(共22张PPT)
4.5
函数的应用（二）
第四章
4.5.1
函数的零点与方程的解
4.5.2用二分法求方程的近似解
学习目标
1.了解函数零点的定义.
2.了解函数的零点与函数对应方程的根的关系.
3.能够根据函数零点的判定方法判断函数零点所在的区间.
4.了解二分法求方程近似解的原理，能借助计算器用二分法求函数零点的近似值.
5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
函数的零点与方程的解
【导学】如何求二次方程
的实数根？
?
【答】由根的判别式
得：
?
?
?
?
对于一个一般的函数，也可以这么算吗？它们有什么异同点？
函数的零点与方程的解
【函数零点的定义】与二次函数的零点一样，对于一般函数
，我们把使得
的实数
叫做函数
的零点.
?
?
?
?
这样，函数
的零点就是方程
的实数解，也就是函
数
的图像与
轴的交点的横坐标.所以：
?
?
?
?
方程
有实数解
函数
有零点
函数
的图像与
轴有交点
?
?
?
?
函数的零点与方程的解
【零点的定义给出了求解函数零点的基本方法】
(1)代数法：
若方程
可解，其实数根就是函数
的零点.
(2)几何法：
若方程
难以直接求解，将其改为
，
进一步改为
，在同一坐标系中分别画出两个函数
和
的图像，两图像交点的横坐标就
是函数
的零点.
.
?
?
?
?
?
?
?
?
零点存在定理
【实例分析】以二次函数
为例，我们知道求函数
的零点，其实就是求方程
的实数解.
?
?
?
可以发现，在零点附近，函数的图像是连续不断的，
并且穿过
轴.函数在端点
和
时的取值
异号，即
，于是函数在区间(2,4)内有零点；
同样的，
，函数在区间(-2，0)内有零点.
?
?
?
?
?
一般地，如果函数
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线，
且有
，那么函数在区间
内至少有一个零点.即存在
,
使得
，这个t也就是方程
的解.这就是零点存在定理.
?
?
?
?
?
?
?
零点存在定理
若
的图像在
上是不连续的，则
在
上没有零点.
?
?
?
?
那可不一定.下面这个函数在(-1，3)上照样有零点！
函数
的图像在区间
上是连续的，但
则
在
上没有零点.
?
?
?
?
?
这也不一定.下面这个函数
，但函数在
上有零点！
?
?
零点存在定理
【理解函数零点存在定理需要注意的问题】
【1】①
函数
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线.
②
，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立.
【2】满足上述条件，则函数
的图像至少穿过
轴一次，即在区间
上函数
至少有一个零点，但是不确定到底有几个.
【3】该定理是一个充分不必要条件.反过来，若函数
在区间
上有零点，则不一定有
成立.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
零点存在定理
【常见函数的零点】
一个零点
无零点
?
?
?
两个零点
一个零点
无零点
无零点
一个零点1
?
?
一个零点0
无零点
利用二分法求方程的近似解
【二分法的概念】
假设我们知道函数
在区间(2，3)内存在一个零点，那么我们怎么求出这个零点呢？
?
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取中点的方法，逐步缩小零点的范围.
实际上大多数方程都不能像一元二次方程这样可以直接用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.
我们知道求解二次函数
零点的方法，当
时，利用求根公式
就可以求出方程的解，也就是函数的零点.
?
?
?
利用二分法求方程的近似解
【二分法的概念】
通过上述步骤，我们把零点的范围从(2,3)缩小到了(2.5,
2.75)，那么重复这个步骤，我们就可以把零点所在的范围缩小
到满足一定精确度的区间，区间的任意一点都可以作为函输零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
像这样，把在区间
上连续且
的函数
，不断把零点区间一分为二逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.
一般地，称
为区间
的中点.
函数
在区间(2，3)上有零点，并且
，取(2，3)的中点2.5，利用计算器求出
.因为
，所
以零点在区间(2.5，3)之间；再取区间(2.5，3)的中点2.75，算
出
，则零点在区间(2.5，2.75)之间…
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
利用二分法求方程的近似解
【问题】二分法的理论依据是什么？
【答】①二分法的理论依据是零点存在定理，
仅适用于函数的变号零点(函数图
像通过零点时函数值的符号改变)
②二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是
逐步逼近函数的零点.要根据函数的性质尽可能的找到含有零点的更小
的区间，当区间的长度小到一定程度时，就可以取得可以解决实际问题
近似值.
【步骤口诀】
定区间，找中点，中间计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断！
利用二分法求方程的近似解
【用二分法求函数零点近似值的步骤】
【1】确定零点
的初始区间
，验证
.
【2】求区间
的中点c，计算
，进一步确定零点所在区间：
①如果
，即c就是函数的零点；
?
?
?
?
?
?
②如果
，则令
；
?
?
③如果
，则令
；
?
?
【3】判断是否达到精确度
：若
，则得到零点的近似值
，
否则重复步骤【2】
?
?
?
当
时，区间
任意一个值都可以作为零点近似值.
?
?
求函数零点个数的四种方法
【方程法】求方程
的实数根.
【图像法】对于不能用公式法求根的方程或者不易求出实数根的方程，可以将它与
对应的函数图像联系起来，并利用函数的性质找出零点，对于不易画出
图像的函数，可以转化为
，分别画出
和
的图像，看两图像有几个交点.
【奇偶性】结合函数的奇偶性，因为奇函数和偶函数的图像都有对称性，存在奇偶
性的函数的零点是成对出现的(0除外).
【存在定理】若
，函数
的图像在
上是一条连续不断的曲线
且单调，则函数在
内只有一个零点；如果函数连续不断但不单调，
那么在
内至少有一个零点.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
对于
三个函数，定义域都是R，且在定义域内为单
调增函数，所以都可以用二分法求零点近似值.
【1】下列函数都可以用二分法求零点近似值吗，为什么？
【解】
?
?
?
?
?
对于(2)，作出图像如图：
易知函数只有一个不变号零点，故无法用二分法
求零点近似值.
?
?
?
即时巩固
随堂小测
1.函数y＝ln
x的零点是
A.(0,0)
B.x＝0
C.x＝1
D.不存在
√
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是
√
3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
√
1
5.若函数y＝2－|x|－k有零点，则实数k的取值范围是_____.
解析 y＝2－|x|－k有零点，即k∈y＝2－|x|的值域.
而－|x|≤0,0<2－|x|≤20＝1，∴y＝2－|x|的值域为(0,1].
(0,1]
课堂小结
1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
谢
谢！4.5
函数的应用（二）
4.5.1
函数的零点与方程的解
课标
解读
课标要求
素养要求
1.了解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的根的关系.
2.掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间.
1.直观想象——能借助函数图像理解函数的零点及方程的解.
2.数学运算——能求函数的零点以及判断函数零点的个数.
自主学习·必备知识
要点一
函数的零点
对于一般函数
，我们把①
的实数
叫做函数
的零点.
要点二
函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系
函数
的②
零点
就是方程
的实数解，也就是函数
的图像与
轴的公共点③
横坐标
.所以方程
有实数解
函数
有零点
函数
的图像与
轴有公共点.
要点三
函数零点存在定理
如果函数
在区间
上的图像是一条④
连续不断
的曲线
，且有⑤
，那么，函数
在区间
内
至少有一个
零点，即存在
，使得⑥
，这个
也就是方程
的解.
自主思考
1.若函数
没有零点，求实数
的取值范围.
答案：提示
由题意得
，且
，解得
.
2.“函数
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线
，且有
”是“函数
在区间
内至少有一个零点”的充要条件吗？
答案：提示
不是，是充分不必要条件.
名师点睛
1.一个函数
在区间
内有零点必须同时满足：①函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线；②
.这两个条件缺一不可.可从函数
来理解，易知
，但显然
在(-1,1)内没有零点.
2.函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.如图①和②，虽然都有
，但图①中函数在区间
内有4个零点，图②中函数在区间
内仅有1个零点.
①
②
3.函数零点存在定理是不可逆的，因为
可以推出函数
在区间
内存在零点．但是，已知函数
在区间
内存在零点，不一定推出
.如图所示，虽然在区间
内函数有零点，但
.
互动探究·关键能力
探究点一
函数零点的概念及求法
精讲精练
例
（1）求函数
的零点；
（2）已知函数
的零点为3，求函数
的零点.
答案：（1）当
时，
令
，
解得
；
当
时，
令
，
解得
所以函数
的零点为-3和
.
（2）由已知得
，
即
，
则
，
故
.
令
，
即
，解得
.
所以函数
的零点为0和
.
