(共22张PPT)
4.4
对数函数
第四章
学习目标
1.了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数.
4.比较几类函数模型增长的差异，并利用函数模型解决简单的实际问题.
核心素养：数学抽象、数学
建模、直观想象
新知学习
什么是对数函数
【定义】根据指数与对数的关系，由
可以得到
?
?
?
也是
的函数.而通常我们用
表示自变量，用
?
?
?
?
?
?
一般地，函数
叫做对数函数，其中
是
自变量，定义域是(0，+∞)
?
?
指数式和对
数式的转化
?
什么是对数函数
【问题】怎样判断一个函数是不是对数函数？
【答】抓住对数函数解析式的三个结构特征：
【1】
的系数为1
【2】
底数
满足
.
【3】
真数是自变量
.
?
?
?
?
为什么对数函数的
定义域是(0，+∞)？
【答】由函数定义及解析式
可知，对数函数的自
变量
恰好是指数
函数的函数值
，
所以对数函数的定义
域是(0，+∞)
?
?
【1】求下列函数的定义域.
【解】
?
?
?
所以函数
的定义域是
?
?
?
所以函数
的定义域是
?
?
即时巩固
对数函数的图像和性质
【1】
的图像
?
0.5
-1
1
0
2
1
4
2
6
2.585
8
3
12
3.585
?
?
?
1
?
对数函数的图像和性质
【2】
的图像
?
0.5
1
1
0
2
-1
4
-2
8
-3
16
-4
?
?
?
1
?
对数函数的图像和性质
【3】
和
图像
?
?
?
?
1
?
?
?
利用换底公式，可以得到下式：
?
即这两个函数关于
轴对称.实际上
?
对于一般的两个函数
和
?
?
它们的图像也是关于
轴对称的.
?
利用点
和点
的关系即可证明
.
?
?
的图像和性质
?
在同一坐标系中画出不同底数的图像，通过图像我们发现除了
和
的图像关于
轴对称之外，还可以把底数
分成
和
两种情况来讨论:
?
?
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【问题】怎样画出对数函数的图像？
【答】用三点法，描出
?
?
三个点之后，
用平滑的曲线连接起来即可.
的图像和性质
?
?
?
过定点（1，0）
减函数
增函数
①图像都在y轴右侧
②都经过点（1，0）
③无限靠近y轴但不相交
④
时，图像上升
⑤
时，图像下降
?
?
底大图高
底大图低
的图像和性质
?
【注意】①对数函数值的变化：
?
?
?
?
?
②对数函数单调性口诀：
对数函数有两种，底数大小要分清；
底数若是大于1，图像从左往右增.
底数0到1之间1，图像从左往右减；
无论函数增或减，图像都过(1,0)点.
【1】比较下列各式的大小.
【解】
?
?
?
?
?
?
即时巩固
反函数
【探究】观察图像可以发现，指数函数
，定义域R,值域(0,+∞)和对数函数
，定义域为(0,+∞)，值域为R，他们的定义域和值域恰好相
反，并且它们的图像关于直线
对称，那么我们就称函数
的反函数是
，函数
的反函数是
这两个函数互为反函数.
?
?
?
?
?
?
?
【结论】一般地，指数函数
与对数函数
互为反函数，它们的定义域和值域互换.
?
?
?
?
反函数
【指数函数和对数函数的比较】
?
?
?
?
?
?
?
两个函数互为反函数，图像关于直线对称
【1】求下面函数的定义域.
【解】
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
1.下列函数为对数函数的是
A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D.y＝2logax(a＞0且a≠1)
√
2.函数y＝log2(x－2)的定义域是
A.(0，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.[4，＋∞)
√
3.函数y＝2log4(1－x)的图象大致是
解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；
又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.
4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝_____.
log2x
5.函数f(x)＝ln
x2的减区间为_________.
(－∞，0)
课堂小结
1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数.
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝log5
都不是对数函数，可称其为对数型函数.
2.研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.
3.研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.
4.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
5.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.
谢
谢！第四章
指数函数与对数函数
4.4
对数函数
4.4.1
对数函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解对数函数的概念.
2.会求简单的对数型函数的定义域.
数学抽象——能通过具体实例领会对数函数的概念.
自主学习·必备知识
一般地，函数
（
，且
）叫做对数函数，其中①
是自变量，定义域是②
.
自主思考
1.函数
和
的底数分别是什么？
答案：提示
底数分别为
和10.
名师点睛
在对数函数中，自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.当对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.
互动探究·关键能力
探究点一
对数函数的概念
精讲精练
例（2020北京临川学校高一期中）若函数
是对数函数，则实数
的值是
.
答案：3
解析：由题意得
.
解题感悟
若一个函数是对数函数，则其必须是
（
，且
）的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量
.
迁移应用
1.已知下列函数：
①
；
②
；
③
；
④
（
，
是常数）.
其中一定为对数函数的是
（填序号）．
答案：③
解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，
的系数为1，自变量是
，故③是对数函数；对于④，底数
，当
时，底数小于0，故④一定不是对数函数.
2.判断下列函数是不是对数函数.
（1）
；（2）
；（3）
.
答案：（1）符合对数函数的结构形式，是对数函数.
（2）自变量在底数的位置上，故不是对数函数.
（3）不符合对数函数的结构形式，故不是对数函数.
探究点二
对数型函数的定义域
精讲精练
例
函数
的定义域是
.
答案：
解析：
由题意得
解得
.
故函数
的定义域是
.
解题感悟
解决对数型函数的定义域问题时，除了要特别注意真数和底数，还要遵循前面学习过的求函数定义域的知识，比如函数解析式为分式（分母不能为0）、根式（根指数为偶数时，被开方数非负）等情形.
迁移应用
1.函数
的定义域为
.
答案：
解析：由题意得
，解得
，故函数
的定义域为
.
2.（2021浙江宁波高一期末）函数
的定义域为
.
答案：
解析：由题意得
解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
探究点三
对数函数的实际应用
精讲精练
例
某工厂生产一种溶液，市场要求其杂质含量不超过
，若开始时溶液中含杂质
，每过滤一次可使杂质含量减少
，则至少应过滤
次才能达到市场要求.（已知
，
）
答案：8
解析：设过滤
次时达到市场要求.
由题意可得
，
即
，
，
.
故至少应过滤8次才能达到市场要求.
解题感悟
解决此类问题时，应根据条件建立数学模型，先利用指数式和对数式的互化转化为对数式，再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值.
迁移应用
1.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质的原子总数
约为
，则下列各数中与
最接近的是（参考数据:
）(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得
，
，根据对数的运算性质有
，所以
，
所以
.故选
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列函数是对数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为
.
答案：
3.（2020浙江台州启超中学高一期中）函数
的定义域为
.
答案：
4.已知函数
则
.
答案：
解析：
，
，
.
素养演练
数学运算——求对数型函数的定义域
1.函数
的定义域为
.
答案：
解析：
由题意得
解得
，
所以函数
的定义域为
.
素养探究：已知函数解析式，求函数定义域的方法：
（1）有分式时：分母不为0；
（2）有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
（3）有指数时：若指数为0，则底数一定不能为0；
（4）有根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时，根号下大于0；
（5）当函数为对数型函数时，只需满足真数大于0.
迁移应用
1.使
有意义的
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意得
，解得
，则
的取值范围是
.
2.函数
的定义域为
.
答案：
解析：由题意得
解得
，则函数
的定义域为
.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列函数不是对数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
2.（2020吉林长春外国语学校高一月考）若
为对数函数，则
(
)
A.1B.2C.3D.4
答案：
3.（2021浙江温州高一期末）函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
）D.
）
答案：
5.函数
的定义域是
.
答案：
6.（2021辽宁沈阳高一期末）给定函数
，设集合
，
.若
，
，使得
成立，则称函数
具有性质
.给出下列三个函数：①
；②
；③
.其中，具有性质
的函数是
（填序号）.
答案：
①③
解析：对于①，
，
，显然
，
，使得
成立，即具有性质
；
对于②，
，
，当
时，不存在
，使得
成立，即不具有性质
；
对于③，
，
，显然
，
，使得
成立，即具有性质
.故具有性质
的函数是①③.
7.已知
为对数函数，且
，则
.
