2020-2021学年河北省石家庄部分学校八年级（下）期末数学试卷 （word版含解析）

2020-2021学年河北省石家庄部分学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共15小题，每题3分，共计45分）
1．下列各式中是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
3．使式子成立的条件是（　　）
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
4．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
二、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）
6．如图，在正方形ABCD中，，若点P为线段AD上方一动点，且满足PD＝2，∠BPD＝90°，则点A到直线BP的距离为 　 　．
三、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
7．如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E．连接CE，则△CDE的周长为（　　）
A．3 B．5 C．8 D．11
8．如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝4，那么S△PAC等于（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．无法确定
9．下列函数中，是正比例函数且y随x增大而减小的是（　　）
A．y＝﹣4x+1 B．y＝2（x﹣3）+6 C．y＝3（2﹣x）+6 D．
10．关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x＝时，y＝1
11．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（　　）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
12．某山区今年6月中旬的天气情况是：前5天小雨，后5天暴雨．那么反映该地区某河流水位变化的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
13．已知某商品的原价为m元，现降价促销，降价15%，则降价后的价格n与原价m之间的关系式为（　　）
A．n＝15%m B．n＝（1﹣15%）m C．n＝ D．n＝
14．深圳某旅行社组织游客到广西桂林旅游，他们要乘船参观桂林山水，若旅行社租用8座的船x艘，则余下6人无座位；若租用12座的船则可少租用1艘，且最后一艘还没坐满，则乘坐最后一艘12座船的人数是（　　）
A．18﹣4x B．6﹣4x C．30﹣4x D．18﹣8x
15．如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　）
A．2 B．3 C．2 D．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分，）
16．计算：+＝　 　．
17．已知+＝0，则+＝　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝2cm，那么AB＝　 　cm．
19．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，则它是 　 　形．若∠AOB＝60°，则AB：AC＝　 　．
20．如图，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝　 　．
三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分，）
21．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．
22．已知三角形的三条边长分别是3、x、，求三角形的周长（要求结果化简）；并选取自己喜欢的一个数值代入使得周长的结果为整数．
23．已知两条线段的长分别为和，当第三条线段的长取何值时，这三条线段能围成一个直角三角形？
24．如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．
25．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
26．（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：c2＝a2+b2．
参考答案
一、选择题（本题共计15小题，每题3分，共计45分，）
1．下列各式中是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
解：A、符合二次根式的定义；故本选项正确；
B、是三次根式；故本选项错误；
C、﹣42＝﹣16＜0，无意义；故本选项错误
D、﹣5＜0，无意义；故本选项错误．
故选：A．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
【分析】根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形分别进行分析即可．
解：A、四边相等的四边形是菱形，说法正确；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形，说法错误；
C、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；
D、对角线互相平分的四边形是菱形，说法错误；
故选：A．
3．使式子成立的条件是（　　）
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
【分析】根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数可得出答案．
解：由题意得：，
解得：a＞5．
故选：B．
4．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数．
解：由题意可知：3x+2≥0，
∴．
故选：C．
5．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
【分析】若AO＝OC，BO＝OD，则四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理可知，该四边形是平行四边形．
解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形的对角线互相平分
所以D能判定ABCD是平行四边形．
故选：D．
二、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）
6．如图，在正方形ABCD中，，若点P为线段AD上方一动点，且满足PD＝2，∠BPD＝90°，则点A到直线BP的距离为 　﹣1　．
【分析】由“ASA”可证△ADP?△ABE，可得BE＝DP，AE＝AP，可证△AEP为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得PE＝2AH，进而可得BP＝BE+PE＝2AH+PD，即可求解．
解：如图，作正方形ABCD的外接圆，另外以点D为圆心，2为半径作圆，两圆在线段AD上方的交点即为点P，连接AC、BD、PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°，
∵，
∴BD＝4，
∵DP＝2，
∴，
∵AE⊥AP，
∴∠EAD+∠DAP＝90°，
又∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAP＝∠BAE，
∵∠ADP＝∠ABE，AD＝AB，
∴△ADP?△ABE（ASA），
∴BE＝DP，AE＝AP，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∵AH⊥PE，
∴PE＝2AH，
∴BP＝BE+PE＝2AH+PD，
即，
∴，
即点A到BP的距离为．
故答案为：．
三、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
7．如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E．连接CE，则△CDE的周长为（　　）
A．3 B．5 C．8 D．11
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC＝AD+CD＝8，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AD+CD＝8，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．
故选：C．
8．如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝4，那么S△PAC等于（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．无法确定
