(共24张PPT)
4.3
对数
第四章
学习目标
1.理解对数的概念，理解对数的运算性质.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.了解对数在简化运算中的作用.
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
对数的概念
①对数的定义：通过指数运算，我们能从
中算出经过t年后B景区的人数
是2011年的y倍.反之，如果想知道多少年后游客人次是2001年的2倍、3倍、…
该怎么做？
?
上述问题就是从
中分别求出t，即已知底数
和幂的值，求指数.
?
一般地，如果
，那么
叫做以
为底
的对数.
?
记作
，其中
叫做对数的底数，
叫做真数.
?
?
?
?
?
?
例如，因为42=16，那么2就是以4为底16的对数，记作
因为34=81，所以4就是以3为底81的对数，记作
?
?
?
?
对数的概念
【问题】为什么规定
?
【1】如果
，则会出现N为某些数值时，
不存在的情况，比如，假设
存在，设
，则
，无解.
?
?
?
?
?
【2】如果
，且
，则
不存在；若
，且
，则
有无数个值，不能确定.为此，规定
且
.
?
?
?
?
?
?
?
?
【3】如果
，且
，则
不存在；若
，且
，则
有无数个值，不能确定.为了避免
不存在或者不唯一确定的
情况，规定
.
?
?
?
?
?
?
?
?
对数的概念
②两种特殊对数
通常，我们把以10为底的对数叫做常用对数，并且赋予它特殊的数学符号，
即
：
另外，在科技、经济、社会中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数，
以e为底的对数叫做自然对数，也有它特殊的符号，即
.
?
?
对数的基本性质和与指数的关系.
【1】
根据对数的定义，可以得到对数和指数的关系：
当
时，
?
?
【2】
对数的基本性质：
①
负数和0没有对数
②
?
③
?
证明：①
由
，得
.当
时，
?
?
?
?
即负数和0没有对数.
②
设
，
，则
，即
?
?
?
?
设
，
，则
，即
?
?
?
?
【1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
【解】(1)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
对数的基本性质和与指数的关系.
【规律总结】
（1）指数式和对数式的关系
指数式
和对数式
是同一种数量关系的不同表达形式（如下表）.
?
?
（2）对数恒等式
?
?
底数
指数
幂
底数
对数
真数
?
?
【1】求下列各式的值.
【解】
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
对数的运算
【探究】设
，因为
，所以
?
?
?
根据对数和指数之间的关系可得：
?
这样，我们就得到了对数的一个运算性质：
?
同样的，还有：
?
?
?
前提
对数的运算
【对数运算性质的理解】
【1】逆向应用对数运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简.
【2】对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式
才成立.如
是存在的，但
与
均不存
在，
所以不能写成
?
?
?
?
【3】对数的运算性质(1)可以推广到若干个正因数积的对数，即以下式子成立：
?
对数的运算
【对数运算性质的推广】
【1】
【2】
【3】
?
?
?
【1】求下列函数的定义域和值域.
【解】(1)
(2)
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
【2】利用
表示
.
【解】
?
?
?
?
?
?
即时巩固
对数换底公式
【定义】设
，则
，于是有
?
?
?
根据对数运算性质(3)有：
，即：
?
?
这个式子叫做对数的换底公式，简称为换底公式.
★
换底公式的意义：把不同底数问题转化为同底数问题，也可以反过来用
★
换底公式的条件：公式中每一个对数式都有意义
★
换底公式换的底：依据具体问题需要而变
【1】求下列各式的值.
【解】
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
1.logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是
A.ab＝N
B.ba＝N
C.aN＝b
D.bN＝a
√
2.若logax＝1，则
A.x＝1
B.a＝1
C.x＝a
D.x＝10
√
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是
√
4.已知logx16＝2，则x＝___.
4
log23
解析 方法一 设2x＝3y＝t，则x＝log2t，y＝log3t.
方法二 ∵2x＝3y，
则lg
2x＝lg
3y，∴xlg
2＝ylg
3，
7.设10lg
x＝100，则x＝_____.