答案：
解析：设
（
，且
），则
，
，即
（负值舍去），
，
.
8.求下列函数的定义域.
（1）
；
（2）
.
答案：（1）由题意得
解得
或
，
所以函数的定义域为
.
（2）由题意得
解得
或
，
所以函数的定义域为
.
9.若函数
为定义在
上的奇函数，且当
时，
，求
的解析式.
答案：
为
上的奇函数，
.
又当
时，
，
，
素养提升练
10.函数
的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
11.（2020江西南昌师大附中高一期中）函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
]D.
答案：
解析：由题意得
解得
且
，所以函数
的定义域为
.故选
.
12.对于实数
，
，
，
，定义
.设函数
，则方程
的解为
.
答案：2
解析：
定义
，
，
由
解得
，
函数
的定义域为
.
若
，则
，即
，解得
（舍去）.
13.设函数
（
，且
），若
，则
的值是
.
答案：12
解析：
.
14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为
，鲑鱼的耗氧量的单位数为
，研究中发现
与
成正比，且当
时，
.
（1）求出
关于
的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是
时耗氧量的单位数.
答案：（1）设
当
时，
，
，
，
关于
的函数解析式为
.
（2）令
，则
，解得
，即一条鲑鱼的游速是
时，耗氧量的单位数为2700.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）若定义域为
，求实数
的取值范围；
（2）若值域为
，求实数
的取值范围.
解析：命题分析
本题考查对数型函数的定义域和值域、二次函数的图象与性质等知识点，过程中体现了数学运算的核心素养.
（1）答题要领
函数
的定义域是使对数的真数有意义的
的取值范围，故函数定义域为
等价于真数的取值恒大于零，由此得出
时，方程
根的判别式小于0，从而求得实数
的取值范围．
（2）答题要领
函数
的值域为
，说明对数的真数取到所有的正数，由此可得
包含于真数对应的二次函数的值域，从而求得实数
的取值范围.
答案：（1）要使
的定义域为
，则对任意实数
都有
恒成立.
当
时，不符合题意；
当
时，由二次函数
的图象可知
解得
.
故实数
的取值范围为
.
（2）要使
的值域为
，则
的值域必须包含
.
当
时，显然成立；
当
时，二次函数
的图象必须与
轴相交且开口向上，
解得
或
.
综上，实数
的取值范围为
.
方法感悟
若函数
的定义域为
，则
在
上恒成立；若函数
的值域为
，则
，其中
为函数
的定义域.
4.4.2
对数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体对数函数的图象.
2.知道对数函数
（
，且
）与指数函数
（
，且
）互为反函数.
3.通过学习对数型函数，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.
1.数学运算——会求对数型函数的单调区间和值域.
2.逻辑推理——能掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.
第1课时
对数函数的图象和性质
自主学习·必备知识
要点一
对数函数的图像与性质
底数互为①
倒数
的两个对数函数的图象关于
轴对称.
一般地，对数函数的图象和性质如表所示，
图象
定义域
值域
性质
过定点②
，即
时，
减函数
③
增函数
要点二
反函数
一般地，指数函数④
（
，且
）
与对数函数
（
，且
）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
自主思考
1.函数
与
的图象有什么关系？
答案：提示函数
与
的图象关于
轴对称.
2.对数函数图象的“上升”和“下降”与
有怎样的关系？
答案：提示
当
时，对数函数的图象“上升”；当
时，对数函数的图象“下降”.
3.若函数
的定义域是
，则它的反函数的值域是什么？
答案：提示
.
名师点睛
有关对数型函数图象问题的应用技巧
（1）求函数
（
，且
）的图象所过的定点坐标时，只需令
，求出
，即可得到定点坐标为
.
（2）给出函数解析式判断函数的图象时，应首先考虑函数对应哪种基本初等函数，其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等，最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法.
（3）根据对数函数的图象判断底数大小的方法：作直线
与所给的图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
互动探究·关键能力
探究点一
对数函数单调性的应用
精讲精练
例1
若
在
上是增函数，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意得，
，解得
.
例2
比较下列各组值的大小：
（1）
与
；
（2）
与
；
答案：（1）因为
，
，所以
.
（2）
，
又对数函数
在
上是增函数，且
，
所以
，
所以
所以
.
解题感悟
比较对数式的大小时常用的方法
（1）同底数的对数式，直接利用对数函数的单调性.
（2）同真数的对数式，利用对数函数的图象或用换底公式转化.
（3）底数和真数都不同的对数式，找中间值.
（4）若底数为同一参数的对数式，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
迁移应用
1.已知函数
若
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意得
解得
.
2.比较下列各组值的大小：
（1）
，
（2）
，
；
（3）
，
（4）
，
.
答案：（1）因为函数
在
上是减函数，且
，所以
.
（2）因为函数
在
上是增函数，且
，所以
.
（3）因为
，所以
，即
.
（4）因为
，
，所以
.
探究点二
对数型函数的图象
精讲精练
例
函数
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
函数
是偶函数，
的图象关于
轴对称，
当
时，
是增函数；
当
时，
是减函数，
又
函数
的图象过
，
两点，
结合选项可知选项
中的图象符合题意.
解题感悟
对数函数图象的特点
（1）底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0且小于1，图象呈下降趋势.
（2）在第一象限内，各图象对应的对数函数的底数顺时针增大.
迁移应用
1.对数函数
（
，且
）的图象如图所示，已知
分别取
，
，
，
，则与
，
，
，
相对应的
的值依次为(
)
A.
，
，
，
B.
，
，
，
C.
，
，
，
D.
，
，
，
答案：
2.已知函数
（
，为常数，其中
，且
的图象如图，则下列结论成立的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：
探究点三
定点问题
精讲精练
例
若
，且
，则函数
的图象恒过定点
.
答案：
解析：令
，得
，即
，此时
，所以
的图象恒过定点
.
解题感悟
对数函数
（
，且
）的图象恒过定点
，即
时，
，令真数等于1，求得的
即为定点.
迁移应用
1.函数
的图象一定经过点(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.已知函数
的图象过定点
，则
.
答案：
4
解析：
函数
的图象过定点
，
令
，解得
，
此时
，
函数
的图象过定点
，
，
，则
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.设
，
，
，其中
为自然对数的底数，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
，
，
，
，故选
.
2.（2021浙江杭州高一期末）已知
，且
，则函数
与
的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：当
时，函数
为减函数，且其图象过
点，函数
为减函数，且
，选项
中的图象符合；
当
时，函数
为增函数，且其图象过
点，
函数
为增函数，且
，选项中的图象都不符合.
故选
.
3.已知
在
，
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由选项知
，所以
为减函数，而当
时，
是增函数，所以当
时，
是减函数.由
，得
在
上恒成立，所以
，故实数
的取值范围是
.故选
.
4.函数
的图象必过定点
.
答案：
5.设
，
，
，则
，
，
的大小关系为
（用“
”连接）.
答案：
6.比较下列各题中两个值的大小：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
（
，且
）
答案：（1）因为
在
上是增函数，且
，所以
.
（2）因为
，
，
所以
.
（3）
，当
时，函数
在
上是增函数，有
；
当
时，函数
在
上是减函数，有
.
综上所得，当
时，
；当
时，
.
素养演练
直观想象——对反函数的理解和应用
1.（2021陕西宝鸡高一期末）若函数
是函数
（
，且
）的反函数，且
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得，
，
则
，
解得
，
因此，
.
2.（2021甘肃张掖第二中学高一月考）已知函数
与
互为反函数，并且函数
的图象与
的图象关于
轴对称，若
，则
的值是
.
答案：
解析：因为函数
与
互为反函数，
所以
，
则
，
所以
，
解得
.
素养探究：已知
与
互为反函数，则①函数
的定义域、值域是函数
的值域、定义域.②
的图象与
的图象关于直线
对称.③若
的图象经过点
，则
的图象经过点
.
迁移应用
1.（2021福建福州第一中学高一月考）已知函数
（
，
）的图象经过点
，则函数
的图象经过点(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为函数
与函数
互为反函数，
所以函数
的图象经过点
.
2.设
，若
的反函数的图象经过点
，则
(
)
A.7B.3C.1D.
