
解决球的切接问题
板书设计
8.3.球的表面积和体积
一、球表面积
二、球体积
三、切接模型
学习目标
1.了解并掌握球的体积和表面积公式.
2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题.
3.会解决球的切、接问题.
4.通过学习球的表面积、体积公式,培养逻辑推理、直观想象和数学运算等素养.
核心情境
已学过圆的面积和旋转体相关知识
学习任务一：球的表面积与体积
学习评价：熟悉公式
教学过程：
例1.(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;
(2)已知球的体积为π,求它的表面积.
【巩固训练】
(1)两个球的半径相差1,表面积之差为28π,求它们的体积之和;
(2)已知球的大圆周长为16π
cm,求这个球的表面积.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解
学习任务二：几何体的外接球(内切球)
学习评价：熟悉体积公式
教学过程：
例2.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ).
A.3πa2
B.6πa2
C.12πa2
D.24πa2
【巩固训练】
设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ).
A.πa2
B.πa2
C.πa2
D.5πa2
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
(1)正方体的内切球
(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱棱长分别为a,b,c,过球心作长方体的体对角线,则球的半径为r2=,
学习任务三：直观想象——球的综合问题
学习评价：解决实际问题
教学过程：
例3.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6
cm,圆柱筒高为2
cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1)?
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
【巩固训练】
有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
解决与球有关的组合问题,首先要弄清组合体中的各几何体的特征,根据几何体的表面积、体积公式求解.
【当堂检测】
1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为( ).
A.
B.
C.
D.
2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ).
A.
B.16π
C.9π
D.
3.一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上,则正方体的表面积为 .?
课堂小结
本节课主要内容：
球的表面积和体积求法
课后作业
课堂反思《课时备课工具——“导评用”案》
第
八
章：
第
3
单元
第
3
课时
共
3
课时
学
科
高一数学
课
型
新授课
课
题
8.3.3球的表面积和体积
知识梳理
发展数学运算素养
球表面积求法
本节知识
直观想象
球的体积求法
教学重点
球表面积和体积求法
教学难点
解决球的切接问题
板书设计
8.3.球的表面积和体积
一、球表面积
二、球体积
三、切接模型
学习目标
1.了解并掌握球的体积和表面积公式.
2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题.
3.会解决球的切、接问题.
4.通过学习球的表面积、体积公式,培养逻辑推理、直观想象和数学运算等素养.
核心情境
已学过圆的面积和旋转体相关知识
学习任务一：球的表面积与体积
学习评价：熟悉公式
教学过程：
例1.(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;
(2)已知球的体积为π,求它的表面积.
解析 (1)设球的半径为r,则由已知得4πr2=64π,解得r=4.
所以球的体积V=πr3=π.
(2)设球的半径为R,由已知得πR3=π,所以R=5,
所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
【巩固训练】
(1)两个球的半径相差1,表面积之差为28π,求它们的体积之和;
(2)已知球的大圆周长为16π
cm,求这个球的表面积.
解析 (1)设大、小两球半径分别为R,r,
则由题意可得
∴它们的体积之和为πR3+πr3=.
(2)设球的半径为R
cm,由题意可知2πR=16π,解得R=8,则S球=4πR2=256π(cm2).
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解
学习任务二：几何体的外接球(内切球)
学习评价：熟悉体积公式
教学过程：
例2.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ).
A.3πa2
B.6πa2
C.12πa2
D.24πa2
解析 作出球的轴截面如图所示,点O为该球的球心,线段AB为长方体底面的对角线,长度为=a,线段BC为长方体的高,长度为a,线段AC为长方体的体对角线,长度为=a,则球的半径R==a,所以球的表面积S=4πR2=6πa2,故选B.
【巩固训练】
设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ).
A.πa2
B.πa2
C.πa2
D.5πa2
解析 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心,易知AP=×a=a,OP=a,所以球的半径R=OA,满足R2=+=a2,故S球=4πR2=πa2.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
(1)正方体的内切球
(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱棱长分别为a,b,c,过球心作长方体的体对角线,则球的半径为r2=,
学习任务三：直观想象——球的综合问题
学习评价：解决实际问题
教学过程：
例3.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6
cm,圆柱筒高为2
cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1)?
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
解析 (1)因为半球的直径是6
cm,所以半径R=3
cm,
所以两个半球的体积之和为V球=πR3=π·27=36π(cm3).
又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3),
所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).
(2)上下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=4×π×9=36π(cm2),
又圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积为S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2),
因此2500个这样的“浮球”的表面积为2500S=2500×48π=12π(m2).
因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π=1200π(克).
【巩固训练】
有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
解析 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示.
根据切线的性质知,当球在容器内时,水深CP为3r,水面的半径AC为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·(r)2·3r-πr3=πr3,
而将球取出后,设容器内水的深度为h,
则水面圆的半径为h,
从而容器内水的体积是V'=π··h=πh3,
由V=V',得h=r.即容器中水的深度为r.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结
解决与球有关的组合问题,首先要弄清组合体中的各几何体的特征,根据几何体的表面积、体积公式求解.
【当堂检测】
1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为( ).
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,所以球的半径为1,其体积是×π×13=.
2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ).
A.
B.16π
C.9π
D.
解析 如图,设球心为O,球的半径为r,则在Rt△AOE中,(4-r)2+()2=r2,解得r=,∴该球的表面积为4πr2=4π×=.
一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上,则正方体的表面积为 .?
解析 设球的半径为R,正方体的棱长为a,
则πR3=π,故R=1.
由a=2R=2,得a=,所以正方体的表面积为S=6a2=6×=8.
课堂小结
课后作业
课堂反思
