6.2 排列与组合 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 6.2 排列与组合 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 376.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-08 15:03:28 | ||
图片预览
文档简介
第六章计数原理
第六章计数原理
6.2 排列与组合
6.2 排列与组合
知识解读
知识解读
知识点一排列
排列的定义-----一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数的定义:
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号false表示
排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的元素完全相同．
(2)元素的排列顺序也相同．
知识点二组合
组合定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
组合数公式
组合数
公式
乘积
形式
C＝，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
C＝
规定：C＝1.
组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
知识点三排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA
知识归纳
知识归纳
排列数与组合数
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C”表示
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
题型探究
题型探究
例1．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
（1）4只鞋子没有成双的；
（2）4只鞋子恰有两双；
（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
【答案】（1）3360(种)；（2）45(种)；（3）1440(种)．
【详解】
解：（1）从10双鞋子中选取4双，有false种不同选法，
每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，
根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝false×24＝3360(种)．
（2）从10双鞋子中选2双有false种取法，即有45种不同取法．
（3）先选取一双有false种选法，再从9双鞋中选取2双有false种选法，
每双鞋只取一只各有2种取法，
根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝falsefalse×22＝1440(种)．
例2．平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.
（1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段.
（2）试写出以其中任意两个点为端点的线段.
（3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形.
【答案】（1）AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；（2）AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）falseABC，falseABD，falseBCD.
【详解】
解：（1）以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列，共有有向线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；
（2）以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD；
（3）以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有falseABC，falseABD，falseBCD.
例3．对任意false，定义false+false，其中false为正整数.
（1）求falsefalse的值；
（2）探究false是否为定值，并证明你的结论；
（3）设false，是否存在正整数false，使得false成等差数列，若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) false,false; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析.
【详解】
解：(1)由题意知，false，
false，
所以false，false
(2)是定值，证明:由题意知，false，false，
则false，
所以false.
(3) 假设存在正整数false，使得false成等差数列，则false，
当false时，false，即false，即false，因为false，
所以false，false，
整理得，false，其中false为正整数，false，
因为false，所以false，
当且仅当false时等号成立，又false，即false不成立，即假设不成立，
所以不存在存在正整数false，使得false成等差数列.
例4．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720
【详解】
（1）从7人中选5人排列，有false＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有false种方法，共有false＝5 040(种).
（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有false种方法，再将女生全排列，有false种方法，共有false＝576(种).
（4）先排女生，有false种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有false种方法，共有false＝1 440(种).
（5）法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有false种排列方法，共有5×false＝3 600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有false种排法，其他有false种排法，共有false＝3 600(种).
（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有false种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有false种，其余人全排列，只有false种不同排法，共有false＋falsefalsefalse＝3 720.
法二：7名学生全排列，只有false种方法，其中甲在最左边时，有false种方法，乙在最右边时，有false种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有false种方法，故共有false－2false＋false＝3 720(种).
例5．现有编号为false，false，false，false，false，false，false的7个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求false，false，false三个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求false球排在中间，且false，false，false各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球排成一排，要求false，false，false，false四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？
【答案】（1）false；（2）false；（3）false；（4）false.
【详解】
（1）把false，false，false三个球看成一个整体，则不同的排法总数为false种.
（2）false在正中间，所以false的排法只有1种，
因为false，false，false互不相邻，故false，false，false三个球不可能在同在false的左侧或右侧，
若false，false，false有1个在false的左侧，2个在false的右侧，则不同的排法有false，
同理可得若false，false，false有2个在false的左侧，2个在false的右侧，不同的排法有false，
故所求的不同排法总数为false种.
（3）从7个位置中选出4个位置给false，false，false，false，且false，false，false，false四个球按从左到右排，共有排法false种，再排余下元素，共有false种，
故不同排法总数为false种.
（4）三个盒子所放的球数分别为false或false，
若三个盒子所放的球数分别为false，则不同排法共有false，
若三个盒子所放的球数分别为false，则不同排法共有false，
故不同的排法总数为false.
课后小练
课后小练
1．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
2．现有大小相同的false只球，其中false只不同的红球，false只不同的白球，false只不同的黑球．
（1）将这false只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）
（2）将这false只球分成三堆，三堆的球数分别为：false，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）
（3）现取false只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）
3．（1）3个人坐在有八个座位的一排椅子上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？
（2）某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中学校，若每所高中学校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？
4．将false个编号为false、false、false、false的不同小球全部放入false个编号为false、false、false、false的false个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中false个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
5．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
6．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
男生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
false
5
表二：女生
女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
false
（1）求false,false的值；
（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为false，求随机变量false的分布列及数学期望；
（3）由表中统计数据填写false列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
45
参考公式：false，其中false.
参考数据：
false
0.01
0.05
0.01
false
2.706
3.841
6.635
参考答案
1．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）false；（Ⅲ）false.