答案：
解析：
的反函数的图象经过点
，
的图象经过点
，
，
解得
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021浙江杭州高一期末）设
，
，
，则实数
，
，
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（多选）已知函数
（
，
）的图象恒过点
，则下列函数的图象也过点
的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
3.函数
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（2021江苏南通高一期末）已知函数
的图象恒过定点
，且函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
5.函数
（
，
）的图象恒过定点
，则点
的坐标为
；若
，则实数
.
答案：
;
6.（2020江西南昌师大附中高一期中）已知函数
是函数
（
，
）的反函数，且
，则
.
答案：
素养提升练
7.（多选）若实数
，
满足
，则下列关系中可能成立的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：当
时，
，即
，故
，
正确；
当
时，
，
，故
，
正确；
当
时，
，即
，故
，
正确；
当
时，
，故
，
错误.
故选
.
8.已知函数
若
的值域是
，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：根据题意知
，由
的值域是
可作出图象，如图：
当
时，
，
由
，
，
，
可知
；
当
时，
，
由
，
，可知
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
9.已知函数
，
（
，且
）
（1）求函数
的定义域；
（2）判断函数
的奇偶性，并予以证明.
答案：
（1）要使函数
有意义，
必须有
解得
.
所以函数
的定义域是
.
（2）
是奇函数.证明：由（1）知函数
的定义域关于原点对称，
，
所以函数
是奇函数.
创新拓展练
10.设函数
且
.
（1）求
的解析式及定义域；
（2）求
的值域.
答案：（1）
，
，
.
且
，
应满足
的定义域为
.
（2）
，且
的定义域为
，
的值域为
.
第2课时
对数函数的性质及应用
互动探究·关键能力
探究点一
对数型函数的单调性
精讲精练
例
（1）已知
，求
的取值范围；
（2）求函数
的单调递增区间.
答案：（1）
函数
在
上为减函数，
由
，
得
解得
，
的取值范围为
.
（2）要使函数有意义，则
，
解得
，
即函数的定义域为
.
令
，
.
在
上，
增大，
增大，
减小，
即在
上，
随
的增大而减小，为减函数；
在
上，
增大，
减小，
增大，
即在
上，
随
的增大而增大，为增函数.
综上，
的单调递增区间为
.
解题感悟
形如的函数
（
，且
）的单调区间的求法：
（1）先求
的解集（也就是函数
的定义域）.
（2）当
时，在
的前提下，
的单调增区间是
的单调增区间，
的单调减区间是
的单调减区间.
（3）当
时，在
的前提下，
的单调增区间是
的单调减区间，
的单调减区间是
的单调增区间.
迁移应用
1.解下列不等式：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）由题意可得
解得
，所以原不等式的解集为
.
（2）当
时，
原不等式等价于
解得
；
当
时，
原不等式等价于
解得
.
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；当
时，原不等式的解集为
.
探究点二
对数型函数的值域
精讲精练
例函数
.
（1）当
时，求该函数的值域；
（2）若
对任意
恒成立，求
的取值范围.
答案：（1）
，
令
，当
时，
，
此时
，
易知当
时，
取得最小值
，当
时，
取得最大值1，
该函数的值域为
.
（2）令
，
，
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
对任意
恒成立，
令
，
，
易知
在
上单调递增，
，
，即
的取值范围为
.
解题感悟
求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.一定要注意定义域对它的影响，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.
迁移应用
1.已知
，求函数
的值域.
答案：
.
令
，
，
，
则
.
易知当
时，
，当
时，
，
函数
的值域为
.
探究点三
对数型函数性质的综合应用
精讲精练
例
已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.
（1）求
，
的值；
（2）求函数
的表达式；
（3）若
，求实数
的取值范围.
答案：（1）
，
.
（2）因为
在
上为奇函数，
所以
，
令
，则
，
所以
，
所以
（3）当
时，
，
令
，则
.
由于
是增函数，
是减函数，则
在
上是减函数，
因为
是奇函数，
且
，
所以
是
上的减函数.
由
，得
，
解得
，
即实数
的取值范围是
.
解题感悟
对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.
迁移应用
1.已知函数
.
（1）若
为奇函数，求
的值；
（2）在（1）的条件下，若
在
上的值域为
，求
，
的值.
答案：（1）
为奇函数，
，
即
，
，
解得
（负值舍去）.
（2）由（1）知
，
则
，
即
或
解得
，
即其定义域为
.
当
时，
为减函数，
又
在其定义域内为增函数，
在其定义域内是减函数，则
.
由题意知
，
解得
，
即
，
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.函数
在
上的最大值是(
)
A.0B.1C.2D.
答案：
解析：
，
在
上是减函数，
.
故选
.
2.函数
的值域是
.
答案：
令
，则
，
所以
，
即函数
的值域是
.
3.（★）（2021浙江丽水高一期末）函数
的单调递增区间
.
答案：
解析：
是复合函数，可以写成
，
，
根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知，外层函数
是增函数，
所以只需求
在定义域内的单调递增区间.
由不等式
，解得
或
，
易知
在
上单调递增，
故函数
的单调递增区间为
.
4.求函数
的单调区间.
答案：由于方程
的判别式
，
在
上恒成立，
令
，
当
时，
为减函数，
当
时，
为增函数，
易知
在定义域内单调递减，
函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
素养演练
逻辑推理——利用对数函数的性质求参数
1.已知函数
.
（1）若函数的定义域为
，求实数
的取值范围；
（2）若函数的值域为
，求实数
的取值范围.
答案：（1）若
的定义域为
，
则关于
的不等式
的解集为
，
结合二次函数的图象（图略）可得
解得
.
故实数
的取值范围是
.
（2）若函数
的值域为
，则
可取遍所有正实数，结合函数图象（图略）可得
或
解得
.
故实数
的取值范围是
.
素养探究：对数型函数的定义域为
的问题，多转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，在解题时，当最高次项的系数带字母时，需进行分类讨论.
迁移应用
1.若函数
的定义域为
，求实数
的取值范围.
答案：当
时，
，符合题意；
当
时，由题意得
解得
.
综上，
的取值范围是
.
课时评价作业
基础达标练
1.设函数
，则使得
成立的
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（多选）下列关于函数
的说法错误的是(
)
A.函数的定义域是
B.函数的值域是
C.函数在定义域上单调递增
D.函数在定义域上单调递减
答案：
;
;
3.（2020陕西宝鸡高一期中）若
，则
，
满足的条件是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（多选）（2020重庆江津中学高一月考）关于函数
，下列说法正确的是(
)
A.定义域为
B.定义域为
C.值域为
D.递增区间为
答案：
;
;
5.（2021四川成都高一月考）已知函数
，则该函数的单调递减区间是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（2021甘肃高一期末）定义在
上的奇函数
，当
时，
，则不等式
的解集是
.
答案：
7.（2021安徽池州一中高一月考）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
.
答案：
8.（2021浙江高一期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为
.
答案：
9.已知函数
.
（1）求函数
的定义域并证明该函数是奇函数；
（2）若当
时，
，求函数
的值域.
答案：
（1）由题意得
，解得
或
，
即函数
的定义域为
，且定义域关于原点对称，
因为
，
所以函数
为奇函数.
（2）由题意得，
，
当
时，
，函数
是增函数，
故当
时，
，即函数
的值域为
.
10.（2020福建三明高一期中）设函数
.
（1）求函数
的定义域；
（2）若
，求函数
在区间
上的最大值；
（3）解不等式
.
答案：（1）由题意得
解得
，所以函数
的定义域为
.
（2）因为
，所以
，所以
.
则
，
所以当
时，
是增函数；当
时，
是减函数，
故函数
在
上的最大值是
.
（3）当
时，
解得
不等式的解集为
；
当
时，
解得
不等式的解集为
.综上所述，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
素养提升练
11.（多选）下列函数中值域为
的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：
选项，令
，则由对数函数的性质可得
的值域为
，即
的值域为
，故
满足题意；
选项，由
得
，解得
.令
，则
，根据对数函数的性质可得
的值域为
，则
的值域为
，故
满足题意；
选项，令
，所以
，即函数
的值域为
，故
不满足题意；
选项，令
，则
，根据对数函数的性质可得
的值域为
，即
的值域为
，故
满足题意.