【分析】根据平行四边形的对边相等，可得AB＝DC；再设假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，将平行四边形的面积分割组合，即可求得．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，
∴S△PAB＝AB?h1，S△PDC＝DC?h2，
∴S△PAB+S△PDC＝（AB?h1+DC?h2）＝DC?（h1+h2），
∵h1+h2正好是AB到DC的距离，
∴S△PAB+S△PDC＝S?ABCD＝S△ABC＝S△ADC，
∵S△PAB+S△PDC＝S?ABCD＝S△ABC＝S△ADC，
即S△ADC＝S△PAB+S△PDC＝7+S△PDC，
而S△PAC＝S△ADC﹣S△PDC﹣S△PAD，
∴S△PAC＝7﹣4＝3．
故选：C．
9．下列函数中，是正比例函数且y随x增大而减小的是（　　）
A．y＝﹣4x+1 B．y＝2（x﹣3）+6 C．y＝3（2﹣x）+6 D．
【分析】由于正比例函数的形式为y＝kx，并且y随x增大而减小，所以可确定k的正负，也就确定了选择项．
解：∵正比例函数的形式为y＝kx，
并且y随x增大而减小，
∴k＜0，
故选：D．
10．关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x＝时，y＝1
【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可．
解：A． 图象经过原点，错误；
B． y随x的增大而减小，错误；
C、图象经过第二、四象限，正确；
D． 当x＝时，y＝﹣1，错误；
故选：C．
11．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（　　）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．
解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2+BC2＝AB2，
即：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故选：B．
12．某山区今年6月中旬的天气情况是：前5天小雨，后5天暴雨．那么反映该地区某河流水位变化的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】依题意，前5天小雨后5天暴雨，故水位将不断增加，且增长会越来越快．
解：下雨的话，水位将不断增加，排除B，C．下暴雨的话，水位增长将变快．
故选：A．
13．已知某商品的原价为m元，现降价促销，降价15%，则降价后的价格n与原价m之间的关系式为（　　）
A．n＝15%m B．n＝（1﹣15%）m C．n＝ D．n＝
【分析】根据降价后的价格＝原价×（1﹣15%），即可解答．
解：根据题意得：n＝（1﹣15%）m．
故选：B．
14．深圳某旅行社组织游客到广西桂林旅游，他们要乘船参观桂林山水，若旅行社租用8座的船x艘，则余下6人无座位；若租用12座的船则可少租用1艘，且最后一艘还没坐满，则乘坐最后一艘12座船的人数是（　　）
A．18﹣4x B．6﹣4x C．30﹣4x D．18﹣8x
【分析】由租用的8座船可求有（8x+6）人，再由12座船的情况可求得：（8x+6）﹣12（x﹣2）＝﹣4x+30．
解：∵租用8座的船x艘，则余下6人无座位，
∴一共有（8x+6）人，
租用12座的船（x﹣1）艘，
∵最后一艘还没坐满，
最后一艘船坐：（8x+6）﹣12（x﹣2）＝﹣4x+30，
故选：C．
15．如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　）
A．2 B．3 C．2 D．
【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3，
∴HG＝3﹣2＝1，
∴Rt△BHG中，BG＝＝，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分，）
16．计算：+＝　2　．
【分析】利用二次根式的性质将二次根式化简得出即可．
解：原式＝﹣1+1+
＝2．
故答案为：2．
17．已知+＝0，则+＝　　．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：由题意得，a﹣3＝0，2﹣b＝0，
解得a＝3，b＝2，
所以，+＝+＝+＝．
故答案为：．
18．如图，在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝2cm，那么AB＝　4　cm．
【分析】已知CD的长，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得AB的长．
解：∵在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝2cm，
∴AB＝4cm．
故答案为：4．
19．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，则它是 　矩　形．若∠AOB＝60°，则AB：AC＝　1：2　．
【分析】根据SAS证明△AOB≌△COD，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可．
解：∵OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
同理得AD＝BC，
∴ABCD是平行四边形，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴，
∴AB：AC＝1：2．
故答案为：矩；1：2．
20．如图，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝　2　．
【分析】根据菱形的性质分别求得AB和AC的长后利用勾股定理求得BC的长即可．
解：∵菱形ABEO的边长为2，
∴AB＝AO＝2，
∵O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝4，
∴BC＝＝＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分，）
21．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【分析】根据勾股定理，作出以2和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．
解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；
．
22．已知三角形的三条边长分别是3、x、，求三角形的周长（要求结果化简）；并选取自己喜欢的一个数值代入使得周长的结果为整数．
【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．选择合适的数值代入，只要使它的周长为整数即可．
解：周长＝3+x+
＝++
＝
当x＝48时，周长＝×12＝27．
23．已知两条线段的长分别为和，当第三条线段的长取何值时，这三条线段能围成一个直角三角形？
【分析】分两种情况考虑：若为斜边，不为斜边，利用勾股定理求出第三边即可．
解：若为斜边，根据勾股定理得：第三边为＝2；
若不为斜边，根据勾股定理得：第三边为＝4，
则当第三条线段的长取2或4时，这三条线段能围成一个直角三角形．
24．如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．
【解答】证明：连接EO，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO＝AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
25．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝2，
∴AB＝AD＝4，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝2，BH＝2．
∴GH＝4，
∴AG＝＝＝2．
26．（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：c2＝a2+b2．
【分析】（1）边长为（a+b）的正方形分别由边长为a、b的正方形和两个长宽为a、b的长方形组成，利用面积法即可得到完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）易证得Rt△DEC≌Rt△EAB，则∠DEC＝∠EAB，而∠EAB+∠AEB＝90°，于是∠DEC+∠AEB＝90°，可得到△AED为等腰直角三角形，再利用S梯形ABCD＝S△Rt△ABE+SRt△DCE+SRt△DEA得到
（b+a）（a+b）＝ab+ab+c2，然后再利用（1）中的结论即可得到c2＝a2+b2．
解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，
∴∠DEC＝∠EAB，
∵∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD＝S△Rt△ABE+SRt△DCE+SRt△DEA，
∴（b+a）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）2＝2ab+c2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴c2＝a2+b2．