《第1章三角形》同步能力达标测评（附解析）2021-2022学年鲁教版(五四制)七年级数学上册
文档属性
| 名称 | 《第1章三角形》同步能力达标测评（附解析）2021-2022学年鲁教版(五四制)七年级数学上册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 285.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-09 15:52:40 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《第1章三角形》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长是奇数，则第三边长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠3＝60° C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠4
3．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．如图，△ABC≌△ADE，则下列结论正确的个数是（ ）
①AB＝AD；②∠E＝∠C；③若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠BAC＝80°；④BC＝DE．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知一个三角形三边长为a、b、c，则|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝（ ）
A．﹣2a+2c B．﹣2b+2c C．2a D．﹣2c
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与DB相交于点O．若添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△DCB，则这个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝CD C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
9．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有 对．
12．如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝ °．
13．如图，△ACD≌△CBE，且点D在边CE上．若AD＝24，BE＝10，则DE的长为 ．
14．若三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点A作AE⊥CD交BC于点E，交CD于点F，若∠BAE＝20°，则∠CAF的大小为 ．
16．如图，∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC＝2CF，若AE＝24，则线段CE长为 ．
17．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC，且BF＝8，CF＝3，则AF的长度为 ．
18．如图，将一个三角形纸片ABC沿着DF折叠，点A与点E为对应点，若∠1＝74°，∠2＝144°，则∠A的度数为 ．
19．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为 ．
20．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为 ．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE．
（1）求证：∠BDE＝∠CEF；
（2）若DE＝3，求EF的长．
22．直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；
（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．
23．如图，四边形ABCD中，点E、点F分别在AB、CD上，且AE＝CF，分别过点A、C向EF作垂线，垂足分别为点G、点H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
25．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
26．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．
（1）求证：BD＝CD．
（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．
（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，
得3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，
又∵第三边长是奇数，
∴x＝3．
故选：B．
2．解：Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故A正确；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，故C正确；
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，故D正确；
故选：B．
3．证明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，
故选：C．
4．解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
5．解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD；∠E＝∠C；BC＝DE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，
∴∠CAE＝40°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝80°，
∴①②③④都正确，
故选：D．
6．解：∵a、b、c是一个三角形三边长，
∴b+c＞a，a+b＞c，
∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c）
＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c
＝﹣2a+2c，
故选：A．
7．解：A、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，利用AAS能判定△ABC≌△DCB，不符合题意；
B、∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，利用SAS能判定△ABC≌△DCB，不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，利用AAS能判定△ABC≌△DCB，不符合题意；
D、∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，AC＝BD，有两边且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，符合题意；
故选：D．
8．解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝＝2×55°＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
9．解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，
∴∠4＝∠3＝35°，
∴∠2＝∠4+∠5＝95°，
故选：B．
10．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，
∴ED＝EC，
在Rt△OED和△OEC中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）；
∴OD＝OC，
在△AED和△BEC中，
，
∴△AED≌△BEC（ASA）；
∴AD＝BC，
∴OD+AD＝OC+BC，即OA＝OB，
在△OAE和△OBE中，
，
∴△OAE≌△OBE（SAS），
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
故答案为4．
12．解：∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA．
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA
＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C．
当∠ACB＝90°时，
∠AOB＝90°+×90°
＝135°．
故答案为：135．
13．解：∵△ACD≌△CBE，AD＝24，BE＝10，
∴CE＝AD＝24，CD＝BE＝10，
∴DE＝CE﹣CD＝24﹣10＝14，
故答案为：14．
14．解：∵5﹣3＜第三边＜3+5，
即：2＜第三边＜8；
所以最大整数是7，
故答案为：7．
15．解：∵AE⊥CD交CD于点F，
∴∠AFC＝∠EFC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵∠AFC+∠CAF+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，
∴∠CAF＝∠CEA，
∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝45°，∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝65°，
∴∠CAF＝65°，
故答案为：65°．
16．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC，DH⊥AC，
∴AH＝HC，∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠ACF＝90°，AD＝2DH，
∵AD＝2CF，
∴DH＝CF，
在△DHE和△FCE中，
，
∴△DHE≌△FCE（AAS）
∴EH＝EC，
∴EC＝EH＝CH＝AH，
∵AE＝24，
∴EH＝EC＝8．
故答案为8．
17．解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+3＝8﹣AF，
∴AF＝，
故答案为．
18．解：延长DF
由折叠得，△ADF≌△EDF，
∴∠AFD＝∠EFD，∠A＝∠E，
∴∠AFE＝150°﹣∠2＝36°，
∴AFD＝∠EFD＝18°，
∵∠CFG和∠DFE为对顶角，
∵∠FDB是△ADF的外角，
∴∠E+∠EDF＝∠EFG，
∴∠A+∠1+∠FDB＝∠2+∠CFG，
∴∠A+∠1+∠A+∠AFD＝∠2+∠CFG，
∴2∠2+74°+18°＝144°+18°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
19．解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ADE＝S△ABD，
S△EDC＝S△CAE＝S△ACD，
∴S△ABE＝S△ABC，S△CDE＝S△ABC，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC＝＝4，
故答案为：4．
20．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……
则∠A2021＝∠A1＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．（1）证明：∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，
∴∠BDE＝∠CEF；
（2）解：在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（ ASA），
∴DE＝EF，
∵DE＝3，
∴EF＝3．
22．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图，
分三种情况：在BA延长线上取点P，连接EP、DP，
如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；
如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；
如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．
23．证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，
∴∠G＝∠H＝90°，
在Rt△AGE和Rt△CHF中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），
∴∠AEG＝∠CFH，
∵∠AEG＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠CFH，
∴AB∥CD．
24．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
25．（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（2）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
26．（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝ABC＝20°，
∴∠DBC＝∠C＝20°，
∴BD＝CD；
（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，
∴∠FEC＝∠DBC＝20°，
∴∠FEC＝∠C＝20°，
∴∠AFE＝40°，FE＝FC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∴BE＝EF＝FC，
∴AB+BE＝AF+FC＝AC；
（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：
如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，
∴∠AFC＝∠DBC＝20°，
∴∠AFC＝∠C＝20°，
∴AF＝AC，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAB＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，
∴∠E＝∠FAE＝10°，
∴FE＝AF，
∴FE＝AF＝AC，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长是奇数，则第三边长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠3＝60° C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠4
3．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．如图，△ABC≌△ADE，则下列结论正确的个数是（ ）
①AB＝AD；②∠E＝∠C；③若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠BAC＝80°；④BC＝DE．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知一个三角形三边长为a、b、c，则|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝（ ）
A．﹣2a+2c B．﹣2b+2c C．2a D．﹣2c
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与DB相交于点O．若添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△DCB，则这个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝CD C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
9．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有 对．
12．如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝ °．
13．如图，△ACD≌△CBE，且点D在边CE上．若AD＝24，BE＝10，则DE的长为 ．
14．若三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点A作AE⊥CD交BC于点E，交CD于点F，若∠BAE＝20°，则∠CAF的大小为 ．
16．如图，∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC＝2CF，若AE＝24，则线段CE长为 ．
17．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC，且BF＝8，CF＝3，则AF的长度为 ．
18．如图，将一个三角形纸片ABC沿着DF折叠，点A与点E为对应点，若∠1＝74°，∠2＝144°，则∠A的度数为 ．
19．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为 ．
20．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为 ．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE．
（1）求证：∠BDE＝∠CEF；
（2）若DE＝3，求EF的长．
22．直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；
（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．
23．如图，四边形ABCD中，点E、点F分别在AB、CD上，且AE＝CF，分别过点A、C向EF作垂线，垂足分别为点G、点H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
25．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
26．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．
（1）求证：BD＝CD．
（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．
（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，
得3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，
又∵第三边长是奇数，
∴x＝3．
故选：B．
2．解：Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故A正确；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，故C正确；