故选
.
12.（多选）已知函数
，则(
)
A.当
时，
的定义域为
B.
一定存在最小值
C.
的图象关于直线
对称
D.当
时，
的值域为
答案：
;
解析：当
时，方程
的判别式
，则方程
有两个不等根，故函数
的定义域应该在两根之外，即其定义域不为
，
错误；
若
，则
的定义域为
，值域为
，没有最小值，
错误；
由于函数
为偶函数，其图象关于
轴对称，将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数
的图象，此时对称轴为直线
，
正确；
当
时，方程
的判别式
，函数
的值域包含
，故函数
的值域为
，
正确.
故选
.
13.若函数
（
，
）在区间
内恒有
，则
的单调递增区间是
.
答案：
解析：易知
在
上单调递增，所以
，
又
在区间
内恒有
，所以
，则对数函数
在定义域内单调递增，
由
，解得
，即
的定义域为
，
因为
在
上递增，所以
的单调递增区间是
.
14.已知
，
，则
的最大值是
.
答案：13
解析：
，
函数
的定义域为
，
要使函数
有意义，
必须满足
，
.
.
当
，即
时，函数
取得最大值13.
创新拓展练
15.已知
，
，
.
（1）求函数
的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）当
的定义域为
时，解不等式
；
（3）若
恰在
上取负值，求
的值.
解析：命题分析
本题考查对数型函数的奇偶性和单调性，函数不等式的解法，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
（1）答题要领
通过换元法令
，则
，即得解析式；利用奇偶性定义即得函数是奇函数；讨论
和
两种情况，根据指数函数的单调性判断该函数的单调性即可.
（2）答题要领
利用奇偶性、单调性和定义域得到
，
满足的关系式，解不等式即可.
（3）答题要领
根据
恰在
上取负值，得出
，代入求参数
的值即可.
答案：（1）详细解析
令
，则
，
故
所以
.
又
，所以
是奇函数.
当
时，
是增函数，
是减函数，故
是增函数，而
，故
在
上是增函数；
当
时，
是减函数，
是增函数，故
是减函数，而
，故
在
上是增函数.
综上，
在
上是增函数.
（2）详细解析
由（1）可知，
等价于
，再根据函数的单调性可得
解得
，
所以不等式的解集是
.
（3）详细解析
依题意
恰在
上取负值，结合单调性知，当
时，
，即
，化简得
，解得
.
方法感悟
利用奇偶性和单调性解不等式时，移项将不等式化成
的形式，结合
的单调性，脱去“
”，即得到式子
与
的关系，再结合定义域解不等式即可.
4.4.3
不同函数增长的差异
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2.会分析具体的实际问题,通过建模解决实际问题.
1.逻辑推理——能从几类特殊函数中分析出一般函数的增长特点.
2.数学建模——能通过比较几种不同类型的函数模型的增长特点进行决策,进而解决实际问题.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一
指数函数与一次函数增长的差异
一般的，指数函数
与一次函数
，即使
的值远远大于
的值，
的①
增长速度
最终都会大大超过
的②
增长速度
.
要点二
对数函数与一次函数增长的差异
一般的，虽然对数函数
与一次函数
在区间
上都单调③
递增
，但它们的④
增长速度
不同.随着
的增大，一次函数
保持⑤
固定
的增长速度，而对数函数
的增长速度⑥
越来越慢
.无论
的值比
的值大多少，在一定范围内，
可能会⑦
大于
，但由于
的增长最终会⑧
慢于
的增长，因此总会存在一个
，当
时，恒有⑨
.
自主思考
1.对于任意的
，都有
（
,且
），该说法是否正确？
答案：提示
错误。
名师点睛
指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间
上，尽管函数
和
都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.
随着
的增大，
的增长速度越来越快，会超过并远远大于
的增长速度，而
的增长速度则会越来越慢.
因此，总会存在一个
，使得当
时，恒有
互动探究·关键能力
探究点一
几种函数模型增长的差异
精讲精练
例
甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程
关于时间
的函数关系式分别为
，有以下结论：
①当
时，甲走在最前面;
②当
时，乙走在最前面;
③当
时，丁走在最前面，当
时，丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面;
⑤如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为
.
答案：
③④⑤
解析：
在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象（图略），易得
①错误：因为
所以
，所以当
时，乙在甲的前面.
②错误：因为
所以
，所以当
时，甲在乙的前面.
③正确：当
时，
的图象在
图象的下方，
的图象在
图象的上方，即丁走在最前面;当
时，
的图象在最下方，即丁走在最后面.
④正确：当
时，丙在甲、乙前面，在丁后面;当
时，丙在丁前面，在甲、乙后面;当
时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.
⑤正确：当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快
的图象必定在
图象的上方，所以最终走在最前面的是甲．
综上，正确结论的序号为③④⑤.
解题感悟
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：
一次函数模型
的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型：
指数函数模型
的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被称为“指数爆炸”．
（3）对数函数模型：
对数函数模型
的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
迁移应用
1.下列函数中，增长速度越来越慢的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.四个变量
随变量
变化的情况如下表：
1
5
10
15
20
25
30
2
26
101
226
401
626
901
2
32
1024
32768
2
10
20
30
40
50
60
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
其中，关于
呈指数函数变化的变量是
.
答案：
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
探究点二
不同函数模型的图象及其应用
精讲精练
例
函数
和
的图象如图所示．设两个函数的图象交于点
,且
.
（1）请指出图中曲线
分别对应的函数;
（2）结合函数图象，判断
的大小．
答案：（1）当
充分大时，位于上方的图象对应的函数是指数函数
，另一个函数就是幂函数
，
曲线
对应的函数为
，曲线
对应的函数为
.
（2）
，
.
从图象上可以看出，当
时
.
当
时，
.又
，
.
解题感悟
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长速度不变的函数是一次函数．
迁移应用
1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）成正比，药物释放完毕后，
与
的函数关系式为
（
为常数），如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）之间的函数关系式为
;
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过
小时后，学生才能回到教室．
答案：（1）
（2）0.6
解析：（1）由题图可知，当
时，
;当
时，由
，得
，则当
时，
.
故
（2）由题意可知，
，得
.即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室.
评价检测·素养提升
1.下列函数中，随着
的增大，增长速度最快的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.测得
的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型：甲：
，乙：
，若又测得
的一组对应值为（3，10.2），则应选用
（选填“甲”或“乙”）作为函数模型.
答案：
甲
3.函数
与函数
在区间
上增长速度较快的是
.
答案：
4.函数
的图象如图所示.
（1）指出曲线
分别对应哪一个函数;
（2）比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对
的大小进行比较）.
答案：（1）由函数图象特征及变化趋势，知曲线
对应的函数为
，曲线
对应的函数为
.
（2）当
时，
;当
时，
;当
时，
.
呈直线增长，其增长速度不变，
随着
的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢.
课时评价作业
基础达标练
1.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值
万公顷关于年数
的函数关系式大致可以是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.今年小王用7200元买了一笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格会比去年降低
，则三年后这种笔记本的价格是(
)
A.
元B.
元
C.
元D.
元
答案：
3.向高为
的水瓶内注水，注满为止，如果注水量
与水深
的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(
)
A.B.C.D.
答案：
4.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量
与净化时间
（月）的近似函数关系：
且
的图象.有以下叙述：
①第4个月时，该种有害物质的残留量低于
;
②每月减少的有害物质的量都相等;
③若残留量为
时，其净化所经过的时间分别是
则
.
其中所有正确叙述的序号是
.
答案：
①③
素养提升练
5.以下四种说法中，正确的是(
)
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的
C.对任意的
D.不一定存在
当
时，总有
答案：
解析：对于
，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较．对于
，当
时，显然不成立．对于
，当
时，一定存在
，使得当
时，总有
，但若去掉限制条件“
”，则结论不成立．故选D.
6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据:
）(
)
A.2018B.2019C.2020D.2021
答案：
解析：设2015年后的第
年该公司投入的研发资金为
万元，则
.
由
，得
.
两边取对数，得
，
从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.故选B.
7.三个变量
随自变量
的变化情况如下表：
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
5
135
625
1715
3645
6655
5
29
245
2189
19685
177149
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于
呈对数型函数变化的变量是
，呈指数型函数变化的变量是
.
