4.2.1直线与圆的位置关系

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4.2.1直线与圆的位置关系
O
x
y
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．
轮船
实例引入
港口
O
x
y
轮船
实例引入
港口
轮船航线所在直线 l 的方程为：
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（1）
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（2）
（3）直线与圆相离，没有公共点．
（3）
直线与圆的位置关系
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
（1）
（2）
（3）
直线与圆的位置关系
先看几个例子，看看你能否从例子中总结出来．
分析：方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．
典型例题
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
消去y，得：
例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．
典型例题
因为：
= 1 > 0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
解法二：圆 可化为
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 ，点C （0，1）到直线 l 的距离
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
典型例题
例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．
所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：
把 代入方程①，得 ；
把 代入方程① ，得 ．
A（2，0），B（1，3）
由 ，解得：
例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．
典型例题
解：
解：将圆的方程写成标准形式，得：
即圆心到所求直线的距离为 ．
如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为
例2 已知过点 的直线被圆
所截得的弦长为 ，求直线的方程．
典型例题
因为直线l 过点 ，
即：
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：
因此：
典型例题
例2 已知过点 的直线被圆
所截得的弦长为 ，求直线的方程．
解：
所以可设所求直线l 的方程为：
即：
两边平方，并整理得到：
解得：
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为：
或
典型例题
例2 已知过点 的直线被圆
所截得的弦长为 ，求直线的方程．
解：
即:
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
方法一：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离．
方法二：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系．如果d< r ，直线l与圆C相交；如果d= r ，直线l与圆C相切；如果d> r ，直线l与圆C相离．
直线与圆的位置关系
回顾我们前面提出的问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
知识小结
有无交点，有几个．
直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解，有几个解．
判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系（大于、小于、等于）．
判断直线与圆的位置关系