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，故D正确；
故选：B．
3．证明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，
故选：C．
4．解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
5．解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD；∠E＝∠C；BC＝DE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，
∴∠CAE＝40°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝80°，
∴①②③④都正确，
故选：D．
6．解：∵a、b、c是一个三角形三边长，
∴b+c＞a，a+b＞c，
∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c）
＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c
＝﹣2a+2c，
故选：A．
7．解：A、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，利用AAS能判定△ABC≌△DCB，不符合题意；
B、∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，利用SAS能判定△ABC≌△DCB，不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，利用AAS能判定△ABC≌△DCB，不符合题意；
D、∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，AC＝BD，有两边且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，符合题意；
故选：D．
8．解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝＝2×55°＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
9．解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，
∴∠4＝∠3＝35°，
∴∠2＝∠4+∠5＝95°，
故选：B．
10．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，
∴ED＝EC，
在Rt△OED和△OEC中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）；
∴OD＝OC，
在△AED和△BEC中，
，
∴△AED≌△BEC（ASA）；
∴AD＝BC，
∴OD+AD＝OC+BC，即OA＝OB，
在△OAE和△OBE中，
，
∴△OAE≌△OBE（SAS），
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
故答案为4．
12．解：∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA．
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA
＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C．
当∠ACB＝90°时，
∠AOB＝90°+×90°
＝135°．
故答案为：135．
13．解：∵△ACD≌△CBE，AD＝24，BE＝10，
∴CE＝AD＝24，CD＝BE＝10，
∴DE＝CE﹣CD＝24﹣10＝14，
故答案为：14．
14．解：∵5﹣3＜第三边＜3+5，
即：2＜第三边＜8；
所以最大整数是7，
故答案为：7．
15．解：∵AE⊥CD交CD于点F，
∴∠AFC＝∠EFC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵∠AFC+∠CAF+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，
∴∠CAF＝∠CEA，
∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝45°，∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝65°，
∴∠CAF＝65°，
故答案为：65°．
16．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC，DH⊥AC，
∴AH＝HC，∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠ACF＝90°，AD＝2DH，
∵AD＝2CF，
∴DH＝CF，
在△DHE和△FCE中，
，
∴△DHE≌△FCE（AAS）
∴EH＝EC，
∴EC＝EH＝CH＝AH，
∵AE＝24，
∴EH＝EC＝8．
故答案为8．
17．解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+3＝8﹣AF，
∴AF＝，
故答案为．
18．解：延长DF
由折叠得，△ADF≌△EDF，
∴∠AFD＝∠EFD，∠A＝∠E，
∴∠AFE＝150°﹣∠2＝36°，
∴AFD＝∠EFD＝18°，
∵∠CFG和∠DFE为对顶角，
∵∠FDB是△ADF的外角，
∴∠E+∠EDF＝∠EFG，
∴∠A+∠1+∠FDB＝∠2+∠CFG，
∴∠A+∠1+∠A+∠AFD＝∠2+∠CFG，
∴2∠2+74°+18°＝144°+18°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
19．解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ADE＝S△ABD，
S△EDC＝S△CAE＝S△ACD，
∴S△ABE＝S△ABC，S△CDE＝S△ABC，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC＝＝4，
故答案为：4．
20．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……
则∠A2021＝∠A1＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．（1）证明：∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，
∴∠BDE＝∠CEF；
（2）解：在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（ ASA），
∴DE＝EF，
∵DE＝3，
∴EF＝3．
22．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图，
分三种情况：在BA延长线上取点P，连接EP、DP，
如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；
如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；
如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．
23．证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，
∴∠G＝∠H＝90°，
在Rt△AGE和Rt△CHF中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），
∴∠AEG＝∠CFH，
∵∠AEG＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠CFH，
∴AB∥CD．
24．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
25．（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（2）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
26．（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝ABC＝20°，
∴∠DBC＝∠C＝20°，
∴BD＝CD；
（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，
∴∠FEC＝∠DBC＝20°，
∴∠FEC＝∠C＝20°，
∴∠AFE＝40°，FE＝FC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∴BE＝EF＝FC，
∴AB+BE＝AF+FC＝AC；
（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：
如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，
∴∠AFC＝∠DBC＝20°，
∴∠AFC＝∠C＝20°，
∴AF＝AC，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAB＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，
∴∠E＝∠FAE＝10°，
∴FE＝AF，
∴FE＝AF＝AC，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．