答案：
;
解析：根据三种模型的变化特点，观察题表中的数据可知，
随x的增大而迅速增大，故呈指数型函数变化，
随
的增大而增大，但变化缓慢，因此呈对数型函数变化.
8.某品牌汽车的月产能
（万辆）与月份
且
满足关系式
.现已知该品牌汽车2021年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车2021年7月的产能为
万辆．
答案：
解析：
由已知得
解得
则
当
时
（万辆）.故该品牌汽车2021年7月的产量为1.875万辆.
创新拓展练
9.某国2017年至2020年国内生产总值（单位：万亿元）如表所示：
年份
2017
2018
2019
2020
（年份代码）
0
1
2
3
生产总值
（万亿元）
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）画出函数的图象，猜想
与
之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;
（2）利用得到的关系式求2018年和2019年的生产总值，且与表中的实际生产总值进行比较;
（3）利用关系式预测2034年该国的国内生产总值.
答案：（1）画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为
．
把直线经过的两点（0，8.2067）和（3，10.2398）代入上式，解得
.
函数关系式为
.
（2）由得到的函数关系式计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为
6777×1+8.2067=8.8844（万亿元），
6777×2+8.2067=9.5621（万亿元）．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
（3）2034年，即当
时，由（1）得
（万亿元），
即预测2034年该国的国内生产总值约为19.7276万亿元．
加练课4
复合函数的图象与性质
学习目标
1.会求复合函数的定义域.
2.掌握复合函数奇偶性的判定方法.
3.掌握复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.
4.掌握复合函数零点的求法及零点个数的判定.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.若
，则
(
√
)
2.函数
可分解为
和
(
√
)
3.函数
的定义域与函数
的值域相同.(
×
)
4.若函数
和
的单调性相反，则函数
在公共定义域内是减函数.(
√
)
二、夯实基础，自我检测
5.（2020陕西西安月考）已知
，则
的单调递增区间是(
)
A.
B.
C.
D.（-2，1）
答案：
6.已知函数
的定义域为
，
，则函数
的定义域为
.
答案：
7.设
为大于1的常数，函数
若关于
的方程
恰有三个不同的实数解，则实数
的取值范围是
.
答案：
互动探究·关键能力
探究点一
复合函数的定义域
精讲精练
例
（2020河北石家庄二中期中）已知函数
，则
的定义域是(
)
A.
）B.
）
C.
D.
）
答案：
解析：由题意可得
即
，
解得
，
即
的定义域为
.
令
，
解得
，
所以
的定义域为
.
故选A.
解题感悟
复合函数的定义域，就是复合函数
中
的取值范围.
①若
的定义域为[
，
]，则
的定义域应由
≤
≤
解出;
②若
的定义域为[
，
]，则
的定义域为
在[
，
]上的值域.
提醒：定义域永远都是
中
的取值范围.
迁移应用
1.若
的定义域为(0，
，则函数
的定义域是(
)
A.
B.
，1)
C.（0，1）D.
答案：
解析：由题意得
解得
.故函数
的定义域为（
，故选A.
探究点二
复合函数的单调性
精讲精练
例
已知函数
.
（1）若
的定义域、值域都是
，求
的值;
（2）当
时，讨论
在区间
上的值域.
答案：（1）
函数
的定义域为
，
恒成立，
方程
的判别式
，
解得
，
故a的取值范围为(-2,2).
函数的值域为
，
函数
能取遍所有的正实数，
方程
的判别式
，解得
或
，故a的取值范围为
.
若
的定义域、值域都是
，则
的取值范围应是这两个取值范围的交集，显然，它们的交集为
，故满足条件的a不存在.
（2）当
时，
.
①若
，则
在定义域内单调递减，故当
时，函数
取得最大值
，
当
时，函数取得最小值
，
故函数
的值域为
.
②若
，则函数
在
时没有意义，故
.
③若
，则
在区间
上没有单调性，故当
时，函数取得最大值
，
当
时，函数值趋于最小且不存在，故函数
的值域为
.
④若
，则
在区间
上没有单调性，当
时，函数取得最大值
，
当
时，函数值趋于最小且不存在，故函数
的值域为
解题感悟
求复合函数的单调性需要注意的点：（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域;（2）
，
单调性相同，则
为增函数;
，
单调性相异，则
为减函数，简称“同增异减”.
迁移应用
已知函数
，其中
.
（1）求函数
的定义域;
（2）判断函数
的单调性，并给予证明.
答案：（1）由题意得
解得
，故函数
的定义域为(-1,1).
（2）
是(-1,1)上的减函数.
证明：
，
设
则
易知
在区间(-1,1)上是增函数，
又
为减函数，
故
是(-1,1)上的减函数.
探究点三
复合函数的奇偶性
精讲精练
例
已知函数
.
（1）判断
的奇偶性;
（2）用定义法证明
是定义域内的增函数.
答案：（1）由题意得
解得
，即函数的定义域为(-3,3)，关于原点对称.
又
，
所以函数
为奇函数.
（2）证明：
，其定义域为(-3,3)，
,且
,
则
，
因为
，所以
故
则
即
则
是定义域内的增函数.
解题感悟
对于复合函数
，若
为偶函数，则
为偶函数;若
为奇函数，则
的奇偶性与
的奇偶性相同.其中
的定义域关于原点对称.
迁移应用
已知函数
.
（1）当
时，若
，求
的取值范围;
（2）设函数
，试判断
的奇偶性，并说明理由.
答案：（1）当
时，
，
若
，则
，所以
，解得
，故x的取值范围是
.
（2）
是偶函数.理由：根据题意得，函数
，
则
解得
，即函数的定义域为(-2,2)，关于原点对称.
因为
，所以函数
为偶函数.
探究点四
复合函数的零点
精讲精练
例
已知函数
若关于
的方程
有8个不等的实数根，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.（1，2）D.
答案：
解析：函数
的图象如图所示，
令
，则方程
有8个不等的实数根等价于
在（1，2）上有2个不等的实数根，可得
解得
，所以
的取值范围是
.
解题感悟
复合函数零点问题的特点：考虑关于
的方程
根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于
的方程，观察有几个
的值使得等式成立;第二层是结合着第一层
的值求出每一个
被几个
对应，将
的个数汇总后即为
的根的个数.
迁移应用
1.已知函数
若关于
的方程
有三个不同的实根，则实数
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：作出函数
的图象，如图所示，
令
易知
的图象的对称轴方程为
，若原方程有3个不同的实根，则
在
内有且仅有1个根，由对称轴
可知，另外一个根在
内，即方程
在
内各有一个根，
解得
，即实数
的取值范围为
.故选A.
2.已知函数
则函数
的零点个数是
.
答案：
4
解析：由
得
，
设
，则
等价于
，
当
时，由
解得
;
当
时，由
解得
，
所以
或
.
当
时，由
解得
，由
解得
，故此时有两个零点;
当
时，由
解得
由
解得
，故此时有两个零点.
综上，函数
的零点个数为4.
评价检测·素养提升
1.已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.下列函数中，定义域为
的偶函数是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2021福建福州高一期末）已知函数
.
（1）求实数
及
的值;
（2）判断函数
的奇偶性并证明.
答案：（1）根据题意
，解得
，
则
所以
.
（2）函数
是奇函数.
证明：函数
的定义域为
，
且
故
为奇函数.
4.（2021吉林长春外国语学校高一月考）已知函数
.
（1）若
，求函数
的单调递增区间;
（2）若函数
的最小值是0，求实数
的值;
（3）若函数
的值域为
，求实数
的取值范围.
答案：（1）由
，得
，即
.
由
，解得
.
的定义域为(-1,3)，
令
，该函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为
，
在(-1,1)上是增函数，
又
在定义域内是增函数，
函数
的单调递增区间为(-1,1).
（2）
函数
有最小值0，
函数
有最小值1.
解得
.
（3）
函数
的值域为
,
函数
能够取到大于0的所有实数，
则
或
故
.
课时评价作业
基础达标练
1.已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
）D.
答案：
2.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）下列函数为奇函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020陕西山阳校级月考）若
在
，
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.已知函数
则函数
的零点个数为(
)
A.3B.4C.5D.6
答案：
5.已知函数
.若关于
的方程
有8个不等的实数根，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.若函数
为
上的偶函数，则
.
