10.1.2 事件的关系和运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

10.1.2 事件的关系和运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
某人打靶3次，记事件Ai=“击中i发”，其中i=0，1，2，3.那么A=A1∪A2∪A3表示? (? ? ? )
A. 全部击中 B. 至少击中1发 C. 至少击中2发 D. 全部未击中
书架上有两套我国的四大名著，现从中取出两本．设事件M=“两本都是《红楼梦》”，事件N=“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”，事件P=“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是(????)
A. M与P是互斥事件 B. M与N是互斥事件
C. N与P是对立事件 D. M，N，P两两互斥
对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一弹击中飞机}，D={至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是(????)
A. A?D B. B∩D=? C. A∪C=D D. A∪C=B∪D
2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他选择化学和地理”，则事件A与事件B?(????)
A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件
C. 既是互斥事件，也是对立事件 D. 既不是互斥事件也不是对立事件
某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有(????)
①恰有一名男生和全是男生； ②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生； ④至少有一名男生和全是女生．
A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①④
一批产品共有100件，其中有5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A=“恰有一件次品”；事件B=“至少有两件次品”；
事件C=“至少有一件次品”；事件D=“至多有一件次品”．
并给出以下结论：
①A∪B=C；②D∪B是必然事件；③A∩B=C；④A∩D=C．
其中正确结论的序号是? (??? )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②③
抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是1，2”为事件A，“向上的点数是1，2，3”为事件B，“向上的点数是1，2，3，4”为事件C，“向上的点数是4，5，6”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有(????)
A. A与D是互斥事件但不是对立事件
B. B与D是互斥事件也是对立事件
C. C与D是互斥事件
D. B与C不是对立事件也不是互斥事件
从1，2，…，9中任取两数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对立事件的是? (????)
A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③
2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他选择化学和地理”，则事件A与事件B?(????)
A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件
C. 既是互斥事件，也是对立事件 D. 既不是互斥事件，也不是对立事件
甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A=“甲击中靶”，事件B=“乙击中靶”，事件E=“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G=“恰有一人击中靶”，则给出下列关系式(A表示A的对立事件，B表示B的对立事件)：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥P(F)=1?P(E)，⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正确关系式的个数是? (??? )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
(多选题)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(????)
至少有1个红球与都是红球 B. 至少有2个红球与都是白球
C. 至少有1个红球与至少有1个白球 D. 恰有1个红球与恰有2个红球
二．填空题
中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为________．
在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A=“出现不大于4的偶数点”，事件B=“出现小于6的点数”，则事件A∪B的含义为??????????，事件A∩B的含义为??????????．
从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，给出下列各组事件：
①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”；
②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”；
③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”；
④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”．
上述各组事件中，是对立事件的是??????????．
某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是??????????．
①A与C是互斥事件??? ②B与E是互斥事件，且是对立事件
③B与C不是互斥事件 ??? ④C与E是互斥事件
抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是??????????．
三．解答题
连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”．
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A．
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A=“只订甲报”，B=“只订乙报”，C=“至少订一种报纸”，D=“至多订一种报纸”，E=“一种报纸也没订”，F=“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题：
(1)请列举出包含关系的事件；
(2)用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件；
(3)从上述事件中找出几对互斥事件和对立事件．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生．
判断上述各组事件是否互斥，若互斥，再判断是否互为对立，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题型．
A1∪A2∪A3的含义是三个事件A1，A2，A3至少有一个发生，即可求解．
【解答】
解：A1∪A2∪A3的含义是三个事件A1，A2，A3至少有一个发生，
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：∵书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．
设事件M表示“两本都是《红楼梦》”；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；
事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．
∴在A中，M与P是既不是对立也不是互斥事件，故A错误；
在B中，M与N是互斥事件，故B正确；
在C中，N与P是互斥事件，故C错误．
在D中，M与P是既不是对立也不是互斥事件，故D错误．
故选：B．
M与P是既不是对立也不是互斥事件，M与N是互斥事件，N与P是互斥事件．
本题考查互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机、只有一弹击中飞机，故有A?D，故A正确．
由于事件B、D是互斥事件，故B∩D=?，故B正确．
再由A∪C=D成立可得C正确．
A∪C=D={至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确，
故选D．
逐一检验各个选项，找出错误的命题，从而得出结论．
本题主要考查随机事件的定义，事件间的包含关系，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解．
事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案．
【解答】
解：事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，或者地理和生物，或者化学和生物，或者政治和生物，
不是对立事件
故选A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件.解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系.互斥事件是两个事件不包括共同的事件，由此规律逐一验证即可得到答案．
【解答】
解：①是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；
②不是互斥事件，两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；
③不是互斥事件，都包含了两个男生这个事件，故不互斥；?
