第7章复数 滚动练习4-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

2020-2021学年高中数学人教版（2019）必修第二册
第七章滚动练习4
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
满分： 120分 时间：90分钟
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
复数z1=5?i，z2=1+2i在复平面上对应的点分别是A，B，则A，B两点之间的距离为? (??? )
A. 25 B. 3 C. 4 D. 5
适合x?3i=(8x?y)i的实数x，y的值为(????)
A. x=0且y=3 B. x=0且y=?3
C. x=5且y=2 D. x=3且y=0
已知i是虚数单位，复数z1=3?4i，若在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，则z1?z2=(????)
A. ?25 B. 25 C. ?7 D. 7
当23 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
复数z=(1?i)3(1+i)2+i(i为虚数单位)，则|z|=? (??? )
A. 5 B. 5 C. 2 D. 1
若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z=a1?2i+bi(a,b∈R)为“理想复数”，则(??? )
A. a?5b=0 B. 3a?5b=0 C. a+5b=0 D. 3a+5b=0
若复数z=a2?1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数，则1z+a的虚部为(????)
A. ?25 B. ?25i C. 25 D. 25i
(?1+3i)3(1+i)6+?2+i1+2i的值是(????)
A. 0 B. 1 C. i D. 2i
若不等式a2+a+2x<1x2+1对任意x∈(0,+∞)恒成立，则复数z=a+i27在复平面上对应的点位于(????)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
复数z1=cos?x?isin?x，z2=sin?x?icos?x，则|z1·z2|=(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题（本大题共2小题，共10分）
(多选题)已知i为虚数单位，z为复数，则下列叙述不正确的是(????)
A. z?z为纯虚数 B. 任何数的偶数次幂均为非负数
C. i+1的共轭复数为i?1 D. 2+3i的虚部为3
(多选题)下面关于复数的四个命题中，结论正确的是
A. 若复数z∈R，则z∈R；
B. 若复数z满足z2∈R，则z∈R；
C. 若复数z满足1z∈R，则z∈R；
D. 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2．
三、单空题（本大题共5小题，共25分）
若复数1+bi2?i是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数b的值是? ? ? ? ? ?．
在复平面内，AB，AC对应的复数分别为?1+2i，?2?3i，则BC对应的复数为_______．
设复数z满足|z+2?2i|=1，则|z?2?2i|的最小值是_______．
已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1+i)=7+ni，则m+nim?ni= ______ ．
已知复数z1=3+i，|z2|=2，且z1?z22是虚部为正数的纯虚数，则复数z2=________．
四、解答题（本大题共4小题，共45分）
设复数z满足|z|=5，且(3+4i)z在复平面内对应的点在直线y=?x上，|2z?m|=52(m∈R)，求z和m的值．
已知a∈R，复数z=a?i1+i．
(1)若z为纯虚数，求a的值；
(2)在复平面内，若z对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
已知复数z=1+2i(i为虚数单位)
(1)若z?z0=2z+z0，求复数z0的共轭复数；
(2)若z是关于x的方程x2?mx+5=0一个虚根，求实数m的值．
已知复数z满足|z|=2，z2的虚部是2．(1)求复数z；
(2)设z，z2，z?z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查复数代数式的几何意义，属于基础题．
复数实部可表示横坐标，虚部可表示为纵坐标，再根据两点间的距离公式即可求出A、B两点间的距离．
【解答】=5
故选D．
2.【答案】A
【解析】解：由x?3i=(8x?y)i，
得x=08x?y=?3，即x=0且y=3．
故选：A．
直接利用复数相等的条件列式求解．
本题考查复数相等的条件，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵复数z1=3?4i，且在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，
∴z2=?3?4i，
则z1?z2=(3?4i)(?3?4i)=?25．
故选：A．
由已知求得z2，然后直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．根据复数对应的点的坐标符号可作出判断．
【解答】?解：∵230，m?1<0，∴点(3m?2,m?1)在第四象限．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的模的求法，涉及复数的四则混合运算，属于基础题．
先利用复数的四则混合运算化简复数，再由模长公式即可求得|z|．