解题感悟
求函数零点的方法
（1）代数法：方程
的实数根就是函数的零点.
（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程
，可以将它与函数
的图象联系起来．图象与
轴的交点的横坐标即为函数的零点.
迁移应用
1.求下列函数的零点：
（1）
；
（2）
.
答案：
（1）令
，
则
，
或
，
或
，
因此函数
的零点是1和10.
（2）令
，则
，
解得
或
或
，
函数
有3个零点，分别为-1，1，2.
探究点二
判断函数零点所在区间
精讲精练
例
已知实数
满足
，则函数
的零点所在的区间为(
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
答案：
解析：根据题意得
，
则函数
为增函数，
且
，
，
由函数零点存在定理可知函数
的零点在区间(-1,0)上.故选B.
解题感悟
1.判断函数零点所在区间有两种方法；一是利用函数零点存在定理，二是利用函数图象.
2.若
的图象在
上连续，且
，则
在
上必有零点，若
，则
在
上不一定没有零点.
迁移应用
1.函数
的零点所在的一个区间是(
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
答案：
解析：因为函数
为单调递增函数，且
，
所以
，
所以
在(0,1)内有零点.故选C.
探究点三
确定零点的个数
精讲精练
例
判断下列函数零点的个数.
（1）
；
（2）
.
答案：
（1）令
，则
，因为
，所以方程
有两个不相等的实数根，所以函数
有两个零点.
（2）易得
，则
，所以
在(1,2)内有零点，
又
在定义域
内是增函数，所以函数
仅有一个零点.
解题感悟
判断函数零点个数的方法
（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助函数的单调性判断零点的个数；
（2）由
，得
，在同一平面直角坐标系中作出
和
的图象，利用图象判定方程根的个数，即函数
的零点个数；
（3）解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.
迁移应用
1.函数
的零点个数是(
)
A.0B.1
C.2D.3
答案：
解析：方程
的根为
，方程
的根为
，所以函数
有2个零点：-2与1.
2.实数
是图象连续不断的函数
的定义域中的三个数，且满足
，则
在区间
上的零点个数为(
)
A.2B.奇数
C.偶数D.至少是2
答案：
解析：由函数零点存在定理得，
在区间
上至少有一个零点，在
上至少有一个零点，而
，所以
在区间
上至少有2个零点.
故选D.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.函数
的零点为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.函数
的零点之和为(
)
A.-1B.1C.-2D.2
答案：
解析：当
时，
，
设其零点为
，则满足
，
解得
当
时，
，设其零点为
，则满足
解得
.
所以函数零点之和为
.故选A.
3.函数
的零点个数为
.
答案：
1
解析：
因为
，
所以
，
又因为函数
是
上的增函数，
所以函数
的零点个数为1.
4.已知函数
的零点为
，若
，则
.
答案：2
解析：
由题意得，
，
所以
，故
.
5.若函数
的一个零点是-3，求实数
的值，并求函数
其余的零点.
答案：
由题意知
，
即
，解得
，
.
令
，解得
或
.
函数
其余的零点是2.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021安徽合肥高一期末）函数
的零点是(
)
A.(1,0)
B.(1,0)和(-1,0)
C.1D.1和-1
答案：
2.已知函数
则
的零点个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：
3.（2021广东广州高一期末）函数
的零点个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
4.（多选）下列关于方程
的说法正确的是(
)
A.在(-2,-1)内有根
B.在(-1,0)，0)内有根
C.在(1,2)内有根
D.在
内没有实数根
答案：
;
;
解析：设
.分别计算
的值，再根据函数零点存在定理判断.
5.已知
，则函数
的零点个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
解析：函数
的零点的个数即方程
的解的个数，也就是函数
与
的图象的交点的个数.画出函数
与
的图象（如图所示），观察得出结论.
6.已知函数则函数
则函数
的零点为
.
答案：
0或4
7.若
且
，则函数
的零点个数是
.
答案：
0
8.已知
的图象如图所示.令
，则下列关于
的叙述正确的是
（填序号）.
①有三个实根；
②当
时恰有一个实根；
③当
时恰有一个实根；
④当
时恰有一个实根；
⑤当
时恰有一个实根．
答案：
①⑤
解析：
的图象是将函数
的图象向上平移0.01个单位长度得到的，故
的图象与
轴有三个交点，它们分别在区间
和
内，故只有①⑤正确.
9.判断下列函数的零点个数：
（1）
；
（2）
.
答案：
（1）
，令
，则
或
，所以函数有三个零点.
（2）令
，在同一平面直角坐标系中作出
和
的图象.
由图可知，
的图象和
的图象有且只有一个交点，即
有且只有一个零点.
10.关于
的方程
有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求
的取值范围.
答案：
令
，
依题意得
或
即
或
解得
，所以
的取值范围是
.
素养提升练
11.（2020山西忻州一中高一期中）已知函数
则函数
的零点个数为(
)
A.4
B.7
C.8
D.9
答案：
解析：令
，则
，
当
时，
，解得
;
当
时，
，解得
.
故
或
或
.
当
时，令
，解得
，舍去；
令
，解得
；
令
，解得
.
当
时，令
，解得
，
（舍去）；
令
，整理得
，
解得
或
；
令
，整理得
，解得
或
.
综上所述，函数零点有
，共7个.
故选B.
12.已知函数
若关于
的方程
有且只有3个不同的实数根，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：
由题意可知，
，
函数
的大致图象如图：
关于
的方程
有且只有3个不同的实数根，
有且只有3个不同的实数根，
即
与
一共有3个不同的实数根，
当
时，有
与
两个实数根，
有且只有1个实数根，
或
.
实数
的取值范围是
.
13.已知二次函数
满足
.
（1）求函数
的解析式；
（2）令
，若函数
有4个零点，求实数
的取值范围.
答案：
（1）设
，
，
，
，
，
解得
，
.
（2）由（1）得
，
在平面直角坐标系中画出函数
的图象，如图所示，
由于函数
有4个零点，故函数
的图象与
轴有4个交点.
由图象得
解得
，
即实数
的取值范围是
.
创新拓展练
14.（多选）对于函数
和
，设
，若存在
使得
，则称
与
互为“零点相邻函数”.若函数
与
互为“零点相邻函数”，则实数
的取值可以是(
)
A.2B.
C.3D.4
答案：
;
;
解析：易知函数
是
上的增函数，且
，则
，结合“零点相邻函数”的定义可得
，则
，
故函数
在区间
上存在零点，
即方程
在区间
上存在实数根，
整理可得
，
令
，
根据对勾函数的性质知函数
在区间
上单调递减，
在
上单调递增，
又
，
，
，
则函数
的值域为
.
故实数a的取值范围是
，故选ABC.
4.5.2
用二分法求方程的近似解
课标
解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件.
2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，即方程的近似解.
1.数学抽象——能借助图象体会二分法的思想。
2.数学运算——会用二分法解决实际问题，会通过二分法求方程的近似解.
自主学习·必备知识
要点一
二分法
对于在区间
上图象①
连续不断
且②
的函数
，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近③
零点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
要点二
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点
的初始区间
，验证④
.
2.求区间
的中点
.
3.计算
，并进一步确定零点所在的区间：
（1）若
（此时
）
，
则⑤
就是函数的零点；
（2）若
（此时
⑥
），则令
；
（3）若
（此时
⑦
，则令
.
4.判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复步骤2~4.
自主思考
1.可以用二分法求任意函数的零点的近似值吗？
答案：提示不可以，必须是在区间
上图象连续不断，且
的函数才能用二分法求零点的近似值.
2.用二分法求方程
在区间(1,3)内的解，若取区间的中点
，求下一个有解的区间.
答案：提示设
，因为
，所以下一个有解的区间为(1,2).
名师点睛
1.用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量.
2.二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值.
3.由
，可知区间
中任意一个值都是零点
的满足精确度
的近似值.为了方便，这里统一取区间端点
（或
）作为零点的近似值．“精确度”与“精确到”是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.“精确度为0.1”是指零点近似值所在区间
满足
，比如零点近似值所在区间是
．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
4.由函数的零点与相应方程的根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如
的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如
的方程的近似解，然后按照用二分法求函数
零点近似值的步骤求解.
互动探究·关键能力
探究点一
二分法概念的理解
精讲精练
例
下列函数图象与
轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：根据二分法的基本概念知，
函数
在区间
上的图象连续不断，
且
，
即函数的零点是变号零点才能将区间
一分为二，逐步得到零点的近似值.
对各选项中图象分析可知，
选项A、B、C都符合条件，
而选项D不符合，故选D.