④是互斥事件，至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．
故是互斥事件的有①④．
故选D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了集合表示的事件之间的关系.要求要熟悉集合中交集、并集的运算．
【解答】
解：①中C同时包括了事件A与事件B的发生，故①正确．
②D∪B是必然事件，因为它包括了所有发生的事件，故②正确．
③事件A、B发生的交集是只有一件次品，不等于事件C，故③不正确．
④事件A、D发生的交集是只有一件次品，不等于事件C，故④不正确．
故选A．
7.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查事件间的互斥关系、对立关系，属于基础题．
根据事件间互斥关系、对立关系的概念逐个判断即可．
【解答】
解：因为事件A、D不可能同时发生，且掷一枚骰子出现点数3，事件A、D都没发生，
所以A正确；
因为事件B、D不可能同时发生，但掷一枚骰子时它们之一一定发生，所以B正确；
因为掷一枚骰子出现点数4，说明事件C、D同时发生，所以C错误；
因为事件C发生时，事件B一定发生，所以事件B、C即不互斥也不对立，D正确；
故选ABD．
8.【答案】C
【解析】【解析】从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2).故选C．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解．
事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案．
【解答】
解：事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，或者地理和生物，或者化学和生物，或者政治和生物，
不是对立事件
故选A．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查对立事件和互斥事件以及概率的运算性质，属于基础题．
根据事件的含义知，AB表示甲乙两人均未击中靶；AB表示两人都击中靶；A+B表示至少有1人击中靶；AB+AB表示两人中恰好只有1人击中靶；再根据概率的性质分别判断即可．
【解答】
解：AB表示甲乙两人均未击中靶，因此E=AB，故①正确；
AB表示两人都击中靶，而F表示至少有1人击中靶，因此②F=AB错误；
A+B表示至少有1人击中靶，因此③F=A+B正确；
A+B表示至少有1人击中靶，而G表示恰一人击中靶，因此④G=A+B错误；
AB+AB表示两人中恰好只有1人击中靶，因此⑤G=AB+AB正确；
E与F是对立事件，因此⑥P(F)=1?P(E)正确；
A与B不是互斥事件，P(F)=P(A)+P(B)?P(AB)，因此⑦P(F)=P(A)+P(B)错误；
综上可得正确的是①③⑤⑥．
故选B．
11.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查应用互斥事件和对立事件的定义判定给定事件是否互斥或对立事件，属于基础题．
由题知：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，包含3个红球，2红1白，1红2白和3个白球四个基本事件，应用互斥对立事件的定义结合各选项逐一进行判定即可．
【解答】
解：A项中，从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，若取出的3个球是3个红球，则至少有1个红球与都是红球同时发生，故它们不是互斥事件.所以A项不符合题意;
B项中，从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，至少有2个红球与都是白球不能同时发生，则它们是互斥事件，若取出的3个球为1红2白，则它们都没有发生，故它们不是对立事件.所以B项符合题意;
C项中，从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件.所以C项不符合题意;
D项中，从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件.所以D项符合题意．
故选BD．
12.【答案】A+B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，事件的关系和运算，属于基础题．
由题意得到事件中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”的和事件．
【解答】
解：因为“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B．
由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”
，因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A+B．
故答案为A+B．
13.【答案】出现2，4，6点;? 出现2，4点??