100
8.lg
0.01＋log216的值是____.
2
解析 lg
0.01＋log216＝－2＋4＝2.
课堂小结
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)
＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
4.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).
谢
谢！第四章
指数函数与对数函数
4.3
对数
4.3.1
对数的概念
课标解读
课标要求
素养达标
1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.
数学运算－能够进行指数式对数式之间的互化.
自主学习·必备知识
要点一
对数的概念
一般地，如果
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作①
，其中
叫做对数的②
底数
，
叫做③
真数
.
当
，
时，
.
要点二
常用对数和自然对数
通常，我们将以④
10
为底的对数叫做常用对数，并把
记为
.
另外,在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数
为底数的对数，以
为底的对数称为自然对数，并把
记为⑤
.
要点三
对数的基本性质
负数和0没有对数；
⑥
0
，
⑦
1
自主思考
1.对数
中，
能不能是0或者负数？真数
有取值范围是什么？
答案：提示
不能是0或者负数，
的取值范围是
.
2.若式子
无意义，求
的取值范围.
答案：提示由题意得
，解得
，即
的取值范围是
.
名师点睛
1.对数恒等式：
.
2.利用对数性质解决2类问题的方法：
（1）求多重对数式的值的方法是由内到外，如求
的值时，先求
的值，再求
的值.
（2）已知多重对数式的值求变量的值的方法是从外到内，逐步脱去“
”后再求解.
互动探究·关键能力
探究点一
指数式和对数式的互化
精讲精练
例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
答案：（1）
，
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
解题感悟
对数式与指数式的关系
对数式
中的真数
是指数式中的幂的值
，而对数式中的
是指数式中的幂指数.
迁移应用
1.
将下列指数式化为对数，对数式化为指数式：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）
.
（2）
.
探究点二
对数的概念及应用
精讲精练
例
求下列各式中
的值：
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
.
答案：（1）由题意得,
.
（2）由
，得
.
（3）由
，得
.
（4）易得
解题感悟
求对数式中
的值的基本思想和基本方法
（1）基本思想:在一定条件下求对数式中
的值时,要注意利用方程的思想求解.
（2）基本方法:
①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
②利用指数的性质计算.
迁移应用
1.
求下列各式中
的值：
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
.
答案：（1）由
，可得
,
.
（2）由
可得
.
.
（3）易得
，
.
（4）由
，可得
.
.
探究点三
对数的性质及应用
精讲精练
例求下列各式的值.
（1）
；
（2）
；
（3）
.
答案：（1）
.
（2）
.
（3）
.
解题感悟
利用对数的性质求值的问题，很多是指数运算和对数运算的综合问题，在运用对数的性质时要注意每个性质的特点，比如
要求底数和真数相等，
要求两个底数相同.
迁移应用
1.
求下列各式的值.
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
.
答案：（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
评价检测·素养提升
1.将
写成对数式,则下列式子正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.
.
答案：6
3.使对数
有意义的实数
的取值范围是
.
答案：
4.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式．
（1）
；
（2）
；
（3）
.
答案：（1）
.
（2）
.
（3）
课时评价作业
基础达标练
1.（2020江苏南京高一期中）下列说法中正确的是(
)
A.因为
，所以
B.因为
，所以
C.因为
，所以
D.因为
，所以
答案：
2.下列等式中不成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（多选）（2020湖北黄石一中期末）下列四个结论中正确的有(
)
A.
B.
C.若
，则
D.
答案：
;
4.若
，则
的值是(
)
A.-2B.-3C.0D.3
答案：
5.方程
的解是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.若
，则
的最小值为
.
答案：
7.设
，则
的值为
.
答案：1
解析：令
，则
,
所以
.
8.（1）已知
，求
的值；
（2）计算：
.
答案：（1）
，
（2）原式
.
9.（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知
，求
的值.
答案：（1）
，
，
，
.
（2）
.
，又
.