解题感悟
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
迁移应用
1.（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：
，
当
时，
；当
时，
，
在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选ACD.
2.（多选）下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
探究点二
用二分法求方程的近似解
精讲精练
例
用二分法求函数
在区间
内的一个零点的近似值（精确度为0.1）.
答案：
，
在区间
上存在零点，取区间
作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
端（中）点的值
中点函数值符号
零点所在区间
区间长度
0.5
1.25
0.25
1.375
0.125
1.3125
0.0625
答案：
，
函数的零点落在区间长度小于0.1的区间
内，
故函数
的零点的近似值可以为1.3125.
解题感悟
利用二分法求方程近似解的步骤
（1）构造函数，利用估值或实验的方法确定方程的根所在的大致区间.
（2）利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间
.
（3）区间
内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间
的一个端点值.
迁移应用
1.函数
在区间(1,2)内的一个零点的近似值（精确度为0.1）是(
)
A.1.55B.1.65C.1.75D.1.85
答案：
解析：令
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在(1.6875,1.75)之间存在零点，
又
，
函数
在区间(1,2)内的一个零点的近似值（精确度为0.1）是1.75.故选C.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.关于二分法求方程的近似解，下列说法正确的是(
)
A.二分法求方程的近似解一定可将
在
内的所有零点找到
B.二分法求方程的近似解有可能得不到
在
内的零点
C.应用二分法求方程的近似解，
在
内有可能无零点
D.二分法求方程的近似解可能得到
在
内的精确
答案：
2.已知函数
的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(
)
A.4，4
B.3，4
C.5，4
D.4，3
答案：
3.（2021辽宁双塔高一期末）用二分法求方程
的一个近似解时，已知一个解在区间(2,3)内，则下一步可断定该解所在的区间为
.
答案：
解析：
令
，则
，
，
，由
知根所在的区间为
.
4.用二分法研究函数
在区间(0,1)内的零点时，计算得
，
，那么下一次应计算
时的函数值.
答案：
0.75
解析：
，
，
，
根据函数零点存在定理，知函数零点落在区间(0.5,1)内，故下一次应计算
时的函数值.
素养演练
数学抽象——二分法在实际问题中的应用
1.某校办工厂请了30名工人制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10:7，则30名工人如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子）能使任务完成得最快？请利用二分法的知识解答.
答案：
设
名工人制作课桌（
），则有
名工人制作椅子，由题意知一名工人在单位时间内可制作7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间
，制作200把椅子所需的时间
.要想任务完成得最快，则应求
的最小值.函数
与
的图象如图所示，由图可知
即为
取得最小值时
的值，此时
.下面用二分法的知识求
的整数值.令
，则
，所以
，取中点
，又
，所以
.同理可得
，
.
因为
，所以
或
.
时，
时，
，所以取
.
即13名工人制作课桌，17名工人制作椅子时，可使任务完成得最快.
素养探究：二分法在现实生活中也有很多重要的应用，如：检索问题、称重问题等.在解答时，关键在于分析二分法的思想及其应用的实质，根据实际情况加以判断和总结，巧妙选取区间，从而以最短的时间和最少的精力达到目的，过程中体现了数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.某公司生产
种型号的电脑.2013年平均每台
种型号的电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为
定出厂价.2014年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股价制，从而使生产成本逐年降低，2017年平均每台
种型号的电脑出厂价仅是2013年的
，实现了纯利润的
.
（1）求2017年每台
种型号的电脑的生产成本；
（2）以2013年每台
种型号的电脑的生产成本为基数，用二分法求2013~2017年间平均每年生产成本降低了多少（精确度为0.01）.
答案：
（1）设2017年每台
种型号的电脑的生产成本为p元，根据题意，得
，
解得
.
故2017年每台A种型号的电脑的生产成本为3200元.
（2）设2013~2017年间平均每年生产成本降低了
.
根据题意，得
.令
，求出
与
的对应值（
取整数）如下表：
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1
1800
-590
-2000
-2742
-3072
-3180
-3200
-3200
答案：通过观察，可知
，说明此函数在区间(0,0.15)内有零点
.取区间(0,0.15)的中点
，可算得
.因为
，所以
.
再取区间(0.075,0.15)的中点
，可算得
.
因为
，所以
.
同理，可得
，
因为
，所以原方程的近似解可取为0.1125，故平均每年生产成本约降低了
.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）（2021江苏无锡高一期末）下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
2.（多选）某同学求函数
的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程
的近似解可取为（精确度为0.1）(
)
A.2.52B.2.56
C.2.66D.2.75
答案：
;
3.（2021安徽宿州期末）已知函数
在区间(1,2)上有一个零点
，若用二分法求
的近似值（精确度为0.01），则应将区间(1,2)等分的次数至少为(
)
A.5B.6C.7D.8
答案：
4.用二分法求函数
的一个零点，根据参考数据，可得函数
的一个零点的近似解为（精确度为0.1）(
)（参考数据：
）
A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9
答案：
5.（2021四川成都玉林中学高一期末）下列函数图象与
轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.用二分法求方程
在区间
内的近似解，取区间中点为
，那么下一个有解的区间是
.
答案：
7.已知方程
.
（1）判断该方程解的个数以及所在区间；
（2）用二分法求出方程的近似解（精确度为0.1）.
参考数值：
1.1875
1.125
1.25
1.3125
1.375
1.5
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
答案：（1）令
.
因为函数
在
上是增函数，
所以函数
至多有一个零点.
因为
，
，
所以函数
的零点在(1,2)内，所以该方程解的个数为1，所在区间为(1,2).
（2）用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
(1,1.5)
1.25
(1.25,1.5)
1.375
(1.25,1.375)
1.3125
(1.25,1.3125)
答案：因为
，且
，
所以区间(1.25,1.3125)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将
作为函数
零点的近似值，即方程
的近似解.
素养提升练
8.（多选）若函数
的图象是连续的，且函数
的唯一零点同在
内，则与
符号不同的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：由二分法的步骤可知，
①零点在(0,4)内，则有
，不妨设
，取中点2；
②零点在(0,2)内，则有
，则
，取中点1；
③零点在(1，2)内，则有
，则
，取中点
；
④零点在
内，则有
则
，取中点
；
⑤零点在
内，则有
，则
，
所以与
符号不同的是
.
故选AC.
9.（多选）（2020河北石家庄一中高一期中）已知函数
在区间(0,3)内有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若
，
，则下列命题正确的是(
)
A.函数
的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数
的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数
的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数
的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
答案：
;
;
解析：由题意得，函数
零点两侧的函数值异号，
因为
，
，所以
，
若
，则
，即函数
的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，故A中命题正确.
若
，则
，即函数
的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内，故B中命题正确.
综合以上两种情况，可知C中命题错误，D中命题正确.
故选ABD.
10.若函数
的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
-0.054
则方程
的一个近似解（精确度为0.04）为
.
答案：
1.410（可以是(1.40625,1.4375)之间的任意一个数）
解析：
设近似解为
，易知原函数的图象在
上是连续的，
；
取
，
；
取
，
；
取
，
.
取
，
，
，
，
此时
，
可以是(1.40625,1.4375)之间的任意一个数.故可取
.
11.如果一个正方体的体积为
，表面积为
，且
，那么这个正方体的棱长约为
（精确到0.01）.
答案：
6.03
解析：
设正方体的棱长为
，则
.
.设
，应用二分法得方程的近似解为6.03.
12.已知函数
，证明
，并利用二分法证明方程
在区间
内有两个实根.
答案：
，
即
.
，
则
，即
.
，则
.
在区间
，
内取中点
，
则
，
，
函数
在区间
和
内各有一个零点.
又
最多有两个零点，
在
，
内有两个实根.
创新拓展练
13.已知函数
为
上的连续函数.
（1）若
，判断
在(-1,1)上是否有零点.若没有，请说明理由;若有，请在精确度为0.2（即零点所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出这个零点
所在的区间；
（2）若函数
在区间
上存在零点，求实数
的取值范围.
解析：命题分析
本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点存在定理以及二分法进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．
（1）答题要领若
，求出
的表达式，结合函数零点存在定理进行判断，利用二分法进行求解即可.
（2）答题要领根据函数零点存在定理，结合一元二次函数的图象和性质建立不等式进行求解即可.
答案：
（1）详细解析
时，
，
，
为
上的连续函数，
在(-1,1)上必有零点
，
取其中点0，代入函数解析式得
，
零点
，再取中点
，计算得
，
零点
，取其中点
，计算得
，
零点
，再取其中点
，计算得
，
，
零点
，又
，
符合要求，故符合要求的零点
所在的区间为
.