答案：
1
解析：
函数
为
上的偶函数，
，
即
，
故
化简得
则
即
解得
.
7.已知点
在幂函数
的图象上，则函数
的单调递减区间是
.
答案：
8.已知奇函数
是
上的单调函数，若函数
只有一个零点，则实数
的值是
.
答案：
9.（2021江苏南京鼓楼高一期末）设
为正实数，且
，函数
.
（1）若
为偶函数，求
的值;
（2）若函数
的值域为
，求
的取值范围.
答案：（1）由题意得
，
若
为偶函数，则
，
即
，
则
解得
.
（2）根据题意，
，
设
若函数
的值域为
，则必有
，
因为
所以
当且仅当
时等号成立，即
的最小值为
，
则有
，解得
，
故a的取值范围为
.
10.已知函数
.
（1）求
的定义域;
（2）解关于
的不等式
.
答案：（1）根据题意,必有
且
,解得
,
所以
的定义域为(-3,3).
（2）根据题意得,
.
设
,则
,
当
时,
为减函数,
因为
为增函数,所以
在(-3,3)上为减函数,
又
在(-3,3)上为减函数,
所以
在(-3,3)上为减函数,
解得
,即不等式的解集为
.
素养提升练
11.已知函数
的定义域为（
,则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：令
,由对勾函数的性质可知,当
时,
取得最小值2;当
时,
取得最大值
.故
,即
的定义域为
.
令
,解得
.故函数
的定义域为
.故选C.
12.定义在
上的单调函数
满足：
,则方程
的解所在的区间是(
)
A.
B.
C.（1,2）D.（2,3）
答案：
解析：因为
,且函数
在
上为单调函数,所以
必为定值.设
,则
,又因为
,所以
,解得
,所以
.所以方程
即
所以
解得
,故选A.
13.若函数
在（1,3）上单调递减,则函数
的增区间是
.
答案：
解析：设
,易知
在（1,3）上单调递增,
函数
在（1,3）上单调递减,
在（1,3）上单调递减,可得
,
函数
的增区间就是
的减区间,
令
,解得
或
,
函数
的增区间是
.
14.已知函数
函数
,其中
,若函数
恰有4个零点,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：
由
得
即
,所以
恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解,即直线
与函数
的图象有4个公共点,由图象（图略）可知
.故实数b的取值范围是
.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）判断函数
的奇偶性并证明;
（2）若函数
在区间
上单调递减,且值域为
,求实数
的取值范围.
答案：（1）
为奇函数.
证明：由题意得
,解得
或
,
即函数
的定义域为
,关于原点对称,
又
,
所以函数
为奇函数.
（2）根据题意,设
易知在区间
上,
为增函数,若函数
在区间
上单调递减,
则
在
上单调递减,故
.
若函数
的值域为
,
则
即
则
为方程
的两个不等的实数根,且
,
设
则有
解得
,即实数
的取值范围是
.
2
/
2114.4
对数函数
4.4.1
对数函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解对数函数的概念.
2.会求简单的对数型函数的定义域.
数学抽象——能通过具体实例领会对数函数的概念.
自主学习·必备知识
一般地，函数
（
，且
）叫做对数函数，其中①
是自变量，定义域是②
.
自主思考
1.函数
和
的底数分别是什么？
名师点睛
在对数函数中，自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.当对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.
互动探究·关键能力
探究点一
对数函数的概念
精讲精练
例（2020北京临川学校高一期中）若函数
是对数函数，则实数
的值是
.
解题感悟
若一个函数是对数函数，则其必须是
（
，且
）的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量
.
迁移应用
1.已知下列函数：
①
；
②
；
③
；
④
（
，
是常数）.
其中一定为对数函数的是
（填序号）．
2.判断下列函数是不是对数函数.
（1）
；（2）
；（3）
.
探究点二
对数型函数的定义域
精讲精练
例
函数
的定义域是
.
解题感悟
解决对数型函数的定义域问题时，除了要特别注意真数和底数，还要遵循前面学习过的求函数定义域的知识，比如函数解析式为分式（分母不能为0）、根式（根指数为偶数时，被开方数非负）等情形.
迁移应用
1.函数
的定义域为
.
解析：由题意得
，解得
，故函数
的定义域为
.
2.（2021浙江宁波高一期末）函数
的定义域为
.
探究点三
对数函数的实际应用
精讲精练
例
某工厂生产一种溶液，市场要求其杂质含量不超过
，若开始时溶液中含杂质
，每过滤一次可使杂质含量减少
，则至少应过滤
次才能达到市场要求.（已知
）
解题感悟
解决此类问题时，应根据条件建立数学模型，先利用指数式和对数式的互化转化为对数式，再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值.
迁移应用
1.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质的原子总数
约为
，则下列各数中与
最接近的是（参考数据:
）(
)
A.
B.
C.
D.
评价检测·素养提升
1.下列函数是对数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为
.
3.（2020浙江台州启超中学高一期中）函数
的定义域为
.
4.已知函数
则
.
素养演练
数学运算——求对数型函数的定义域
1.函数
的定义域为
.
素养探究：已知函数解析式，求函数定义域的方法：
（1）有分式时：分母不为0；
（2）有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
（3）有指数时：若指数为0，则底数一定不能为0；
（4）有根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时，根号下大于0；
（5）当函数为对数型函数时，只需满足真数大于0.
迁移应用
1.使
有意义的
的取值范围是
.
2.函数
的定义域为
.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列函数不是对数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020吉林长春外国语学校高一月考）若
为对数函数，则
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
3.（2021浙江温州高一期末）函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
4.函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
）
D.
）
5.函数
的定义域是
.
6.（2021辽宁沈阳高一期末）给定函数
，设集合
，
.若
，
，使得
成立，则称函数
具有性质
.给出下列三个函数：①
；②
；③
.其中，具有性质
的函数是
（填序号）.
7.已知
为对数函数，且
，则
.
8.求下列函数的定义域.
（1）
；
（2）
.
9.若函数
为定义在
上的奇函数，且当
时，
，求
的解析式.
素养提升练
10.函数
的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
11.（2020江西南昌师大附中高一期中）函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
]
D.
12.对于实数
，
，
，
，定义
.设函数
，则方程
的解为
.
13.设函数
（
，且
），若
，则
的值是
.
14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为
，鲑鱼的耗氧量的单位数为
，研究中发现
与
成正比，且当
时，
.
（1）求出
关于
的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是
时耗氧量的单位数.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）若定义域为
，求实数
的取值范围；
（2）若值域为
，求实数
的取值范围.
方法感悟
若函数
的定义域为
，则
在
上恒成立；若函数
的值域为
，则
，其中
为函数
的定义域.
4.4.2
对数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体对数函数的图象.
2.知道对数函数
（
，且
）与指数函数
（
，且
）互为反函数.
3.通过学习对数型函数，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.
1.数学运算——会求对数型函数的单调区间和值域.
2.逻辑推理——能掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.
第1课时
对数函数的图象和性质
自主学习·必备知识
要点一
对数函数的图像与性质
底数互为①
倒数
的两个对数函数的图象关于
轴对称.
一般地，对数函数的图象和性质如表所示，
图象
定义域
值域
性质
过定点②
，即
时，
减函数
③
增函数
要点二
反函数
一般地，指数函数④
（
，且
）
与对数函数
（
，且
）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
自主思考
1.函数
与
的图象有什么关系？
2.对数函数图象的“上升”和“下降”与
有怎样的关系？
3.若函数
的定义域是
，则它的反函数的值域是什么？
名师点睛
有关对数型函数图象问题的应用技巧
（1）求函数
（
，且
）的图象所过的定点坐标时，只需令
，求出
，即可得到定点坐标为
.
（2）给出函数解析式判断函数的图象时，应首先考虑函数对应哪种基本初等函数，其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等，最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法.
（3）根据对数函数的图象判断底数大小的方法：作直线
与所给的图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
互动探究·关键能力
探究点一
对数函数单调性的应用
精讲精练
例1
若
在
上是增函数，则实数
的取值范围是
.