【解答】
解：，
∴|z|=(?1)2+22=5．
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：∵z=a1?2i+bi=a(1+2i)(1?2i)(1+2i)+bi=a5+(2a5+b)i．
由题意，a5=?2a5?b，则3a+5b=0．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了复数的代数表示及四则运算，属于基础题．
由题意得a=1，再求1z+a即可．
【解答】
解：由题意得a2?1=0,a+1≠0,所以a=1，
所以1z+a=11+2i=1?2i(1+2i)(1?2i)=15?25i，
根据虚部的概念，可得1z+a的虚部为?25．
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：∵(?1+3i)3=8(cos2π3+isin2π3)3=8(cos2π+isin2π)=8，(1+i)6=[(1+i)2]3=(2i)3=8i3=?8i，?2+i=i(1+2i)，
∴原式=8?8i+i(1+2i)1+2i=i+i=2i．
故选：D．
利用(?1+3i)3=8(cos2π3+isin2π3)3，(1+i)6=[(1+i)2]3=(2i)3=8i3，?2+i=i(1+2i)，代入即可得出．
本题考查了复数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：∵x∈(0,+∞)，
∴不等式a2+a+2x<1x2+1可化为
a2+a+2<1x+x，
且该不等式对任意x∈(0,+∞)恒成立，
又1x+x≥2恒成立，
∴a2+a+2<2，
解得?1∴复数z=a+i27=a?i，
在复平面上对应的点位于第三象限．
故选：C．
把原不等式化为a2+a+2<1x+x，求出1x+x的最小值，从而求出a的取值范围，
再求复数z在复平面上对应的点位于哪一象限．
本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题目．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．
利用复数的运算法则，结合同角三角函数基本关系求出复数z1·z2，再求解即可．
【解答】
解：z1·z2=cos?xsin?x?cos?xsin?x+i(?cos2x?sin2x)=?i，
则|z1·z2|=1．
故选A．
11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数和虚部的意义，属于基础题．
对各个选项逐一验证可以得出答案．
【解答】
解：A.设z=a+bi(a,b∈R)，则z?z=a+bi?(a?bi)=2bi，当b=0时，为实数，不一定为纯虚数，因此不正确;
B.取z=i，则i2=?1，为负数，因此不正确;
C.i+1的共轭复数为1?i，因此不正确;
D.2+3i的虚部为3，正确．
故选ABC
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念，共轭复数以及复数运算，属较易题．
根据复数的概念及运算规则逐项运算即可．
【解答】
解：对于A，∵z=a+bi∈R，∴b=0，∴z=a?bi=a∈R，
∴A是真命题；
对于B，∵z2=(a+bi)2=a2?b2+2abi∈R，∴ab=0，∴a=0或b=0，
∴B不是真命题；
对于C，设复数z=a+bi(a,b∈R)，∵1z=1a+bi=a?bia2+b2∈R，
∴b=0，∴z∈R，
∴C是真命题；
对于D，设z1=x+yi(x,y∈R)，z2=c+di(c,d∈R)，
则z1z2=(x+yi)(c+di)=cx?dy+(dx+cy)i∈R，
∴dx+cy=0，取z1=1+2i，z2=?1+2i，z1≠z2，
∴D不是真命题．
故选AC．
13.【答案】?2
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0，且虚部不为0求得b值．
【解答】
解：z=(1+bi)(2?i)=2+b+(2b?1)i为纯虚数，
则2+b=0，2b?1≠0，解得b=?2．
故答案为?2．
14.【答案】?1?5i
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的加减运算，复数和向量的对应关系，是基础题．
【解答】
解：由题意AB，AC对应的复数分别为?1+2i，?2?3i，
BC=AC?AB=?2?3i+1?2i=?1?5i
故答案为?1?5i．
15.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数的几何意义和模，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．
根据复数的代数的几何意义，画出图形，数形结合即可得答案．
【解答】
解：设z=x+yi，由|z+2?i|=1可得：x+22+y?22=1，
所以复数z在复平面内对应的点z在以P(?2,2)为圆心，以1为半径的圆周上，
则|z?2?2i|=x?22+y?22表示复平面内对应的点z与点A(2,2)的距离，
如图：
由图可知x?22+y?22的最小值为3，
故答案为3．
16.【答案】i
【解析】解：∵m和n都是实数，且m(1+i)=7+ni，
∴m=7=n．
∴m+nim?ni=1+i1?i=i．
故答案为：i．
利用复数的运算法则、复数相等的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、复数相等的定义，属于基础题．
17.【答案】或?3?i
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
【解答】
解：设z2=a+bi(a,b∈R)，
则，
因为z1?z22是虚部为正数的纯虚数，所以3(a2?b2)?2ab=0,a2?b2+23ab>0.