（2）详细解析
的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线
，
在区间
上，函数
单调递减，
又
在区间
上存在零点，
即
，
即
的取值范围是
.
方法感悟
若函数
在区间
上的图象是一条连续的曲线，且
，则
在区间
内有零点.函数零点的常用判定方法：
（1）函数零点存在定理；
（2）数形结合法；
（3）解方程
.
4.5.3
函数模型的应用
课标解读
课标要求
素养要求
能从不同函数的增长特点出发，总结、概括一般类型的函数模型特点，从而选择恰当的函数模型解决实际问题.
数学建模——会利用已知函数模型或建立函数模型解决实际问题.
自主学习·必备知识
名师点睛
1.常见的函数模型
（1）指数函数模型：
（
为常数，
且
）.
（2）对数函数模型：
（
为常数，
且
）.
（3）其他函数模型：如幂函数，二次函数，分段函数等.
2.解答数学应用题应过的三关：
（1）理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么；
（2）建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题；
（3）数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数模型的应用
精讲精练
例
衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，设刚放进去的新丸的体积为
，经过
天后其体积
与天数
的函数关系式为
.已知新丸经过50天后其体积变为
.若要使一个新丸的体积变为
，求其经过的天数.
答案：
由已知，得
，
，
设经过
天后，一个新丸的体积变为
，则
，
，解得
.即经过75天，新丸的体积会变为
.
解题感悟
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为
（其中
为基础数，
为增长率，
为时间）的形式.
迁移应用
1.一片森林原来的面积为
，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用的时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的
，已知到今年为止，森林的剩余面积为原来的
.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
答案：
（1）设每年砍伐面积的百分比为
，则
，又由题意知
，所以
，解得
，即每年砍伐面积的百分比为
.
（2）设经过
年后森林的剩余面积为原来的
，则
，
即
则
，解得
.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
（3）设从今年开始，还能砍伐
年，则
年后剩余面积为
.
令
，即
，则
，则
，解得
.故今后最多还能砍伐15年.
探究点二
对数函数模型的应用
精讲精练
例
（2020四川泸县第四中学高一月考）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地进行繁衍.科学家经过测量发现，候鸟的飞行速度可以表示为函数
单位是
，其中
表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，
表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差（参考数据
）.
（1）若
，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位，则它的飞行速度约是多少？
（2）若
，则候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为多少个单位？
（3）若雄鸟的飞行速度为
，雌鸟的飞行速度为
，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
答案：
（1）将
代入函数解析式可得，
，故此时候鸟的飞行速度约为
.
（2）将
代入函数解析式可得，
，即
，
，解得
.
故候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为466个单位.
（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为
，雌鸟每分钟的耗氧量为
，
依题意可得
两式相减可得
，所以
.
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.
解题感悟
有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义.
迁移应用
1.2018年12月8日，我国的“长征”三号乙运载火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国又迈出了具有历史意义的一步.火箭的起飞质量
是箭体(包括搭载的飞行器)的质量
（吨）和燃料质量
（吨）之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度
关于
（吨）的函数关系式为
（其中
）.当燃料质量为
吨时，该火箭的最大速度为
.
（1）求“长征”三号系列火箭的最大速度
与燃料质量
（吨）之间的函数关系式；
（2）已知“长征”三号火箭的起飞质量
是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到
？（结果精确到0.1吨，
取2.718）
答案：
（1）由题意得
，解得
，
所以
，即
与
之间的函数关系式为
.
（2）由已知得
，则
，又
，
所以
，
解得
.
故应装载大约303.3吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到
.
探究点三
拟合数据构建函数模型解决实际问题
精讲精练
例
某种蔬菜从2020年1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本
（单位：元
）与上市时间
（单位：10天）的数据如下表：
时间
5
11
25
种植成本
15
10.8
15
（1）根据上表数据，从下列函数：
（其中
）中，选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系；
（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
答案：
（1）以上市时间
（单位：10天）为横坐标，种植成本
（单位：元
）为纵坐标，画出散点图（如图）：
根据点的分布特征知函数模型
与题表所提供的数据拟合得最好，
所以选取函数模型
描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系.
将题表中所提供的三组数据分别代入
，
得
解得
所以描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系的函数为
.
（2）由（1）知
，所以当
时，
的最小值为10，即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低，最低种植成本为10元
.
解题感悟
建立拟合函数与预测的基本步骤
迁移应用
1.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金
（单位：万元）随年产值
（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的
.
（1）若某企业年产值为100万元，则该企业可得9万元奖金，试分析函数
（k为常数）是不是符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知
）；
（2）若采用函数
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数
的值.
答案：
（1）对于函数模型
（
为常数），当
时，
，代入函数模型解得
，所以
.
当
时，
是增函数，但当
时，
，即奖金超过年产值的
，故该函数模型不符合要求.
（2）对于函数模型
，
因为
为正整数，所以函数
在
上单调递增.
所以
，由
，解得
.
要使
对
恒成立，则
对
恒成立，所以
.
综上所述，
，
所以满足条件的最小的正整数
的值为315.
评价检测·素养提升
1.某种产品今年的产量是
，如果保持
的年增长率，那么经过
年
，该产品的产量
满足(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储藏温度
（单位：
）满足函数关系式
（
…为自然对数的底数，
为常数）.若该食品在
的保鲜时间是192小时，在
的保鲜时间是48小时，则该食品在
的保鲜时间是(
)
A.16小时B.20小时
C.24小时D.21小时
答案：
3.春天来了，某池塘中的荷叶逐渐铺展开来.已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶第20天就可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶覆盖水面面积的
时，荷叶已生长了
天.
答案：
18
4.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润（单位：万元）分别为
和
，其中
为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
万元.
答案：
45.6
解析：
设甲地销售
辆，则乙地销售
辆，所以总利润为
.
所以当
时，总利润取得最大值，为45.6万元.
课时评价作业
基础达标练
1.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量
（只）与时间
（年）近似满足关系式
，观测发现2018年冬（作为第1年）有3000只越冬的白鹤，估计2024年冬越冬的白鹤有(
)
A.4000只B.5000只
C.6000只D.7000只
答案：
2.（2021吉林长春高一期末）某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2019年开始每年比上一年获利增加
，则从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元？（已知
）(
)
A.2023年B.2024年
C.2025年D.2026年
答案：
3.（多选）（2021福建尤溪第五中学高一期末）如图，某池塘里的浮萍面积
（单位：
）与时间
（单位：月）的关系式为
（
且
），则下列说法正确的是(
)
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第6个月时，浮萍的面积会超过
C.浮萍面积从
蔓延到
只需经过5个月
D.若浮萍面积蔓延到
所经过的时间分别为
，则
答案：
;
;
4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝
，对于一个强度为
的声波，其音量的大小
可由以下公式计算：
（其中
是人耳能听到的声音的最低声波强度），设
的声音的声波强度为
，
的声音的声波强度为
，则
是
的
倍.
答案：
10
5.某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离
与刹车时的速度
的关系可以用
来描述，已知这种型号的汽车在速度为
时，紧急刹车后滑行的距离为
.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为
，则这辆车的行驶速度为
.
答案：
6.（2020河北邢台第二中学高一开学考试）某村收取电费有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元;超过30度时，超过的部分按每度0.6元收取；
方案二：不收取管理费，每度0.58元.
（1）求方案一中收费
（元）与用电量
（度）之间的函数关系式.若老王家九月份按方案一缴费35元，则老王家该月用电多少度？
（2）老王家该月用电量在什么范围内时，选择方案一比选择方案二好？
答案：
（1）由题意得
当
时，令
，解得
(舍去);
当
时，令
，解得
，
老王家该月用电60度.
（2）令
，由(1)可得
当
时，令
，解得
；
当
时，令
，解得
，
.
综上，当
时，选择方案一比选择方案二好.
7.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数
，单位是
，其中
表示燕子的耗氧量.
（1）燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
答案：
（1）由题意知，当燕子静止时，
它的速度为0，
代入题目所给公式可得
，
解得
，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位.
（2）将
代入公式得，
，
即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，
它的飞行速度为
.
素养提升练
8.（2021湖南怀化高一期末）某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①将水加热到
，水温
与时间
近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度
与时间
近似满足函数关系式
，（
为常数）.通常这种热饮在
时，口感最佳.某天室温为
，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，需要的时间为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题图可知，当
时，函数图象是一条线段，当
时，函数关系式为
，
将(5,100)和(15,60)代入关系式可得
解得
，
故函数的解析式为
，
令
，解得
.
需要的时间为
.故选C.
