2020-2021学年河北省承德市兴隆县七年级（下）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年河北省承德市兴隆县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分）
1．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3．墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
4．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
5．如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a+c＞b B．a+c＞b﹣c
C．ac＞b D．a（c﹣1）＜b（c﹣1）
6．长度为x、3、5的三条线段可以构成三角形，则x的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
7．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
8．2020年春季，全球发生了新型冠状病毒疫情，病毒直径约在100﹣300纳米之间，我们知道，1纳米＝10﹣7cm，用科学记数法表示直径为150纳米的病毒相当于（　　）
A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm
9．不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
11．语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　）
A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5
12．在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（　　）
A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B．三角形的内角和是180°
C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角
D．三角形任意两边之和大于第三边
13．如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．55° B．50° C．45° D．40°
14．下列说法中，错误的是（　　）
A．不等式x＜2的正整数解有一个
B．﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解
C．不等式﹣3x＞9的解集是x＞﹣3
D．不等式x＜10的整数解有无数个
15．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
16．△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．20
二、填空题（本大题共3个小题，4个空，每空3分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．鸡和兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，则鸡有 　 　．
18．如图，△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为　 　．
19．若a+b＝10，a2+b2＝80，则ab＝　 　，（a﹣b）2＝　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程组或不等式组
（1）；
（2）．
21．计算
（1）﹣2a?ab2?（2ab3c）2；
（2）（﹣4a﹣3b）2．
22．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
23．应用题
小亮跟爸爸于9月初和10初两次到超市购买食品，具体信息如图．
根据信息，你能求出打折前牛奶和面包的单价各是多少元吗？
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，点P为BC上任意一点，可以与C重合但不与点B重合，AD平分∠BAP，BD平分∠ABP．
（1）当点P与C重合时，求∠ADB的度数；
（2）当AP⊥BC时，直接写出∠ADB的度数；
（3）直接写出∠ADB的取值范围．
25．观察与计算：
152＝225＝1×2×100+25；
252＝625＝2×3×100+25；
352＝1225＝3×4×100+25；
…
猜想与计算：
852＝　 　，1052＝　 　；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 　 　；
说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性．
（提示：可以用10a+5表示末位数字是5的数）
26．某校组织七年级师生共480人春游，现有25座和45座两种汽车可供租用，已知25座客车的租金为205元一辆，45座客车的租金为370元一辆．
（1）若单独租用一种客车，请你通过计算说明租用哪种汽车更划算；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车辆，若45座客车比25座客车少租3辆，则45座客车最少需租用多少辆？这样的租车方式比单独租用一种车辆合算吗？说明你的理由；
（3）不管怎样租车都不让座位空余，这时你还有更加省钱的方案吗？直接写出你的方案．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
解：把代入方程ax+y＝3，得
a+2＝3，
解得a＝1．
故选：B．
2．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线m的垂线，可作无数条．
故选：D．
3．墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
解：∵x3x＝x2（x≠0），
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
4．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
5．如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a+c＞b B．a+c＞b﹣c
C．ac＞b D．a（c﹣1）＜b（c﹣1）
解：A、若a＝3，b＝1和c＝﹣3＜0，则a+c＜b，故本选项不符合题意；
B、若a＝3，b＝1和c＝﹣3＜0，则a+c＜b﹣c，故本选项不符合题意；
C、若a＝3，b＝1和c＝﹣3＜0，则ac＜b，故本选项不符合题意；
D、因为c＜0，所以c﹣1＜﹣1，
因为a＞b，所以a（c﹣1）＜b（c﹣1），故本选项符合题意；
故选：D．
6．长度为x、3、5的三条线段可以构成三角形，则x的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
解：由三角形的三边关系可知：5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
各选项中，x的值可以是3，
故选：B．
7．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
解：A选项中，BE与AC不垂直；
B选项中，BE与AC不垂直；
C选项中，BE与AC不垂直；
∴线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
8．2020年春季，全球发生了新型冠状病毒疫情，病毒直径约在100﹣300纳米之间，我们知道，1纳米＝10﹣7cm，用科学记数法表示直径为150纳米的病毒相当于（　　）
A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm
解：150纳米＝150×10﹣7cm＝1.5×10﹣5cm，
故选：C．
9．不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
10．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
解：如图，延长AC交EF于点G；
∵AB∥EF，
∴∠DGC＝∠BAC＝50°；
∵CD⊥EF，
∴∠CDG＝90°，
∴∠ACD＝90°+50°＝140°，
故选：C．
11．语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　）
A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5
解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．
故选：A．
12．在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（　　）
A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B．三角形的内角和是180°
C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角