素养提升练
10.关于等式
有以下结论：①
；②
；③
；④
；⑤
,其中可能成立的是(
)
A.①②⑤B.②③⑤C.③④⑤D.①④⑤
答案：
解析：设
，则
，
当
时，
，故①正确；
当
时，
，故②正确；
当
时，
,故⑤正确.
故选A.
11.（多选）已知
，
，
，若
，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：设
，
则
，
，
，
因为
，
所以
，
所以
在
上是减函数，
所以
，
而
，
，
，
在
上是增函数，
所以
.故选AC.
12.（2020吉林通化辉南第一中学高一月考）若
，则
.
答案：
2
解析：
，
，
，
，
，
.
13.地震的震级
与地震释放的能量
的关系式为
.如果
地地震级别为9.0级，
地地震级别为8.0级，那么
地地震释放的能量是
地地震释放的能量的
倍.
答案：
解析：由
,得
，
故
.
设
地和
地地震释放的能量分别为
，
，
则
.
14.已知
且
，求
的值.
答案：
，
，
.
由
，知
，
.
.
创新拓展练
15.已知
，试比较
的大小.
解析：命题分析
本题考查对数的基本性质,指数式与对数式之间的互化,幂函数的单调性的应用,指数大小比较,还考查了运算求解的能力.
答题要领
由
得
，即可求得
的值,同理求出
，
的值，然后比较大小即可.
答案：详细解析
由
得，
，则
，即
.
由
得，
，则
，即
.
由
得，
，则
，即
.
，
，
，
又
，
，
，故
.
方法感悟
解答此题时要注意指数式与对数式的互化，同时要结合题设条件，注意公式的灵活运用.
4.3.2
对数的运算
课标解读
课标要求
素养达标
1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.
2.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
1数学运算－能利用对数的运算性质进行对数式的化简、求值.
自主学习·必备知识
要点一
对数的运算性质
自主思考
如果
，且
，
，
，那么
（1）
①
；
（2）
②
；
（3）
③
.
要点二
对数换底公式
（
且
，且
）.
自主思考
1.
正确吗？
答案：提示
不正确.
2.求式子
的值.
答案：提示原式
.
名师点睛
1.换底公式的应用技巧
（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
（2）题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.
2.解对数综合应用问题的3个要点
（1）统一化：所求为对数式,条件转为对数式.
（2）选底数：针对具体问题,选择恰当的底数.
（3）会结合：学会换底公式与对数运算性质结合使用．
3.性质
与
的作用
（1）
的作用在于能把任意一个正实数转化为以
为底的指数形式.
（2）
的作用在于能把以
为底的对数转化为一个实数.
互动探究·关键能力
探究点一
对数运算性质的应用
精讲精练
例
求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
（2）原式
.
解题感悟
1.对数式的化简、求值的求解方式一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，同时要注意各部分变形时要化到最简形式.
2.化简同底的对数常用的方法：
（1）“收”，将两对数的和（差）收成积（商）的对数.
（2）“拆”，将两对数的积（商）拆成和（差）的对数.
迁移应用
1.（多选）下列计算正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
2.计算下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
探究点二
对数换底公式的应用
精讲精练
例
求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
（2）原式
.
解题感悟
1.在化简带有对数的表达式时,若对数的底不同，则需利用换底公式.
2.常用的公式：
，
等.
迁移应用
1.下列运算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
探究点三
对数运算性质的综合应用
精讲精练
例（1）已知
，求
（用
表示）；
（2）若
，求
的值.
答案：（1）因为
，
所以
.
则
（2）由题意得
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
.
由题意得
,所以
，
所以
.
解题感悟
对数等式中含有字母参数时,要注意隐含条件，如例题中应有
，
，
，
，由此可得
，得
，故xy＝-1应舍去.故当多个变量出现在同一个关系式中时,变量的取值范围会相互限制,因此应特别注意变量之间的相关性.
迁移应用
1.
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度
（单位：
）和燃料的质量
（单位：
），火箭（除燃料外）的质量
（单位：
）满足
（
为自然对数的底数）当燃料的质量
为火箭（除燃料外）的质量
的2倍时，求火箭的最大速度.