9.（多选）（2020江苏扬州中学高一期中）某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关时，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似地表示为
，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.以下判断正确的是(
)
A.该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20000元
C.该单位每月不获利，也不亏损
D.该单位每月需要国家至少补贴40000元才能不亏损
答案：
;
解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；
设该单位每月获利
元，则
，
因为
，
所以
.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确.
故选AD.
10.里氏震级
的计算公式为
，其中
是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，
是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为
；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的
倍.
答案：
6;
10000
解析：
由
知，
，所以此次地震的震级为6.设9级地震的最大振幅为
，5级地震的最大振幅为
，则
.所以
.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.
11.（2021四川绵阳高一期末）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式
计算火箭的最大速度
(单位：
)，其中
（单位：
）是喷流相对速度，
（单位：
）是火箭（除推进剂外）的质量，
（单位：
）是推进剂与火箭质量的总和，
称为“总质比”.已知
型火箭的喷流相对速度为
.
（1）当总质比为330时，
型火箭的最大速度约为多少？
（2）经过材料更新和技术改进，
型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的
，若要使火箭的最大速度至少增加
，则在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为多少？
参考数据：
.
答案：
（1）当总质比为330时，
.
由参考数据得
，
当总质比为330时，
型火箭的最大速度约为
.
（2）经过材料更新和技术改进，
型火箭的喷流相对速度变为
，总质比变为
.
要使火箭的最大速度至少增加
，
则需
，
化简得
.
，整理得
.
，则
.
由参考数据，知
，
.
材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279.
创新拓展练
12.某银行推出一款短期理财产品，约定如下：
①购买金额固定；
②购买天数可自由选择，但最短3天，最长不超过10天；
③购买天数
与利息y的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：
；方案二：
；方案三：
.
请你根据以上材料，研究下面两个问题：
（1）结合所学的数学知识和方法，用其他方式刻画上述三种方案的函数特征；
（2）依据你的分析，给出一个最佳理财方案.
答案：
（1）列表，得出三种方案部分天数的利息（或所有天数的利息）；作出函数图象（散点图），并用虚线连接，对比三个函数图象可以更直观看到三种方案的利息随天数变化趋势的特征，以及三个图象相互间的位置关系.
方案
利息
购买天数
3
4
5
6
7
8
9
10
方案一
4
7
方案二
4
9
16
25
方案三
4
8
16
32
答案：
（2）当购买天数为3天时，选择方案一最佳；
当购买天数为4天时,选择方案一或方案二或方案三最佳；
当购买天数为5-7天时，选择方案二最佳；
当购买天数为8天时，选择方案二或方案三最佳；
当购买天数为9-10天时，选择方案三最佳.
章末总结
体系构建
题型整合
题型1
指数与对数的运算
例1
求下列各式的值.
（1）
;
（2）
.
答案：（1）原式
=0.
（2）原式
.
方法归纳
1.指数与对数的运算应遵循的原则
（1）指数的运算：注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算．另外,若出现分式,则要对分子、分母因式分解以达到约分的目的.
（2）对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行.
2.底数相同的对数式化简的两种基本方法
（1）“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
（2）“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差).
迁移应用
1.计算：
.
答案：
解析：原式
.
2.已知
,则
的值为
.
答案：3
解析：由
得
所以
.
题型2
指数函数、对数函数的图象问题
例2（1）若函数
的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(
)
A.B.C.D.
（2）如图,函数
的图象为折线
,则不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意
(
且
)的图象过点(3,1),可解得
.选项A中,
,显然图象错误;选项B中,
,由幂函数图象可知正确;选项C中,
,显然与所画图象不符;选项D中,
的图象与
的图象关于y轴对称,显然不符.故选B.
（2）令
,作出函数
的图象,如图.
由
解得
结合图象知不等式
的解集为
.
方法归纳
（1）识别函数的图象从以下几个方面入手：
①单调性：函数图象的变化趋势;
②奇偶性：函数图象的对称性;
③特殊点对应的函数值．
（2）已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决.
（3）指数函数、对数函数、幂函数的图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这三类函数的图象,并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换.
迁移应用
3.已知
,则函数
的图象不经过(
)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案：
4.对
,且
的所有正实数,函数
的图象一定经过一个定点,则该定点的坐标是
.
答案：(-1,-1)
解析：当
时,
,所以该定点的坐标是(-1,-1).
题型3
指数函数、对数函数的性质
例3
设
为奇函数,
为常数.
（1）求
的值;
（2）证明
在区间
上单调递增.
答案：（1）因为
为奇函数,
所以
,
所以
.
所以
,
即
,
所以
(
舍去).
（2）证明：由（1）可知
,
令
且
则
.
因为
所以
所以
即
所以函数
在
上是减函数.
又因为函数
在
上是减函数,所以
在
上为增函数.
方法归纳
基本初等函数单调性的判断与应用
（1）对于指数函数和对数函数,注意底数
对函数单调性的影响;对于幂函数
,注意指数
对函数单调性的影响.
（2）根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集.
迁移应用
5.设函数
,则
是(
)
A.奇函数,且在(0,2)上是增函数
B.奇函数,且在(0,2)上是减函数
C.偶函数,且在(0,2)上是增函数
D.偶函数,且在(0,2)上是减函数
答案：
6.若函数
在区间
上有最小值-2,则实数
的值为
.
答案：
解析：因为
,且
在定义域内为增函数,
所以函数
在区间
上为减函数,
所以当
时,
有最小值-2,即
,
所以
解得
.
题型4
函数的应用
例4
某工厂因排污比较严重,决定着手整治,第一个月污染度为60,整治后前四个月的污染度如表所示：
月数
1
2
3
4
污染度
60
31
13
0
污染度为0后,该工厂停止整治,但污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
,其中
表示月数,
分别表示污染度.
（1）试问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
（2）若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过60？(注：
)
答案：（1）用
模拟比较合理.
理由：因为
;
.
由此可得
更接近实际值,所以用
模拟比较合理.
（2）因为
在
时是增函数,
,所以整治后有16个月的污染度不超过60.
方法归纳
利用已知函数模型解决实际问题的方法
解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.
迁移应用
7.国庆期间,一个小朋友买了一个体积为
的彩色大气球,放在自己的房间内,由于气球密封不好,经过
天后气球体积变为
.若经过25天后,气球体积变为原来的
,则至少经过
天后,气球体积小于原来的
,结果保留整数).
答案：68
解析：由已知得,
,
则
,①
设
天后气球的体积变为原来的
则
即
则
,②
①②两式相除可得
,即
,所以
,即至少经过68天后,气球体积小于原来的
.
高考链接
1.（2020新高考Ⅰ,6,5分）基本再生数
与世代间隔
是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：
描述累计感染病例数
随时间
（单位：天）的变化规律,指数增长率
与
近似满足
.有学者基于已有数据估计出
.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
(
)
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
答案：
解析：因为
,所以
,所以
,
设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为
天,
则
,所以
所以
所以
.故选B.
2.（2020课标Ⅰ,12,5分）若
,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：设
,则
在
上为增函数,
因为
所以
,
所以
,所以
.
当
时,
此时
则有
当
时,
此时
则有
所以C、D错误.故选B.
3.（2020课标Ⅱ,9,5分）设函数
,则
(
)
A.是偶函数,且在
单调递增
B.是奇函数,且在
单调递减
C.是偶函数,且在
单调递增
D.是奇函数,且在
单调递减
答案：
解析：由题意得
的定义域为
,关于坐标原点对称,
又
,
为定义域上的奇函数,可排除A、C选项;
当
时,
,
易知
在
上单调递增,
在
上单调递减,
在
上单调递增,排除B选项;
当
时,
,
在
上单调递减,
在定义域内单调递增,
在
上单调递减,D正确.
故选D.
4.（2020课标Ⅱ,12,5分）若
则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：令
,
为
上的增函数,
为
上的减函数,
为
上的增函数,
由
得
,
,
,
则A正确,B错误;
与1的大小不确定,
无法确定.
故选A.
5.（2020课标Ⅲ,4,5分）
模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
（
的单位：天）的
模型：
,其中
为最大确诊病例数.当
时,标志着已初步遏制疫情,则
约为
(
)
A.60
B.63
C.66
D.69
答案：
解析：因为
,
所以
,
整理可得
所以
解得
故选C.
6.（2020课标Ⅲ,12,5分）已知
.设
则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意可知
,
;
由
得
由
得
,解得
;
由
得
由
得
,解得
.
综上所述,
.故选A.
7.（2020天津,9,5分）已知函数
若函数
恰有4个零点,则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：令
,函数
恰有4个零点,即
与
的图象恰有4个不同的交点.