D．三角形任意两边之和大于第三边
解：①∵a＝8，b＝5，c＝1，
∴a＞b+c，
∴三条线段不能组成三角形；
②∵a＝8，b＝6，c＝2，
∴a＝b+c，
∴三条线段不能组成三角形；
③∵a＝8，b＝6，c＝3，
∴a＜b+c，
∴三条线段能组成三角形；
∴学生可能会发现的结论是三角形任意两边之和大于第三边，
故选：D．
13．如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．55° B．50° C．45° D．40°
解：
∵∠1＝∠3＝50°，∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝40°，
故选：D．
14．下列说法中，错误的是（　　）
A．不等式x＜2的正整数解有一个
B．﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解
C．不等式﹣3x＞9的解集是x＞﹣3
D．不等式x＜10的整数解有无数个
解：A、不等式x＜2的正整数解只有1，故A正确；
B、2x﹣1＜0的解集为x＜，所以﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解，故B正确；
C、不等式﹣3x＞9的解集是x＜﹣3，故C错误；
D、不等式x＜10的整数解有无数个，故D正确．
该题选择错误的，故选：C．
15．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
解：依题意有
3a﹣2b+2b×2
＝3a﹣2b+4b
＝3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
16．△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．20
解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，4个空，每空3分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．鸡和兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，则鸡有 　80只　．
解：设鸡有x只，则兔有（100﹣x）只，
依题意得：2x﹣4（100﹣x）＝80，
解得：x＝80．
故答案为：80只．
18．如图，△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为　1cm2　．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∴S△BCE＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1cm2．
故答案为：1cm2．
19．若a+b＝10，a2+b2＝80，则ab＝　10　，（a﹣b）2＝　60　．
解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴100＝80+2ab，
∴ab＝10，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab
＝80﹣20
＝60，
故答案为：10，60．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程组或不等式组
（1）；
（2）．
解：（1），
①+②得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣1，
所以方程组的解为：；
（2），
解不等式①得：x＞4，
解不等式②得：x≤4，
所以此不等式组无解．
21．计算
（1）﹣2a?ab2?（2ab3c）2；
（2）（﹣4a﹣3b）2．
解：（1）原式＝﹣a2b2?4a2b6c2
＝﹣4a4b8c2．
（2）原式＝（﹣4a）2+24ab+（﹣3b）2
＝16a2+24ab+9b2．
22．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
解：AD∥BC．
理由：∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝∠EAC，
∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD∥BC．
23．应用题
小亮跟爸爸于9月初和10初两次到超市购买食品，具体信息如图．
根据信息，你能求出打折前牛奶和面包的单价各是多少元吗？
解：设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：打折前牛奶的单价为1元，面包的单价为2元．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，点P为BC上任意一点，可以与C重合但不与点B重合，AD平分∠BAP，BD平分∠ABP．
（1）当点P与C重合时，求∠ADB的度数；
（2）当AP⊥BC时，直接写出∠ADB的度数；
（3）直接写出∠ADB的取值范围．
解：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝15°，
当点P与点C重合时，∠BAP＝∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAP，
∴∠BAD＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣15°﹣45°＝120°；
（2）当AP⊥BC时，∠APB＝90°，
∴∠BAP＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝15°，
∵AD平分∠BAP，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣15°﹣30°＝135°；
（3）∵∠ABD＝15°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣15°＝165°﹣∠BAD，
当P点与B点重合时，∠BAD＝0°，
∴∠ADB＝165°，
当P点与C点重合时，∠BAD＝45°，
∴∠ADB＝120°，
∴120°≤∠ADB＜165°．
25．观察与计算：
152＝225＝1×2×100+25；
252＝625＝2×3×100+25；
352＝1225＝3×4×100+25；
…
猜想与计算：
852＝　7225　，1052＝　11025　；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 　去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25　；
说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性．
（提示：可以用10a+5表示末位数字是5的数）
解：852＝8×9×100+25＝7225；
1052＝10×11×100+25＝11025；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
故答案为：7225，11025，去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
说理：设末位数字的是5的数为10a+5，则
（10a+5）2＝100a2+100a+25
＝100a（a+1）+25．
故以上计算正确．
26．某校组织七年级师生共480人春游，现有25座和45座两种汽车可供租用，已知25座客车的租金为205元一辆，45座客车的租金为370元一辆．
（1）若单独租用一种客车，请你通过计算说明租用哪种汽车更划算；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车辆，若45座客车比25座客车少租3辆，则45座客车最少需租用多少辆？这样的租车方式比单独租用一种车辆合算吗？说明你的理由；
（3）不管怎样租车都不让座位空余，这时你还有更加省钱的方案吗？直接写出你的方案．
解：（1）∵480÷25＝19余5，
∴需要25座汽车：19+1＝20（辆），
则费用为：20×205＝4100（元）；
∵480÷45＝10余30，
∴需要45座汽车：10+1＝11（辆），
则费用为：11×370＝4070（元）；
∵4070＜4100，
∴租用45座汽车更划算；
（2）45座客车最少需租用6辆，25座汽车需租用9辆，这样的租车方式比单独租用一种车辆合算，理由如下：
设45座客车需租用x辆，则25座客车需租用（x+3）辆，
由题意得：45x+25（x+3）≥480，
解得：x≥5，
则45座客车最少需租用6辆，此时25座汽车需租用9辆，
费用为：6×370+9×205＝4065（元），
∵4065＜4070＜4100，
∴这样的租车方式比单独租用一种车辆合算；
（3）有更加省钱的方案，理由如下：
设25座客车需租用m辆，则45座客车需租用n辆，
由题意得：25m+45n＝480，
整理得：5m+9n＝96，
∵m、n为正整数，
∴或，
当m＝3，n＝9时，费用为：3×205+9×370＝3945（元），
当m＝12，n＝4时，费用为：12×205+4×370＝3940（元），
∵3940＜3945，
∴租用12辆25座的和4辆45座的汽车，正好坐480人，消费3940元，更加省钱．