例2
比较下列各组值的大小：
（1）
与
；
（2）
与
；
解题感悟
比较对数式的大小时常用的方法
（1）同底数的对数式，直接利用对数函数的单调性.
（2）同真数的对数式，利用对数函数的图象或用换底公式转化.
（3）底数和真数都不同的对数式，找中间值.
（4）若底数为同一参数的对数式，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
迁移应用
1.已知函数
若
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
.
2.比较下列各组值的大小：
（1）
，
（2）
，
；
（3）
，
（4）
，
.
探究点二
对数型函数的图象
精讲精练
例
函数
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
对数函数图象的特点
（1）底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0且小于1，图象呈下降趋势.
（2）在第一象限内，各图象对应的对数函数的底数顺时针增大.
迁移应用
1.对数函数
（
，且
）的图象如图所示，已知
分别取
，
，
，
，则与
，
，
，
相对应的
的值依次为(
)
A.
，
，
，
B.
，
，
，
C.
，
，
，
D.
，
，
，
2.已知函数
（
，为常数，其中
，且
的图象如图，则下列结论成立的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
探究点三
定点问题
精讲精练
例
若
，且
，则函数
的图象恒过定点
.
解题感悟
对数函数
（
，且
）的图象恒过定点
，即
时，
，令真数等于1，求得的
即为定点.
迁移应用
1.函数
的图象一定经过点(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知函数
的图象过定点
，则
.
评价检测·素养提升
1.设
，
，
，其中
为自然对数的底数，则(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021浙江杭州高一期末）已知
，且
，则函数
与
的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知
在
，
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B
.
C.
D.
4.函数
的图象必过定点
.
5.设
，
，
，则
，
，
的大小关系为
（用“
”连接）.
6.比较下列各题中两个值的大小：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
（
，且
）
素养演练
直观想象——对反函数的理解和应用
1.（2021陕西宝鸡高一期末）若函数
是函数
（
，且
）的反函数，且
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021甘肃张掖第二中学高一月考）已知函数
与
互为反函数，并且函数
的图象与
的图象关于
轴对称，若
，则
的值是
.
素养探究：已知
与
互为反函数，则①函数
的定义域、值域是函数
的值域、定义域.②
的图象与
的图象关于直线
对称.③若
的图象经过点
，则
的图象经过点
.
迁移应用
1.（2021福建福州第一中学高一月考）已知函数
（
，
）的图象经过点
，则函数
的图象经过点(
)
A.
B.
C.
D.
2.设
，若
的反函数的图象经过点
，则
(
)
A.7
B.3
C.1
D.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021浙江杭州高一期末）设
，
，
，则实数
，
，
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）已知函数
（
，
）的图象恒过点
，则下列函数的图象也过点
的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.函数
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2021江苏南通高一期末）已知函数
的图象恒过定点
，且函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5.函数
（
，
）的图象恒过定点
，则点
的坐标为
；若
，则实数
.
6.（2020江西南昌师大附中高一期中）已知函数
是函数
（
，
）的反函数，且
，则
.
素养提升练
7.（多选）若实数
，
满足
，则下列关系中可能成立的有(
)
A.
B.
C.
D.
已知函数
若
的值域是
，则实数
的取值范围是
.
9.已知函数
，
（
，且
）
（1）求函数
的定义域；
（2）判断函数
的奇偶性，并予以证明.
创新拓展练
10.设函数
且
.
（1）求
的解析式及定义域；
（2）求
的值域.
第2课时
对数函数的性质及应用
互动探究·关键能力
探究点一
对数型函数的单调性
精讲精练
例
（1）已知
，求
的取值范围；
（2）求函数
的单调递增区间.
解题感悟
形如的函数
（
，且
）的单调区间的求法：
（1）先求
的解集（也就是函数
的定义域）.
（2）当
时，在
的前提下，
的单调增区间是
的单调增区间，
的单调减区间是
的单调减区间.
（3）当
时，在
的前提下，
的单调增区间是
的单调减区间，
的单调减区间是
的单调增区间.
迁移应用
1.解下列不等式：
（1）
；
（2）
.
探究点二
对数型函数的值域
精讲精练
例函数
.
（1）当
时，求该函数的值域；
（2）若
对任意
恒成立，求
的取值范围.
解题感悟
求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.一定要注意定义域对它的影响，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.
迁移应用
1.已知
，求函数
的值域.
探究点三
对数型函数性质的综合应用
精讲精练
例
已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.
（1）求
，
的值；
（2）求函数
的表达式；
（3）若
，求实数
的取值范围.
解题感悟
对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.
迁移应用
1.已知函数
.
（1）若
为奇函数，求
的值；
（2）在（1）的条件下，若
在
上的值域为
，求
，
的值.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.函数
在
上的最大值是(
)
A.0
B.1
C.2
D.
2.函数
的值域是
.
3.（★）（2021浙江丽水高一期末）函数
的单调递增区间
.
4.求函数
的单调区间.
素养演练
逻辑推理——利用对数函数的性质求参数
1.已知函数
.
（1）若函数的定义域为
，求实数
的取值范围；
（2）若函数的值域为
，求实数
的取值范围.
答案：（1）若
的定义域为
，
则关于
的不等式
的解集为
，
结合二次函数的图象（图略）可得
解得
.
故实数
的取值范围是
.
（2）若函数
的值域为
，则
可取遍所有正实数，结合函数图象（图略）可得
或
解得
.
故实数
的取值范围是
.
素养探究：对数型函数的定义域为
的问题，多转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，在解题时，当最高次项的系数带字母时，需进行分类讨论.
迁移应用
1.若函数
的定义域为
，求实数
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.设函数
，则使得
成立的
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）下列关于函数
的说法错误的是(
)
A.函数的定义域是
B.函数的值域是
C.函数在定义域上单调递增
D.函数在定义域上单调递减
3.（2020陕西宝鸡高一期中）若
，则
，
满足的条件是(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2020重庆江津中学高一月考）关于函数
，下列说法正确的是(
)
A.定义域为
B.定义域为
C.值域为
D.递增区间为
5.（2021四川成都高一月考）已知函数
，则该函数的单调递减区间是(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2021甘肃高一期末）定义在
上的奇函数
，当
时，
，则不等式
的解集是
.
7.（2021安徽池州一中高一月考）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
.
8.（2021浙江高一期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为
.
9.已知函数
.
（1）求函数
的定义域并证明该函数是奇函数；
（2）若当
时，
，求函数
的值域.
10.（2020福建三明高一期中）设函数
.
（1）求函数
的定义域；
（2）若
，求函数
在区间
上的最大值；
（3）解不等式
.
素养提升练
11.（多选）下列函数中值域为
的有(
)
A.
B.
C.
D.
12.（多选）已知函数
，则(
)
A.当
时，
的定义域为
B.
一定存在最小值
C.
的图象关于直线
对称
D.当
时，
的值域为
13.若函数
（
，
）在区间
内恒有
，则
的单调递增区间是
.
14.已知
，
，则
的最大值是
.
创新拓展练
15.已知
，
，
.
（1）求函数
的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）当
的定义域为
时，解不等式
；
（3）若
恰在
上取负值，求
的值.
方法感悟
利用奇偶性和单调性解不等式时，移项将不等式化成
的形式，结合
的单调性，脱去“
”，即得到式子
与
的关系，再结合定义域解不等式即可.
4.4.3
不同函数增长的差异
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2.会分析具体的实际问题,通过建模解决实际问题.
1.逻辑推理——能从几类特殊函数中分析出一般函数的增长特点.
2.数学建模——能通过比较几种不同类型的函数模型的增长特点进行决策,进而解决实际问题.
自主学习·必备知识
要点一
指数函数与一次函数增长的差异
一般的，指数函数
与一次函数
，即使
的值远远大于
的值，
的①
增长速度
最终都会大大超过
的②
增长速度
.
要点二
对数函数与一次函数增长的差异
一般的，虽然对数函数
与一次函数
在区间
上都单调③
递增
，但它们的④
增长速度
不同.随着
的增大，一次函数
保持⑤
固定
的增长速度，而对数函数
的增长速度⑥
越来越慢
.无论
的值比
的值大多少，在一定范围内，
可能会⑦
大于
，但由于
的增长最终会⑧
慢于
的增长，因此总会存在一个
，当
时，恒有⑨
.