当
时,
,在同一平面直角坐标系中作出
的图象,如图.
由图可知
与
的图象恰有4个不同的交点,即函数
恰有4个零点,排除
,
;
当
时,
,作出
与
的图象,如图.
此时,函数
与
的图象仅有2个交点,不符合题意,排除C,故选D.
8.（2020天津,6,5分）设
则
的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
所以
.故选D.
9.（2020北京,6,4分）已知函数
,则不等式
的解集是(
)
A.(-1,1)
B.
C.(0,1)
D.
答案：
解析：因为
,所以
等价于
,
在同一平面直角坐标系中作出
和
的图象,如图所示.
易知两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),观察图象可知,不等式
的解集为
,
即不等式
的解集为
.故选D.
10.（2020北京,11,5分）函数
的定义域是
.
答案：
解析：由题意得
解得
,故函数的定义域是
.
数学建模
建立函数模型解决实际问题
探究目的
设置一个可操作的活动方案,判断某同学是否超重
素养目标
在进行数学建模的过程中,进一步体会函数模型在现实生活中的应用,感受数学的应用价值,培养学生的实际操作能力和数学建模、数据分析的核心素养
相关知识
散点图,函数拟合
活动工具
问卷调查表,坐标纸,计算器
创设情景·过程探究
活动主题
根据某同学的身高和体重,判断该同学是否超重.
活动过程
1.观察实际情况,分析影响学生体重的因素
根据实际情况,学生的体重受身高、年龄、性别、地域、环境、饮食习惯等多种因素的影响.不同身高、年龄、性别、地域的人们的体重是有差别的.
由于体重受多种因素的影响,很难找到一个适合每个人和每个年龄阶段的非常准确的公式来衡量体重.为此,只能选取影响体重最直接的因素——身高来建立一个基本的数学模型,从宏观上反映体重与身高的关系.
2.收集数据
每位同学收集200个人的身高与体重.
3.数据整理
汇总后计算出不同身高的同学的体重平均值,将结果填入下面表格中.
身高（
）
体重（
）
4.数据分析
根据表中整理得到的数据,在坐标纸中作出散点图.
5.结论猜想
随着身高增加,体重也越来越大,但增长速度越来越慢.
【提示】可上网查询影响一个人体重的相关因素.
【提示】收集数据可到学校卫生室档案里查找、小区或街头随机采访.
理论分析
1.通过分析,该散点图在第一象限且呈递增趋势.可以得出四种拟合模型.
模型一：
;
模型二：
;
模型三：
;
模型四：
.
判断哪个模型拟合效果最好.
解析：【提示】对于不同的函数模型,可利用计算器计算相应系数的值.
答案：【提示】由散点图与模拟函数偏离程度进行比较,可知模型四拟合效果最好.
活动检验
通过模型求解,得出实际体重与验证体重的对比数值如下表:
身高（
）
实际体重（
）
验证体重（
）
活动总结
2
/
2114.5
函数的应用（二）
4.5.1
函数的零点与方程的解
课标
解读
课标要求
素养要求
1.了解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的根的关系.
2.掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间.
1.直观想象——能借助函数图像理解函数的零点及方程的解.
2.数学运算——能求函数的零点以及判断函数零点的个数.
自主学习·必备知识
要点一
函数的零点
对于一般函数
，我们把①
的实数
叫做函数
的零点.
要点二
函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系
函数
的②
就是方程
的实数解，也就是函数
的图像与
轴的公共点③
.所以方程
函数
有零点
函数
的图像与
轴有公共点.
要点三
函数零点存在定理
如果函数
在区间
上的图像是一条④
的曲线
，且有⑤
，那么，函数
在区间
内
零点，即存在
，使得⑥
，这个
也就是方程
的解.
自主思考
1.若函数
没有零点，求实数
的取值范围.
2.“函数
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线
，且有
”是“函数
在区间
内至少有一个零点”的充要条件吗？
名师点睛
1.一个函数
在区间
内有零点必须同时满足：①函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线；②
.这两个条件缺一不可.可从函数
来理解，易知
，但显然
在(-1,1)内没有零点.
2.函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.如图①和②，虽然都有
，但图①中函数在区间
内有4个零点，图②中函数在区间
内仅有1个零点.
①
②
3.函数零点存在定理是不可逆的，因为
可以推出函数
在区间
内存在零点．但是，已知函数
在区间
内存在零点，不一定推出
.如图所示，虽然在区间
内函数有零点，但
.
互动探究·关键能力
探究点一
函数零点的概念及求法
精讲精练
例
（1）求函数
的零点；
（2）已知函数
的零点为3，求函数
的零点.
解题感悟
求函数零点的方法
（1）代数法：方程
的实数根就是函数的零点.
（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程
，可以将它与函数
的图象联系起来．图象与
轴的交点的横坐标即为函数的零点.
迁移应用
1.求下列函数的零点：
（1）
；
（2）
.
探究点二
判断函数零点所在区间
精讲精练
例
已知实数
满足
，则函数
的零点所在的区间为(
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解题感悟
1.判断函数零点所在区间有两种方法；一是利用函数零点存在定理，二是利用函数图象.
2.若
的图象在
上连续，且
，则
在
上必有零点，若
，则
在
上不一定没有零点.
迁移应用
1.函数
的零点所在的一个区间是(
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
探究点三
确定零点的个数
精讲精练
例
判断下列函数零点的个数.
（1）
；
（2）
.
解题感悟
判断函数零点个数的方法
（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助函数的单调性判断零点的个数；
（2）由
，得
，在同一平面直角坐标系中作出
和
的图象，利用图象判定方程根的个数，即函数
的零点个数；
（3）解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.
迁移应用
1.函数
的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
2.实数
是图象连续不断的函数
的定义域中的三个数，且满足
，则
在区间
上的零点个数为(
)
A.2
B.奇数
C.偶数
D.至少是2
评价检测·素养提升
课堂检测
1.函数
的零点为(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
的零点之和为(
)
A.-1
B.1
C.-2
D.2
3.函数
的零点个数为
.
4.已知函数
的零点为
，若
，则
.
5.若函数
的一个零点是-3，求实数
的值，并求函数
其余的零点.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021安徽合肥高一期末）函数
的零点是(
)
A.(1,0)
B.(1,0)和(-1,0)
C.1
D.1和-1
2.已知函数
则
的零点个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
3.（2021广东广州高一期末）函数
的零点个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
4.（多选）下列关于方程
的说法正确的是(
)
A.在(-2,-1)内有根
B.在(-1,0)，0)内有根
C.在(1,2)内有根
D.在
内没有实数根
5.已知
，则函数
的零点个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知函数则函数
则函数
的零点为
.
7.若
且
，则函数
的零点个数是
.
8.已知
的图象如图所示.令
，则下列关于
的叙述正确的是
（填序号）.
①有三个实根；
②当
时恰有一个实根；
③当
时恰有一个实根；
④当
时恰有一个实根；
⑤当
时恰有一个实根．
9.判断下列函数的零点个数：
（1）
；
（2）
.
10.关于
的方程
有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求
的取值范围.
11.（2020山西忻州一中高一期中）已知函数
则函数
的零点个数为(
)
A.4
B.7
C.8
D.9
12.已知函数
若关于
的方程
有且只有3个不同的实数根，则实数
的取值范围是
.
13.已知二次函数
满足
.
（1）求函数
的解析式；
（2）令
，若函数
有4个零点，求实数
的取值范围.
创新拓展练
14.（多选）对于函数
和
，设
，若存在
使得
，则称
与
互为“零点相邻函数”.若函数
与
互为“零点相邻函数”，则实数
的取值可以是(
)
A.2
B.
C.3
D.4
4.5.2
用二分法求方程的近似解
课标
解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件.
2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，即方程的近似解.
1.数学抽象——能借助图象体会二分法的思想。
2.数学运算——会用二分法解决实际问题，会通过二分法求方程的近似解.
自主学习·必备知识
要点一
二分法
对于在区间
上图象①
且②
的函数
，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近③
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
要点二
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点
的初始区间
，验证④
.
2.求区间
的中点
.
3.计算
，并进一步确定零点所在的区间：
（1）若
（此时
）
，
则⑤
就是函数的零点；
（2）若
（此时
⑥
），则令
；
（3）若
（此时
⑦
，则令
.
4.判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复步骤2~4.
自主思考
1.可以用二分法求任意函数的零点的近似值吗？
2.用二分法求方程
在区间(1,3)内的解，若取区间的中点
，求下一个有解的区间.
名师点睛
1.用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量.
2.二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值.