【详解】
（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是false，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率false；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率false．
2．（1）false种；（2）false种；（3）false.
【详解】
解：（1）false只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有false种方法；
（2）将这false只球分成三堆，三堆的球数分别为：false，共有false种分法；
（3）当取出false个红球，false个的白球，false个的黑球时，false；
当取出false个红球，false个白球，false个黑球时，false；
当取出false个红球，false个白球，false个黑球时，false；
false.
故各种颜色的球都必须取到的概率为false．
3．（1）24；（2）84
【详解】
解：（1）由题意知有5个座位都是空的，
我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，
由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，
共有false（种false．
（2）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，
可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；
相当于用6块档板插在9个间隔中，
共有false种不同方法．
所以名额分配的方法共有84种．
4．（1）false（种）；（2）false（种）；（3）false（种）；（4）false（种）.
【详解】
（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为false（种）；
（2）先将false个小球分为false组，各组的球数分别为false、false、false，然后分配给false个盒子中的false个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为false（种）；
（3）考查编号为false的盒子中放入编号为false的小球，则其它false个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为false、false、false的盒子中放入的小球编号可以依次为false、false、false或false、false、false，
因此，所求放法种数为false（种）；
（4）按两步进行，空盒编号有false种情况，
然后将false个完全相同的小球放入其它false个盒子，没有空盒，
则只需在false个完全相同的小球所形成的false个空（不包括两端）中插入false块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为false（种）.
5．（1）648；（2）156；（3）2296；（4）1140；（5）1013
【详解】
（1）由题意，无重复的三位数共有false个；
（2）当百位为1时，共有false个数；
当百位为2时，共有false个数；
当百位为3时，共有false个数，
所以315是第false个数；
（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有false个数；
当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有false个数，
所以无重复的四位偶数共有false个数；
（4）当选出的偶数为0时，共有false个数，
当选出的偶数不为0时，共有false个数，
所以这样的四位数共有false个数；
（5）当挑出两个数时，渐减数共有false个，
当挑出三个数时，渐减数共有false个，
false，
当挑出十个数时，渐减数共有false个，
所以这样的数共有false个.
6．（1）false；（2）详见解析；（3）没有.
【详解】
（1）设从高一年级男生中抽取false人，则false
解得false，则从女生中抽取20人
所以false，false.
（2） 表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则false的所有可能的取值为0,1,2.
false，false，
false.则随机变量false的概率分布列为：
false
0
1
2
false
false
false
false
所以false数学期望为false.
（3）false列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
false，
因为false，false
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
第六章计数原理
6.2 排列与组合
6.2 排列与组合
知识解读
知识解读
知识点一排列
排列的定义-----一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数的定义:
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号false表示
排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的元素完全相同．
(2)元素的排列顺序也相同．
知识点二组合
组合定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
组合数公式
组合数
公式
乘积
形式
C＝，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
C＝
规定：C＝1.
组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
知识点三排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA
知识归纳
知识归纳
排列数与组合数
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C”表示
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
题型探究
题型探究
例1．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
（1）4只鞋子没有成双的；
（2）4只鞋子恰有两双；
（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
【答案】（1）3360(种)；（2）45(种)；（3）1440(种)．
【详解】
解：（1）从10双鞋子中选取4双，有false种不同选法，
每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，
根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝false×24＝3360(种)．
（2）从10双鞋子中选2双有false种取法，即有45种不同取法．
（3）先选取一双有false种选法，再从9双鞋中选取2双有false种选法，
每双鞋只取一只各有2种取法，
根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝falsefalse×22＝1440(种)．
例2．平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.
（1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段.
（2）试写出以其中任意两个点为端点的线段.
（3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形.
【答案】（1）AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；（2）AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）falseABC，falseABD，falseBCD.
【详解】
解：（1）以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列，共有有向线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；
（2）以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD；
（3）以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有falseABC，falseABD，falseBCD.
例3．对任意false，定义false+false，其中false为正整数.
（1）求falsefalse的值；
（2）探究false是否为定值，并证明你的结论；
（3）设false，是否存在正整数false，使得false成等差数列，若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) false,false; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析.
【详解】
解：(1)由题意知，false，
false，
所以false，false
(2)是定值，证明:由题意知，false，false，
则false，
所以false.
(3) 假设存在正整数false，使得false成等差数列，则false，
当false时，false，即false，即false，因为false，
所以false，false，
整理得，false，其中false为正整数，false，
因为false，所以false，
当且仅当false时等号成立，又false，即false不成立，即假设不成立，
所以不存在存在正整数false，使得false成等差数列.
例4．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720
【详解】
（1）从7人中选5人排列，有false＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有false种方法，共有false＝5 040(种).
（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有false种方法，再将女生全排列，有false种方法，共有false＝576(种).
（4）先排女生，有false种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有false种方法，共有false＝1 440(种).