又|z2|=2，则a2+b2=4，联立解得a=3,b=1,或a=?3,b=?1,
则z2=3+i或?3?i．
故答案为或?3?i．
18.【答案】解：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|=5，得x2+y2=25，
(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x?4y)+(4x+3y)i．
又(3+4i)z在复平面上对应的点在直线y=?x上，
所以(3x?4y)+(4x+3y)=0，得y=7x．
由y=7xx2+y2=25?x=22y=722或x=?22y=?722,
即z=22+722i或z=?22?722i.
当z=22+722i时，由|2z?m|=52，即|1+7i?m|=52，得m=0或m=2;
当z=?22?722i时，由|2z?m|=52，即|?1?7i?m|=52，得m=0或m=?2．
故z=22+722i，m=0或m=2;z=?22?722i，m=0或m=?2．
【解析】本题主要考查了复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算的应用．
根据已知及复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，求出z，m的值．
19.【答案】解：(1)z=a?i1+i=(a?i)(1?i)(1+i)(1?i)=a?12?a+12i，
因为z为纯虚数，所以a?12=0，且?a+12≠0，则a=1．
(2)由(1)知，z=a?12+a+12i，则点(a?12,a+12)位于第二象限，
所以a?1<0a+1>0，得?1所以a的取值范围是(?1,1)．
【解析】本题考查复数的概念，几何意义及共轭复数，属于基础题．
(1)先利用复数的运算性质将复数化为z=a+bi的形式，再由复数z为纯虚数得出关系式求出a的值；
(2)由(1)求出z的共轭复数，再由共轭复数对应的点在第二象限得出关系式求出a的取值范围即可．
20.【答案】解：解法一：(1)∵复数z=1+2i(i为虚数单位)，z?z0=2z+z0，
∴z0(z?1)=2z，
∴z0=2zz?1=2(1+2i)2i=2?i，
∴复数z0的共轭复数z0=2+i．
解法二：设z0=a+bi，代入原式得：(1+2i)?(a+bi)=2(1+2i)+(a+bi)，
即：(a?2b)+(2a+b)i=(2+a)+(4+b)i，
∴a?2b=2+a2a+b=4+b?，解得a=2b=?1?，
∴z0=2?i，
∴复数z0的共轭复数z0=2+i．
(2)∵复数z=1+2i是关于x的方程x2?mx+5=0一个虚根，
∴(1+2i)2?(1+2i)m+5=0，
整理，得：2?m+(4?2m)i=0，
解得m=2．
【解析】本题考查复数的乘除运算以及共轭复数的概念，考查函数与方程思想，属于基础题．
(1)推导出z0(z?1)=2z，从而z0=2zz?1=2+i，由此能求出复数z0的共轭复数．
(2)推导出(1?2i)2?(1?2i)m+5=0，由此能求出实数m的值．
21.【答案】解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，
由已知可得：a2+b2=22ab=2，即a2+b2=2ab=1，
解得a=1b=1或a=?1b=?1．
∴z=1+i或z=?1?i；
(2)当z=1+i时，z2=2i，z?z2=1?i，
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1,?1)，
故△ABC的面积S=12×2×1=1；
当z=?1?i时，z2=2i，z?z2=?1?3i，
∴A(?1,?1)，B(0,2)，C(?1,?3)，
故△ABC的面积S=12×2×1=1．
∴△ABC的面积为1．
【解析】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．
(1)设z=a+bi(a,b∈R)，由已知列关于a，b的方程组，求解可得复数z；
(2)分类求得A、B、C的坐标，再由三角形面积公式求解．