【解析】
【分析】
本题考查随机事件的关系和运算，属于基础题．
由对立事件，和事件，积事件的定义结合题设容易得到答案．
【解答】
解：∵在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A=“出现不大于4的偶数点”，事件B=“出现小于6的点数”．
∴B=“出现6点”．
由和事件，积事件的定义知：A∪B=“出现2，4，6点”;
A∩?B=“出现2，4点”．
故答案为：出现2，4，6点;?出现2，4点．
14.【答案】③
【解析】
【分析】
本题考查对立事件定义，属于基础题．
在一次实验中，不可能同时发生，且必有一个发生的两个事件，叫做对立事件，据此求解．
【解答】
解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有三种情况：
一奇一偶，两个奇数，两个偶数．
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．
又①②④中的事件可以同时发生，所以不是对立事件．
易知③中事件为对立事件．
故答案为③．
15.【答案】②③
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件及对立事件的概念，属中档题．
利用概念判断即可．
【解答】
解：①由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件；
②事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E是对立事件；
③事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”；事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么报也不订”、“只订甲报”、“只订乙报，故B与C不是互斥事件；
④易知事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
故答案为②③．
16.【答案】A与D
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，理解互斥事件与对立事件的定义是解题的关键，属于中档题．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【解答】
解：A与B是对立事件；
B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件；
A与D不能同时发生，且不是对立事件，故A与D是互斥事件但不是对立事件；
B与D能同时发生，故B与D不是互斥事件;
故答案为A与D．
17.【答案】解：试验的样本空间为Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，
所以满足条件的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
即A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}，
因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，
所以满足条件的样本点有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，
即B={(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
所以A∩B={(1,5)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，
所以C={(1,4)，(2,5)，(3,6)}．
因为A∩B={(1,5)}≠?，A∩C={(1,4)}≠?，B∩C=?，
所以事件A与事件B，事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件．
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，
所以A1={(1,1)}，A2={(1,2)}，A3={(1,3)}，A4={(1,4)}，A5={(1,5)}，A6={(1,6)}，所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6．
【解析】本题考查有限样本空间，随机事件的关系和运算，互斥事件的判定，属于中档题．
先结合题意列举样本空间，再明确事件A，事件B，事件C，即事件Aj分别对应的样本点．
(1)根据A∩B，A∪B的定义即可写出结果;
(2)由互斥事件的定义，结合题设条件分别判定在一次试验中事件A与B，A与C，B与C是否同时发生，若同时发生则不为互斥事件，若不同时发生则互为互斥事件;
(3)根据事件Aj与事件A的样本点易得A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
18.【答案】解：(1)由题意可知，A发生，C一定发生，即A?C．
同理，B?C，F?C，A?D，B?D，E?D．
(2)由题意及事件的相互关系可知，C=A∪B∪F或C=A+B+F，
D=A∪B∪E或D=A+B+E，
全集Ω=A∪F∪B∪E或Ω=A+F+B+E．
(3)由互斥事件及对立事件的定义知，
互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；
对立事件有C和E，D和F．
【解析】本题考查有限样本空间，随机事件的包含关系，和事件，互斥与对立事件等概念，属于基础题．
结合题设运用相关定义对各问中设计问题做出判定即可．
(1)由题意和事件的包含关系，列举出即可；
(2)由和事件定义，结合题意可得答案；
(3)由互斥事件和对立事件定义列举可得答案．
19.【答案】解：(1)互斥，但不互为对立．?
理由是在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，但除此外还可能“全是女生”，故不互为对立．
(2)不互斥．?
理由是“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”和“2名都是女生”，它们可能同时发生．
(3)不互斥．?
理由是“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．
(4)互斥，且互为对立．?
理由是“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且必然发生其中的一个，故互为对立．
【解析】本题主要考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题．
由互斥，对立事件的概念，结合题设直接对题中四组事件进行判断即可．
情景：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；前后两个事件不可能同时发生，所以互斥，而3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛还有事件两名全是女生，所以不对立．
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；前后两个事件可能同时发生即一男一女.所以不互斥．
(3)至少有1名男生和全是男生；前后两个事件可能同时发生即两名男生.所以不互斥．
(4)至少有1名男生和全是女生．至少有一名男生包含一男一女，两名男生两个基本事件与两名女生过程整个样本空间，所以前后两者互斥且对立．