2.3.1直线与平面垂直的判定

(共21张PPT)
2.3.1直线与平面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
旗杆与底面垂直
大桥的桥柱与水面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
B
A
引入新课
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？
B
A
C
实例感受
随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在所在直线AB始终与影子所在直线BC垂直．
也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．
事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B’C’也是垂直的．
B
A
C
直线垂直于平面内的任意一条直线．
引入新课
一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
B
A
C
引入新课
一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
直线垂直于平面内的任意一条直线．
B
A
C
引入新课
一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
直线垂直于平面内的任意一条直线．
不一定
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
记作 ．
平面 的垂线
直线 l 的垂面
垂足
直线与平面垂直
直线与平面垂直
画直线与平面垂直时，通常把直线画成表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．
直线与平面的一条边垂直
直线与平面垂直
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 垂直．
直线与平面垂直
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直．
直线与平面垂直
（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面 ，你同意他的说法吗？
（2）如图，由折痕 ，翻折之后垂直关系不变，即 ， ．由此你能得到什么结论？
直线与平面垂直
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
作用：
判定直线与平面垂直．
直线与平面垂直
直线与直线垂直
思想：
直线与平面垂直判定定理
能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直．”
直线与平面垂直判定定理
例1 一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？
B
A
P
O
解：如图，旗杆PO=8 m，两绳长
PA=PB=10 m，OA=OB=6 m.
因为 A，O，B 三点不共线，
所以 A，O，B 三点确定平面．
又因为
所以
又因为:
所以:
因此，旗杆OP与地面垂直．
典型例题
例2 如图，已知 ，求证
根据直线与平面垂直的定义知
又因为
所以
又
是两条相交直线，
所以
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
因为直线 ，
典型例题
如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？
底面四边形 对角线相互垂直．
随堂练习
1．直线与平面垂直的概念
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
知识小结
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
垂直与平面内任意一条直线