4.3.1空间直角坐标系
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(共17张PPT)
4.3.1 空间直角坐标系
问题引入
1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．
x
O
y
A
O
x
x
M
(x,y)
x
y
问题引入
3．怎样确切的表示室内灯泡的位置？
问题引入
4．空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？
当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以用有序实数（x，y，z）表示．
O
y
x
z
M
x
y
z
（x，y，z）
y
x
z
如图， 是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段OA,OC,
的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系 ，其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
空间直角坐标系
A
B
C
O
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
空间直角坐标系
y
x
z
M’
O
设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．
M
R
Q
P
反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M．
空间直角坐标系
y
x
z
M’
O
M
R
Q
P
空间直角坐标系
y
x
z
P
M’
Q
O
M
R
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
y
x
z
A
B
C
O
OABC—A’B’C’D’是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC, OD’的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
空间直角坐标系
(0，0，0)
(1，0，0)
(1，1，0)
(0，1，0)
(1，0，1)
(1，1，1)
(0，1，1)
(0，0，1)
例1 如下图，在长方体 中， ， ， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．
解： 在z 轴上，且 ，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点 的坐标是（0，0，2）．
点C 在y 轴上，且 ，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z 都是零，所以点C的坐标是（0，4，0）．
同理，点 的坐标是（3，0，2）．
O
y
x
z
A
C
B
典型例题
例1 如下图，在长方体 中， ， ， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．
O
y
x
z
A
C
B
典型例题
解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．
所以点B’的坐标是（3，4，2）．
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标．
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．
x
y
z
O
上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:
（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），
（ ， ，1）．
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
（ ，0， ），（1， ， ），（ ，1， ），（0， ， ）；
典型例题
下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,
（ ， ，0）.
x
y
z
O
知识小结
空间直角坐标系
点在空间直角坐标系中的坐标
4.3.1 空间直角坐标系
问题引入
1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．
x
O
y
A
O
x
x
M
(x,y)
x
y
问题引入
3．怎样确切的表示室内灯泡的位置？
问题引入
4．空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？
当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以用有序实数（x，y，z）表示．
O
y
x
z
M
x
y
z
（x，y，z）
y
x
z
如图， 是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段OA,OC,
的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系 ，其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
空间直角坐标系
A
B
C
O
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
空间直角坐标系
y
x
z
M’
O
设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．
M
R
Q
P
反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M．
空间直角坐标系
y
x
z
M’
O
M
R
Q
P
空间直角坐标系
y
x
z
P
M’
Q
O
M
R
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
y
x
z
A
B
C
O
OABC—A’B’C’D’是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC, OD’的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
空间直角坐标系
(0，0，0)
(1，0，0)
(1，1，0)
(0，1，0)
(1，0，1)
(1，1，1)
(0，1，1)
(0，0，1)
例1 如下图，在长方体 中， ， ， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．
解： 在z 轴上，且 ，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点 的坐标是（0，0，2）．
点C 在y 轴上，且 ，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z 都是零，所以点C的坐标是（0，4，0）．
同理，点 的坐标是（3，0，2）．
O
y
x
z
A
C
B
典型例题
例1 如下图，在长方体 中， ， ， 写出四点D’，C，A’，B’的坐标．
O
y
x
z
A
C
B
典型例题
解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．
所以点B’的坐标是（3，4，2）．
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标．
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．
x
y
z
O
上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:
（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），
（ ， ，1）．
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
（ ，0， ），（1， ， ），（ ，1， ），（0， ， ）；
典型例题
下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,
（ ， ，0）.
x
y
z
O
知识小结
空间直角坐标系
点在空间直角坐标系中的坐标