3.由
，可知区间
中任意一个值都是零点
的满足精确度
的近似值.为了方便，这里统一取区间端点
（或
）作为零点的近似值．“精确度”与“精确到”是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.“精确度为0.1”是指零点近似值所在区间
满足
，比如零点近似值所在区间是
．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
4.由函数的零点与相应方程的根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如
的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如
的方程的近似解，然后按照用二分法求函数
零点近似值的步骤求解.
互动探究·关键能力
探究点一
二分法概念的理解
精讲精练
例
下列函数图象与
轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是(
)
A.B.
C.
D.
解题感悟
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
迁移应用
1.（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的有(
)
A.
B.
C.
D.
探究点二
用二分法求方程的近似解
精讲精练
例
用二分法求函数
在区间
内的一个零点的近似值（精确度为0.1）.
解题感悟
利用二分法求方程近似解的步骤
（1）构造函数，利用估值或实验的方法确定方程的根所在的大致区间.
（2）利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间
.
（3）区间
内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间
的一个端点值.
迁移应用
1.函数
在区间(1,2)内的一个零点的近似值（精确度为0.1）是(
)
A.1.55
B.1.65
C.1.75
D.1.85
评价检测·素养提升
1.关于二分法求方程的近似解，下列说法正确的是(
)
A.二分法求方程的近似解一定可将
在
内的所有零点找到
B.二分法求方程的近似解有可能得不到
在
内的零点
C.应用二分法求方程的近似解，
在
内有可能无零点
D.二分法求方程的近似解可能得到
在
内的精确
2.已知函数
的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(
)
A.4，4
B.3，4
C.5，4
D.4，3
3.（2021辽宁双塔高一期末）用二分法求方程
的一个近似解时，已知一个解在区间(2,3)内，则下一步可断定该解所在的区间为
.
4.用二分法研究函数
在区间(0,1)内的零点时，计算得
，
，那么下一次应计算
时的函数值.
素养演练
数学抽象——二分法在实际问题中的应用
1.某校办工厂请了30名工人制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10:7，则30名工人如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子）能使任务完成得最快？请利用二分法的知识解答.
素养探究：二分法在现实生活中也有很多重要的应用，如：检索问题、称重问题等.在解答时，关键在于分析二分法的思想及其应用的实质，根据实际情况加以判断和总结，巧妙选取区间，从而以最短的时间和最少的精力达到目的，过程中体现了数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.某公司生产
种型号的电脑.2013年平均每台
种型号的电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为
定出厂价.2014年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股价制，从而使生产成本逐年降低，2017年平均每台
种型号的电脑出厂价仅是2013年的
，实现了纯利润的
.
（1）求2017年每台
种型号的电脑的生产成本；
（2）以2013年每台
种型号的电脑的生产成本为基数，用二分法求2013~2017年间平均每年生产成本降低了多少（精确度为0.01）.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）（2021江苏无锡高一期末）下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）某同学求函数
的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程
的近似解可取为（精确度为0.1）(
)
A.2.52
B.2.56
C.2.66
D.2.75
3.（2021安徽宿州期末）已知函数
在区间(1,2)上有一个零点
，若用二分法求
的近似值（精确度为0.01），则应将区间(1,2)等分的次数至少为(
)
A.5
B.6
C.7
D.8
4.用二分法求函数
的一个零点，根据参考数据，可得函数
的一个零点的近似解为（精确度为0.1）(
)（参考数据：
）
A.1.6
B.1.7
C.1.8
D.1.9
5.（2021四川成都玉林中学高一期末）下列函数图象与
轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.用二分法求方程
在区间
内的近似解，取区间中点为
，那么下一个有解的区间是
.
7.已知方程
.
（1）判断该方程解的个数以及所在区间；
（2）用二分法求出方程的近似解（精确度为0.1）.
参考数值：
1.1875
1.125
1.25
1.3125
1.375
1.5
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
素养提升练
8.（多选）若函数
的图象是连续的，且函数
的唯一零点同在
内，则与
符号不同的是(
)
A.
B.
C.
D.
9.（多选）（2020河北石家庄一中高一期中）已知函数
在区间(0,3)内有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若
，
，则下列命题正确的是(
)
A.函数
的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数
的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数
的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数
的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
10.若函数
的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
-0.054
则方程
的一个近似解（精确度为0.04）为
.
11.如果一个正方体的体积为
，表面积为
，且
，那么这个正方体的棱长约为
（精确到0.01）.
12.已知函数
，证明
，并利用二分法证明方程
在区间
内有两个实根.
创新拓展练
13.已知函数
为
上的连续函数.
（1）若
，判断
在(-1,1)上是否有零点.若没有，请说明理由;若有，请在精确度为0.2（即零点所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出这个零点
所在的区间；
（2）若函数
在区间
上存在零点，求实数
的取值范围.
4.5.3
函数模型的应用
课标解读
课标要求
素养要求
能从不同函数的增长特点出发，总结、概括一般类型的函数模型特点，从而选择恰当的函数模型解决实际问题.
数学建模——会利用已知函数模型或建立函数模型解决实际问题.
自主学习·必备知识
名师点睛
1.常见的函数模型
（1）指数函数模型：
（
为常数，
且
）.
（2）对数函数模型：
（
为常数，
且
）.
（3）其他函数模型：如幂函数，二次函数，分段函数等.
2.解答数学应用题应过的三关：
（1）理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么；
（2）建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题；
（3）数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数模型的应用
精讲精练
例
衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，设刚放进去的新丸的体积为
，经过
天后其体积
与天数
的函数关系式为
.已知新丸经过50天后其体积变为
.若要使一个新丸的体积变为
，求其经过的天数.
解题感悟
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为
（其中
为基础数，
为增长率，
为时间）的形式.
迁移应用
1.一片森林原来的面积为
，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用的时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的
，已知到今年为止，森林的剩余面积为原来的
.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
探究点二
对数函数模型的应用
精讲精练
例
（2020四川泸县第四中学高一月考）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地进行繁衍.科学家经过测量发现，候鸟的飞行速度可以表示为函数
单位是
，其中
表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，
表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差（参考数据
）.
（1）若
，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位，则它的飞行速度约是多少？
（2）若
，则候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为多少个单位？
（3）若雄鸟的飞行速度为
，雌鸟的飞行速度为
，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
解题感悟
有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义.
迁移应用
1.2018年12月8日，我国的“长征”三号乙运载火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国又迈出了具有历史意义的一步.火箭的起飞质量
是箭体(包括搭载的飞行器)的质量
（吨）和燃料质量
（吨）之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度
关于
（吨）的函数关系式为
（其中
）.当燃料质量为
吨时，该火箭的最大速度为
.
（1）求“长征”三号系列火箭的最大速度
与燃料质量
（吨）之间的函数关系式；
（2）已知“长征”三号火箭的起飞质量
是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到
？（结果精确到0.1吨，
取2.718）
探究点三
拟合数据构建函数模型解决实际问题
精讲精练
例
某种蔬菜从2020年1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本
（单位：元
）与上市时间
（单位：10天）的数据如下表：
时间
5
11
25
种植成本
15
10.8
15
（1）根据上表数据，从下列函数：
（其中
）中，选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系；
（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
解题感悟
建立拟合函数与预测的基本步骤
迁移应用
1.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金
（单位：万元）随年产值
（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的
.
（1）若某企业年产值为100万元，则该企业可得9万元奖金，试分析函数
（k为常数）是不是符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知
）；
（2）若采用函数
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数
的值.
评价检测·素养提升
1.某种产品今年的产量是
，如果保持
的年增长率，那么经过
年
，该产品的产量
满足(
)
A.
B.
C.
D.
2.某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储藏温度
（单位：
）满足函数关系式
（
…为自然对数的底数，
为常数）.若该食品在
的保鲜时间是192小时，在
的保鲜时间是48小时，则该食品在
的保鲜时间是(
)
A.16小时
B.20小时
C.24小时
D.21小时
3.春天来了，某池塘中的荷叶逐渐铺展开来.已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶第20天就可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶覆盖水面面积的
时，荷叶已生长了
天.
4.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润（单位：万元）分别为
和
，其中
为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
万元.
