4.1.1圆的标准方程
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(共18张PPT)
4.1.1 圆的标准方程
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
复习引入
A
M
r
x
O
y
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
引入新课
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离．
符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
符合上述条件的圆的集合：
圆的方程
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？
圆的方程
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：
即：
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
圆的标准方程
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
特殊位置的圆方程
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
得：
整理得：
例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上．
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；
典型例题
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上．
例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上．
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
典型例题
A
x
y
o
M1
M2
怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？
点与圆的位置关系
A
x
y
o
M1
M2
M3
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？
点与圆的位置关系
A
x
y
o
M1
M2
M3
可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ；
点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ．
例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是 （1）
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
典型例题
所以， 的外接圆的方程 ．
典型例题
解此方程组，得：
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
解：
例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上．又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|．
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
直线AB的斜率:
典型例题
因此线段AB的垂直平分线 的方程是
即
圆心C的坐标是方程组
的解．
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：
所以圆心C的坐标是
圆心为C的圆的半径长
所以，圆心为C的圆的标准方程是
典型例题
解此方程组，得
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：
知识小结
圆的基本要素
圆的标准方程
圆心在原点的圆的标准方程
判断点与圆的位置关系
4.1.1 圆的标准方程
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
复习引入
A
M
r
x
O
y
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
引入新课
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离．
符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
符合上述条件的圆的集合：
圆的方程
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？
圆的方程
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：
即：
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
圆的标准方程
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
特殊位置的圆方程
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
得：
整理得：
例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上．
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；
典型例题
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上．
例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上．
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
典型例题
A
x
y
o
M1
M2
怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？
点与圆的位置关系
A
x
y
o
M1
M2
M3
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？
点与圆的位置关系
A
x
y
o
M1
M2
M3
可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ；
点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ．
例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是 （1）
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
典型例题
所以， 的外接圆的方程 ．
典型例题
解此方程组，得：
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
解：
例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上．又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|．
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
直线AB的斜率:
典型例题
因此线段AB的垂直平分线 的方程是
即
圆心C的坐标是方程组
的解．
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：
所以圆心C的坐标是
圆心为C的圆的半径长
所以，圆心为C的圆的标准方程是
典型例题
解此方程组，得
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：
知识小结
圆的基本要素
圆的标准方程
圆心在原点的圆的标准方程
判断点与圆的位置关系