答案：因为
，
所以
.
故当燃料的质量
为火箭（除燃料外）的质量
的2倍时,火箭的最大速度为
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.（多选）下列等式中不成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
2.方程
的解
.
答案：2
解析：由
，得
，
即
，整理得
.
解得
或
.
，
.
3.已知
，
是方程
的两根，则
的值是
.
答案：2
解析：由题意得，
，
，所以
.
4.（2020吉林长春高一月考）计算下列各式的值：
（1）
；
（2）设
，求
的值.
答案：（1）原式
.
（2）
，
，
.
素养演练
数学运算——利用恒等转化思想求值
1.
已知
，且
，求
的值.
答案：令
，
则
，
，
，
，
，
，
由
，得
，
，
，
，
.
素养探究：利用指数式与对数式之间的互化进行化简求值的过程，体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.
已知
均为正数，
.
（1）求实数
的值；
（2）求证：
.
答案：（1）设
，则
，
，
.
由
，得
.
，
.
（2）证明：由（1）知
，
又
，
.
课时评价作业
基础达标练
1.
的值为(
)
A.2B.
C.1D.
答案：
2.（多选）（2020江苏江浦高级中学高一月考）下面给出的四个式子（式中
，且
，
，
，且
，
）中错误的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
3.设
，
，则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.
，则
的值为(
)
A.
B.4C.1D.
或1
答案：
解析：由对数的运算性质,得到
，整理得
，进而得到
，解得
，因为
，即
，所以
.
5.（多选）（2020辽宁朝阳第二高级中学高一月考）若
，
，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：将指数式化为对数式，利用对数的运算性质，对每个选项进行逐一求解，即可选择.
6.
.
答案：1
7.已知
，则用
表示
.
答案：
8.已知
，且
，则
.
答案：
9.求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
素养提升练
10.已知
均为正实数,若
，
，则
(
)
A.
或
B.
C.
D.2或
答案：
解析：令
，则
，
，即
，
解得
或
，
或
，
或
，
，代入得
或
，
，
或
，
，
或
.故选D.
11.（多选）（2020浙江杭州学军中学高一期中）已知
，则
满足的关系有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：由题意知，
，
，
，即
，
，
，故A、B正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选ABD.
12.（多选）（2020南京第十三中学高一期中）任何一个正整数
可以表示成
，此时，
.
真数
2
3
4
5
6
7
8
常用对数
（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
下列结论中正确的有(
)
A.
是
位数
B.
是
位数
C.
是48位数
D.一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
答案：
;
;
解析：
，
由于10是两位数，所以
是
位数，故A中结论正确，B中结论不正确；
设
，则
，
所以
，所以
是48位数，故C中结论正确；
对于
，只需要说明
是不是一个11位正整数，
若
，则
，
则
，故
为一个11位正整数，故D中结论正确.
故选ACD.
13.（2021浙江宁波镇海中学高一期末）计算：
.
答案：
解析：
.
14.若
是方程
的两个实根,则
的值是
.
答案：12
解析：原方程可化为
.
设
，则方程可化为
，
.
是方程
的两个实根，
，
，
即
，
.
.
创新拓展练
15.（2020四川成都七中万达学校高一期中）设声强级
（单位：
）由公式
给出，其中
为声强（单位：
）.
（1）若航天飞机发射时的最大声强是
，求其声强级；
（2）若一般正常人听觉的声强级的取值范围为
,
(单位：
)，求其声强的取值范围.
答案：（1）由已知得,航天飞机发射时的最大声强是
，即
，
因为
，所以航天飞机发射时的声强级为
.
（2）由题意得
，所以
，化简得
，
所以
，所以其声强的取值范围为
.
2
/
2114.3
对数
4.3.1
对数的概念
课标解读
课标要求
素养达标
1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.
数学运算－能够进行指数式对数式之间的互化.