自主思考
1.对于任意的
，都有
（
,且
），该说法是否正确？
名师点睛
指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间
上，尽管函数
和
都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.
随着
的增大，
的增长速度越来越快，会超过并远远大于
的增长速度，而
的增长速度则会越来越慢.
因此，总会存在一个
，使得当
时，恒有
互动探究·关键能力
探究点一
几种函数模型增长的差异
精讲精练
例
甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程
关于时间
的函数关系式分别为
，有以下结论：
①当
时，甲走在最前面;
②当
时，乙走在最前面;
③当
时，丁走在最前面，当
时，丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面;
⑤如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为
.
解题感悟
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：
一次函数模型
的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型：
指数函数模型
的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被称为“指数爆炸”．
（3）对数函数模型：
对数函数模型
的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
迁移应用
1.下列函数中，增长速度越来越慢的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.四个变量
随变量
变化的情况如下表：
1
5
10
15
20
25
30
2
26
101
226
401
626
901
2
32
1024
32768
2
10
20
30
40
50
60
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
其中，关于
呈指数函数变化的变量是
.
探究点二
不同函数模型的图象及其应用
精讲精练
例
函数
和
的图象如图所示．设两个函数的图象交于点
,且
.
（1）请指出图中曲线
分别对应的函数;
（2）结合函数图象，判断
的大小．
解题感悟
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长速度不变的函数是一次函数．
迁移应用
1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）成正比，药物释放完毕后，
与
的函数关系式为
（
为常数），如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
从药物释放开始，每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）之间的函数关系式为
;
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过
小时后，学生才能回到教室．
评价检测·素养提升
1.下列函数中，随着
的增大，增长速度最快的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.测得
的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型：甲：
，乙：
，若又测得
的一组对应值为（3，10.2），则应选用
（选填“甲”或“乙”）作为函数模型.
3.函数
与函数
在区间
上增长速度较快的是
.
4.函数
的图象如图所示.
（1）指出曲线
分别对应哪一个函数;
（2）比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对
的大小进行比较）.
课时评价作业
基础达标练
1.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值
万公顷关于年数
的函数关系式大致可以是(
)
A.
B.
C.
D.
2.今年小王用7200元买了一笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格会比去年降低
，则三年后这种笔记本的价格是(
)
A.
元
B.
元
C.
元
D.
元
3.向高为
的水瓶内注水，注满为止，如果注水量
与水深
的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(
)
A.B.C.D.
4.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量
与净化时间
（月）的近似函数关系：
且
的图象.有以下叙述：
①第4个月时，该种有害物质的残留量低于
;
②每月减少的有害物质的量都相等;
③若残留量为
时，其净化所经过的时间分别是
则
.
其中所有正确叙述的序号是
.
素养提升练
5.以下四种说法中，正确的是(
)
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的
C.对任意的
D.不一定存在
当
时，总有
6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据:
）(
)
A.2018
B.2019
C.2020
D.2021
7.三个变量
随自变量
的变化情况如下表：
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
5
135
625
1715
3645
6655
5
29
245
2189
19685
177149
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于
呈对数型函数变化的变量是
，呈指数型函数变化的变量是
.
8.某品牌汽车的月产能
（万辆）与月份
且
满足关系式
.已知该品牌汽车2021年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车2021年7月的产能为
万辆．
创新拓展练
9.某国2017年至2020年国内生产总值（单位：万亿元）如表所示：
年份
2017
2018
2019
2020
（年份代码）
0
1
2
3
生产总值
（万亿元）
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）画出函数的图象，猜想
与
之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;
（2）利用得到的关系式求2018年和2019年的生产总值，且与表中的实际生产总值进行比较;
（3）利用关系式预测2034年该国的国内生产总值.
加练课4
复合函数的图象与性质
学习目标
1.会求复合函数的定义域.
2.掌握复合函数奇偶性的判定方法.
3.掌握复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.
4.掌握复合函数零点的求法及零点个数的判定.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.若
，则
(
)
2.函数
可分解为
和
(
)
3.函数
的定义域与函数
的值域相同.(
)
4.若函数
和
的单调性相反，则函数
在公共定义域内是减函数.(
)
二、夯实基础，自我检测
5.（2020陕西西安月考）已知
，则
的单调递增区间是(
)
A.
B.
C.
D.（-2，1）
6.已知函数
的定义域为
，
，则函数
的定义域为
.
7.设
为大于1的常数，函数
若关于
的方程
恰有三个不同的实数解，则实数
的取值范围是
.
互动探究·关键能力
探究点一
复合函数的定义域
精讲精练
例
（2020河北石家庄二中期中）已知函数
，则
的定义域是(
)
A.
）
B.
）
C.
D.
）
解题感悟
复合函数的定义域，就是复合函数
中
的取值范围.
①若
的定义域为[
，
]，则
的定义域应由
≤
≤
解出;
②若
的定义域为[
，
]，则
的定义域为
在[
，
]上的值域.
提醒：定义域永远都是
中
的取值范围.
迁移应用
1.若
的定义域为(0，
，则函数
的定义域是(
)
A.
B.
，1)
C.（0，1）
D.
探究点二
复合函数的单调性
精讲精练
例
已知函数
.
（1）若
的定义域、值域都是
，求
的值;
（2）当
时，讨论
在区间
上的值域.
解题感悟
求复合函数的单调性需要注意的点：（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域;（2）
，
单调性相同，则
为增函数;
，
单调性相异，则
为减函数，简称“同增异减”.
迁移应用
已知函数
，其中
.
（1）求函数
的定义域;
（2）判断函数
的单调性，并给予证明.
探究点三
复合函数的奇偶性
精讲精练
例
已知函数
.
（1）判断
的奇偶性;
（2）用定义法证明
是定义域内的增函数.
解题感悟
对于复合函数
，若
为偶函数，则
为偶函数;若
为奇函数，则
的奇偶性与
的奇偶性相同.其中
的定义域关于原点对称.
迁移应用
已知函数
.
（1）当
时，若
，求
的取值范围;
（2）设函数
，试判断
的奇偶性，并说明理由.
探究点四
复合函数的零点
精讲精练
例
已知函数
若关于
的方程
有8个不等的实数根，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.（1，2）
D.
解题感悟
复合函数零点问题的特点：考虑关于
的方程
根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于
的方程，观察有几个
的值使得等式成立;第二层是结合着第一层
的值求出每一个
被几个
对应，将
的个数汇总后即为
的根的个数.
迁移应用
1.已知函数
若关于
的方程
有三个不同的实根，则实数
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知函数
则函数
的零点个数是
.
评价检测·素养提升
1.已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中，定义域为
的偶函数是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021福建福州高一期末）已知函数
.
（1）求实数
及
的值;
（2）判断函数
的奇偶性并证明.
4.（2021吉林长春外国语学校高一月考）已知函数
.
（1）若
，求函数
的单调递增区间;
（2）若函数
的最小值是0，求实数
的值;
（3）若函数
的值域为
，求实数
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
）
D.
2.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）下列函数为奇函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020陕西山阳校级月考）若
在
，
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知函数
则函数
的零点个数为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
5.已知函数
.若关于
的方程
有8个不等的实数根，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
6.若函数
为
上的偶函数，则
.
7.已知点
在幂函数
的图象上，则函数
的单调递减区间是
.
8.已知奇函数
是
上的单调函数，若函数
只有一个零点，则实数
的值是
.
9.（2021江苏南京鼓楼高一期末）设
为正实数，且
，函数
.
（1）若
为偶函数，求
的值;
（2）若函数
的值域为
，求
的取值范围.
10.已知函数
.
（1）求
的定义域;
（2）解关于
的不等式
.
素养提升练
11.已知函数
的定义域为（
,则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
12.定义在
上的单调函数
满足：
,则方程
的解所在的区间是(
)
A.
B.
C.（1,2）
D.（2,3）
13.若函数
在（1,3）上单调递减,则函数
的增区间是
.
14.已知函数
函数
,其中
,若函数
恰有4个零点,则实数
的取值范围是
.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）判断函数
的奇偶性并证明;
（2）若函数
在区间
上单调递减,且值域为
,求实数
的取值范围.
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