课时评价作业
基础达标练
1.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量
（只）与时间
（年）近似满足关系式
，观测发现2018年冬（作为第1年）有3000只越冬的白鹤，估计2024年冬越冬的白鹤有(
)
A.4000只
B.5000只
C.6000只
D.7000只
2.（2021吉林长春高一期末）某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2019年开始每年比上一年获利增加
，则从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元？（已知
）(
)
A.2023年
B.2024年
C.2025年
D.2026年
答案：
3.（多选）（2021福建尤溪第五中学高一期末）如图，某池塘里的浮萍面积
（单位：
）与时间
（单位：月）的关系式为
（
且
），则下列说法正确的是(
)
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第6个月时，浮萍的面积会超过
C.浮萍面积从
蔓延到
只需经过5个月
D.若浮萍面积蔓延到
所经过的时间分别为
，则
4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝
，对于一个强度为
的声波，其音量的大小
可由以下公式计算：
（其中
是人耳能听到的声音的最低声波强度），设
的声音的声波强度为
，
的声音的声波强度为
，则
是
的
倍.
5.某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离
与刹车时的速度
的关系可以用
来描述，已知这种型号的汽车在速度为
时，紧急刹车后滑行的距离为
.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为
，则这辆车的行驶速度为
.
6.（2020河北邢台第二中学高一开学考试）某村收取电费有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元;超过30度时，超过的部分按每度0.6元收取；
方案二：不收取管理费，每度0.58元.
（1）求方案一中收费
（元）与用电量
（度）之间的函数关系式.若老王家九月份按方案一缴费35元，则老王家该月用电多少度？
（2）老王家该月用电量在什么范围内时，选择方案一比选择方案二好？
7.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数
，单位是
，其中
表示燕子的耗氧量.
（1）燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
素养提升练
8.（2021湖南怀化高一期末）某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①将水加热到
，水温
与时间
近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度
与时间
近似满足函数关系式
，（
为常数）.通常这种热饮在
时，口感最佳.某天室温为
，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，需要的时间为(
)
A.
B.
C.
D.
9.（多选）（2020江苏扬州中学高一期中）某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关时，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似地表示为
，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.以下判断正确的是(
)
A.该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20000元
C.该单位每月不获利，也不亏损
D.该单位每月需要国家至少补贴40000元才能不亏损
10.里氏震级
的计算公式为
，其中
是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，
是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为
；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的
倍.
11.（2021四川绵阳高一期末）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式
计算火箭的最大速度
(单位：
)，其中
（单位：
）是喷流相对速度，
（单位：
）是火箭（除推进剂外）的质量，
（单位：
）是推进剂与火箭质量的总和，
称为“总质比”.已知
型火箭的喷流相对速度为
.
（1）当总质比为330时，
型火箭的最大速度约为多少？
（2）经过材料更新和技术改进，
型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的
，若要使火箭的最大速度至少增加
，则在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为多少？
参考数据：
.
创新拓展练
12.某银行推出一款短期理财产品，约定如下：
①购买金额固定；
②购买天数可自由选择，但最短3天，最长不超过10天；
③购买天数
与利息y的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：
；方案二：
；方案三：
.
请你根据以上材料，研究下面两个问题：
（1）结合所学的数学知识和方法，用其他方式刻画上述三种方案的函数特征；
（2）依据你的分析，给出一个最佳理财方案.
章末总结
体系构建
题型整合
题型1
指数与对数的运算
例1
求下列各式的值.
;
.
方法归纳
1.指数与对数的运算应遵循的原则
（1）指数的运算：注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算．另外,若出现分式,则要对分子、分母因式分解以达到约分的目的.
（2）对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行.
2.底数相同的对数式化简的两种基本方法
（1）“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
（2）“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差).
迁移应用
1.计算：
.
2.已知
,则
的值为
.
题型2
指数函数、对数函数的图象问题
例2（1）若函数
的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(
)
A.B.C.D.
（2）如图,函数
的图象为折线
,则不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
方法归纳
（1）识别函数的图象从以下几个方面入手：
①单调性：函数图象的变化趋势;
②奇偶性：函数图象的对称性;
③特殊点对应的函数值．
（2）已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决.
（3）指数函数、对数函数、幂函数的图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这三类函数的图象,并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换.
迁移应用
3.已知
,则函数
的图象不经过(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.对
,且
的所有正实数,函数
的图象一定经过一个定点,则该定点的坐标是
.
题型3
指数函数、对数函数的性质
例3
设
为奇函数,
为常数.
（1）求
的值;
（2）证明
在区间
上单调递增.
方法归纳
基本初等函数单调性的判断与应用
（1）对于指数函数和对数函数,注意底数
对函数单调性的影响;对于幂函数
,注意指数
对函数单调性的影响.
（2）根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集.
迁移应用
5.设函数
,则
是(
)
A.奇函数,且在(0,2)上是增函数
B.奇函数,且在(0,2)上是减函数
C.偶函数,且在(0,2)上是增函数
D.偶函数,且在(0,2)上是减函数
6.若函数
在区间
上有最小值-2,则实数
的值为
.
题型4
函数的应用
例4
某工厂因排污比较严重,决定着手整治,第一个月污染度为60,整治后前四个月的污染度如表所示：
月数
1
2
3
4
污染度
60
31
13
0
污染度为0后,该工厂停止整治,但污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
,其中
表示月数,
分别表示污染度.
（1）试问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
（2）若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过60？(注：
)
方法归纳
利用已知函数模型解决实际问题的方法
解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.
迁移应用
7.国庆期间,一个小朋友买了一个体积为
的彩色大气球,放在自己的房间内,由于气球密封不好,经过
天后气球体积变为
.若经过25天后,气球体积变为原来的
,则至少经过
天后,气球体积小于原来的
,结果保留整数).
高考链接
1.（2020新高考Ⅰ,6,5分）基本再生数
与世代间隔
是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：
描述累计感染病例数
随时间
（单位：天）的变化规律,指数增长率
与
近似满足
.有学者基于已有数据估计出
.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
(
)
A.1.2天
B.1.8天
C.2.5天
D.3.5天
2.（2020课标Ⅰ,12,5分）若
,则(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020课标Ⅱ,9,5分）设函数
,则
(
)
A.是偶函数,且在
单调递增
B.是奇函数,且在
单调递减
C.是偶函数,且在
单调递增
D.是奇函数,且在
单调递减
4.（2020课标Ⅱ,12,5分）若
则(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2020课标Ⅲ,4,5分）
模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
（
的单位：天）的
模型：
,其中
为最大确诊病例数.当
时,标志着已初步遏制疫情,则
约为
(
)
A.60
B.63
C.66
D.69
6.（2020课标Ⅲ,12,5分）已知
.设
则(
)
A.
B.
C.
D.
7.（2020天津,9,5分）已知函数
若函数
恰有4个零点,则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
8.（2020天津,6,5分）设
则
的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.
9.（2020北京,6,4分）已知函数
,则不等式
的解集是(
)
A.(-1,1)
B.
C.(0,1)
D.
10.（2020北京,11,5分）函数
的定义域是
.
数学建模
建立函数模型解决实际问题
探究目的
设置一个可操作的活动方案,判断某同学是否超重
素养目标
在进行数学建模的过程中,进一步体会函数模型在现实生活中的应用,感受数学的应用价值,培养学生的实际操作能力和数学建模、数据分析的核心素养
相关知识
散点图,函数拟合
活动工具
问卷调查表,坐标纸,计算器
创设情景·过程探究
活动主题
根据某同学的身高和体重,判断该同学是否超重.
活动过程
1.观察实际情况,分析影响学生体重的因素
根据实际情况,学生的体重受身高、年龄、性别、地域、环境、饮食习惯等多种因素的影响.不同身高、年龄、性别、地域的人们的体重是有差别的.
由于体重受多种因素的影响,很难找到一个适合每个人和每个年龄阶段的非常准确的公式来衡量体重.为此,只能选取影响体重最直接的因素——身高来建立一个基本的数学模型,从宏观上反映体重与身高的关系.
2.收集数据
每位同学收集200个人的身高与体重.
3.数据整理
汇总后计算出不同身高的同学的体重平均值,将结果填入下面表格中.
身高（
）
体重（
）
4.数据分析
根据表中整理得到的数据,在坐标纸中作出散点图.
5.结论猜想
随着身高增加,体重也越来越大,但增长速度越来越慢.
【提示】可上网查询影响一个人体重的相关因素.
【提示】收集数据可到学校卫生室档案里查找、小区或街头随机采访.
理论分析
1.通过分析,该散点图在第一象限且呈递增趋势.可以得出四种拟合模型.
模型一：
;
模型二：
;
模型三：
;
模型四：
.
判断哪个模型拟合效果最好.
解析：【提示】对于不同的函数模型,可利用计算器计算相应系数的值.
答案：【提示】由散点图与模拟函数偏离程度进行比较,可知模型四拟合效果最好.
活动检验
通过模型求解,得出实际体重与验证体重的对比数值如下表:
身高（
）
实际体重（
）
验证体重（
）
活动总结
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