自主学习·必备知识
要点一
对数的概念
一般地，如果
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作①
，其中
叫做对数的②
底数
，
叫做③
真数
.
当
，
时，
.
要点二
常用对数和自然对数
通常，我们将以④
10
为底的对数叫做常用对数，并把
记为
.
另外,在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数
为底数的对数，以
为底的对数称为自然对数，并把
记为⑤
.
要点三
对数的基本性质
负数和0没有对数；
⑥
0
，
⑦
1
自主思考
1.对数
中，
能不能是0或者负数？真数
有取值范围是什么？
2.若式子
无意义，求
的取值范围.
名师点睛
1.对数恒等式：
.
2.利用对数性质解决2类问题的方法：
（1）求多重对数式的值的方法是由内到外，如求
的值时，先求
的值，再求
的值.
（2）已知多重对数式的值求变量的值的方法是从外到内，逐步脱去“
”后再求解.
互动探究·关键能力
探究点一
指数式和对数式的互化
精讲精练
例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
解题感悟
对数式与指数式的关系
对数式
中的真数
是指数式中的幂的值
，而对数式中的
是指数式中的幂指数.
迁移应用
1.将下列指数式化为对数，对数式化为指数式：
（1）
；
（2）
.
精讲精练
例
求下列各式中
的值：
；
（2）
；
；
（4）
.
解题感悟
求对数式中
的值的基本思想和基本方法
（1）基本思想:在一定条件下求对数式中
的值时,要注意利用方程的思想求解.
（2）基本方法:
①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
②利用指数的性质计算.
迁移应用
1.求下列各式中
的值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
探究点三
对数的性质及应用
精讲精练
例求下列各式的值.
（1）
；
（2）
；
（3）
.
解题感悟
利用对数的性质求值的问题，很多是指数运算和对数运算的综合问题，在运用对数的性质时要注意每个性质的特点，比如
要求底数和真数相等，
要求两个底数相同.
迁移应用
1.求下列各式的值.
（1）
；
（2）
；
；
（4）
.
评价检测·素养提升
1.将
写成对数式,则下列式子正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.
.
3.使对数
有意义的实数
的取值范围是
.
4.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式．
（1）
；
（2）
；
（3）
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020江苏南京高一期中）下列说法中正确的是(
)
A.因为
，所以
B.因为
，所以
C.因为
，所以
D.因为
，所以
2.下列等式中不成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（多选）（2020湖北黄石一中期末）下列四个结论中正确的有(
)
A.
B.
C.若
，则
D.
4.若
，则
的值是(
)
A.-2
B.-3
C.0
D.3
5.方程
的解是(
)
A.
B.
C.
D.
6.若
，则
的最小值为
.
7.设
，则
的值为
.
8.（1）已知
，求
的值；
（2）计算：
.
（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知
，求
的值.
素养提升练
10.关于等式
有以下结论：①
；②
；③
；④
；⑤
,其中可能成立的是(
)
A.①②⑤
B.②③⑤
C.③④⑤
D.①④⑤
11.（多选）已知
，
，
，若
，则(
)
A.
B.
C.
D.
12.（2020吉林通化辉南第一中学高一月考）若
，则
.
13.地震的震级
与地震释放的能量
的关系式为
.如果
地地震级别为9.0级，
地地震级别为8.0级，那么
地地震释放的能量是
地地震释放的能量的
倍.
14.已知
且
，求
的值.
创新拓展练
15.已知
，试比较
的大小.
方法感悟
解答此题时要注意指数式与对数式的互化，同时要结合题设条件，注意公式的灵活运用.
4.3.2
对数的运算
课标解读
课标要求
素养达标
1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.
2.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
1数学运算－能利用对数的运算性质进行对数式的化简、求值.
自主学习·必备知识
要点一
对数的运算性质
自主思考
如果
，且
，
，
，那么
（1）
①
；
（2）
②
；
（3）
③
.
要点二
对数换底公式
（
且
，且
）.
自主思考
1.
正确吗？
2.求式子
的值.