（5）法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有false种排列方法，共有5×false＝3 600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有false种排法，其他有false种排法，共有false＝3 600(种).
（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有false种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有false种，其余人全排列，只有false种不同排法，共有false＋falsefalsefalse＝3 720.
法二：7名学生全排列，只有false种方法，其中甲在最左边时，有false种方法，乙在最右边时，有false种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有false种方法，故共有false－2false＋false＝3 720(种).
例5．现有编号为false，false，false，false，false，false，false的7个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求false，false，false三个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求false球排在中间，且false，false，false各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球排成一排，要求false，false，false，false四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？
【答案】（1）false；（2）false；（3）false；（4）false.
【详解】
（1）把false，false，false三个球看成一个整体，则不同的排法总数为false种.
（2）false在正中间，所以false的排法只有1种，
因为false，false，false互不相邻，故false，false，false三个球不可能在同在false的左侧或右侧，
若false，false，false有1个在false的左侧，2个在false的右侧，则不同的排法有false，
同理可得若false，false，false有2个在false的左侧，2个在false的右侧，不同的排法有false，
故所求的不同排法总数为false种.
（3）从7个位置中选出4个位置给false，false，false，false，且false，false，false，false四个球按从左到右排，共有排法false种，再排余下元素，共有false种，
故不同排法总数为false种.
（4）三个盒子所放的球数分别为false或false，
若三个盒子所放的球数分别为false，则不同排法共有false，
若三个盒子所放的球数分别为false，则不同排法共有false，
故不同的排法总数为false.
课后小练
课后小练
1．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
2．现有大小相同的false只球，其中false只不同的红球，false只不同的白球，false只不同的黑球．
（1）将这false只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）
（2）将这false只球分成三堆，三堆的球数分别为：false，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）
（3）现取false只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）
3．（1）3个人坐在有八个座位的一排椅子上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？
（2）某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中学校，若每所高中学校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？
4．将false个编号为false、false、false、false的不同小球全部放入false个编号为false、false、false、false的false个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中false个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
5．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
6．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
男生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
false
5
表二：女生
女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
false
（1）求false,false的值；
（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为false，求随机变量false的分布列及数学期望；
（3）由表中统计数据填写false列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
45
参考公式：false，其中false.
参考数据：
false
0.01
0.05
0.01
false
2.706
3.841
6.635
参考答案
1．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）false；（Ⅲ）false.
【详解】
（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是false，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率false；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率false．
2．（1）false种；（2）false种；（3）false.
【详解】
解：（1）false只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有false种方法；
（2）将这false只球分成三堆，三堆的球数分别为：false，共有false种分法；
（3）当取出false个红球，false个的白球，false个的黑球时，false；
当取出false个红球，false个白球，false个黑球时，false；
当取出false个红球，false个白球，false个黑球时，false；
false.
故各种颜色的球都必须取到的概率为false．
3．（1）24；（2）84
【详解】
解：（1）由题意知有5个座位都是空的，
我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，
由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，
共有false（种false．
（2）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，
可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；
相当于用6块档板插在9个间隔中，
共有false种不同方法．
所以名额分配的方法共有84种．
4．（1）false（种）；（2）false（种）；（3）false（种）；（4）false（种）.
【详解】
（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为false（种）；
（2）先将false个小球分为false组，各组的球数分别为false、false、false，然后分配给false个盒子中的false个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为false（种）；
（3）考查编号为false的盒子中放入编号为false的小球，则其它false个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为false、false、false的盒子中放入的小球编号可以依次为false、false、false或false、false、false，
因此，所求放法种数为false（种）；
（4）按两步进行，空盒编号有false种情况，
然后将false个完全相同的小球放入其它false个盒子，没有空盒，
则只需在false个完全相同的小球所形成的false个空（不包括两端）中插入false块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为false（种）.
5．（1）648；（2）156；（3）2296；（4）1140；（5）1013
【详解】
（1）由题意，无重复的三位数共有false个；
（2）当百位为1时，共有false个数；
当百位为2时，共有false个数；
当百位为3时，共有false个数，
所以315是第false个数；
（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有false个数；
当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有false个数，
所以无重复的四位偶数共有false个数；
（4）当选出的偶数为0时，共有false个数，
当选出的偶数不为0时，共有false个数，
所以这样的四位数共有false个数；
（5）当挑出两个数时，渐减数共有false个，
当挑出三个数时，渐减数共有false个，
false，
当挑出十个数时，渐减数共有false个，
所以这样的数共有false个.
6．（1）false；（2）详见解析；（3）没有.
【详解】
（1）设从高一年级男生中抽取false人，则false
解得false，则从女生中抽取20人
所以false，false.
（2） 表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则false的所有可能的取值为0,1,2.
false，false，
false.则随机变量false的概率分布列为：
false
0
1
2
false
false
false
false
所以false数学期望为false.
（3）false列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
false，
因为false，false
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.