名师点睛
1.换底公式的应用技巧
（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
（2）题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.
2.解对数综合应用问题的3个要点
（1）统一化：所求为对数式,条件转为对数式.
（2）选底数：针对具体问题,选择恰当的底数.
（3）会结合：学会换底公式与对数运算性质结合使用．
3.性质
与
的作用
（1）
的作用在于能把任意一个正实数转化为以
为底的指数形式.
（2）
的作用在于能把以
为底的对数转化为一个实数.
互动探究·关键能力
探究点一
对数运算性质的应用
精讲精练
例
求下列各式的值：
；
.
解题感悟
1.对数式的化简、求值的求解方式一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，同时要注意各部分变形时要化到最简形式.
2.化简同底的对数常用的方法：
（1）“收”，将两对数的和（差）收成积（商）的对数.
（2）“拆”，将两对数的积（商）拆成和（差）的对数.
迁移应用
1.（多选）下列计算正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
2.计算下列各式的值：
（1）
；
.
探究点二
对数换底公式的应用
精讲精练
例
求下列各式的值：
；
.
解题感悟
1.在化简带有对数的表达式时,若对数的底不同，则需利用换底公式.
2.常用的公式：
，
等.
迁移应用
1.下列运算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.求下列各式的值：
（1）
；
.
探究点三
对数运算性质的综合应用
精讲精练
例（1）已知
，求
（用
表示）；
若
，求
的值.
解题感悟
对数等式中含有字母参数时,要注意隐含条件，如例题中应有
，
，
，
，由此可得
，得
，故xy＝-1应舍去.故当多个变量出现在同一个关系式中时,变量的取值范围会相互限制,因此应特别注意变量之间的相关性.
迁移应用
1.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度
（单位：
）和燃料的质量
（单位：
），火箭（除燃料外）的质量
（单位：
）满足
（
为自然对数的底数）当燃料的质量
为火箭（除燃料外）的质量
的2倍时，求火箭的最大速度.
评价检测·素养提升
1.（多选）下列等式中不成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.方程
的解
.
3.已知
，
是方程
的两根，则
的值是
.
4.（2020吉林长春高一月考）计算下列各式的值：
（1）
；
设
，求
的值.
素养演练
数学运算——利用恒等转化思想求值
1.已知
，且
，求
的值.
素养探究：利用指数式与对数式之间的互化进行化简求值的过程，体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.已知
均为正数，
.
（1）求实数
的值；
（2）求证：
.
，
课时评价作业
基础达标练
1.
的值为(
)
A.2
B.
C.1
D.
2.（多选）（2020江苏江浦高级中学高一月考）下面给出的四个式子（式中
，且
，
，
，且
，
）中错误的有(
)
A.
B.
C.
D.
3.设
，
，则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.
4.
，则
的值为(
)
A.
B.4
C.1
D.
或1
5.（多选）（2020辽宁朝阳第二高级中学高一月考）若
，
，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.
.
7.已知
，则用
表示
.
8.已知
，且
，则
.
9.求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
素养提升练
10.已知
均为正实数,若
，
，则
(
)
A.
或
B.
C.
D.2或
11.（多选）（2020浙江杭州学军中学高一期中）已知
，则
满足的关系有(
)
A.
B.
C.
D.
12.（多选）（2020南京第十三中学高一期中）任何一个正整数
可以表示成
，此时，
.
真数
2
3
4
5
6
7
8
常用对数
（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
下列结论中正确的有(
)
A.
是
位数
B.
是
位数
C.
是48位数
D.一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
13.（2021浙江宁波镇海中学高一期末）计算：
.
14.若
是方程
的两个实根,则
的值是
.
创新拓展练
15.（2020四川成都七中万达学校高一期中）设声强级
（单位：
）由公式
给出，其中
为声强（单位：
）.
（1）若航天飞机发射时的最大声强是
，求其声强级；
（2）若一般正常人听觉的声强级的取值范围为
,
(单位：
)，求其声强的取值范围.
2
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