2020-2021学年湖南省永州市道县八年级（下）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年湖南省永州市道县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，10，12 D．6，7，8
2．下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在函数y＝中，自变量x取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．x≠1
4．在平面直角坐标系中位于第二象限内的点是（　　）
A．（2021，2021） B．（2021，﹣2021）
C．（﹣2021，﹣2021） D．（﹣2021，2021）
5．“新冠病毒”的英语“Novelcoronavirus”中，字母“n”出现的频率是（　　）
A． B． C．2 D．1
6．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如果点P（m，﹣2，）和点Q（﹣3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．一次函数y＝3x﹣2的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡对应的答案栏内）．
11．在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　 　．
12．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M、N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝100m，则A，B间的距离为 　 　m．
13．道县县城进行“城区改造”活动，在整个城区种植树苗5000株，树苗的成活率为90%，则成活的树苗大约有 　 　株．
14．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线y＝﹣x+3的图象上，则y1与y2的大小关系是 　 　．
15．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，1），“炮”位于点（﹣1，2），则“马”位于点 　 　．
16．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　．
17．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到的直线是 　 　．
18．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E为BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 　 　cm．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，请将答案填在答题卷卡上对应的题号处）
19．如图，已知AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，BC＝DC，求证：AB＝AD．
20．方格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（2）画出△ABC向下平移5个单位长度，再向右平移5个单个长度得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
21．正比例函数y＝kx与一次函数y＝ax+b的图象都经过点A（2，4），且一次函数的图象交x轴于点B（0，6）．
求：正比例函数和一次函数的表达式．
22．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，
（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
23．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：
（1）四边形OCED是矩形；
（2）OE＝BC．
24．新冠疫情期间，某学校为加强学生的疫情防控意识，组织八年级800名学生参加疫情防控知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频数分布表
分数段 频数 频率
60.5～70.5 2 m
70.5～80.5 8 0.4
80.5～90.5 n 0.3
90.5～100.5 4 0.2
（1）这次抽取了 　 　名学生的竞赛成绩进行统计，其中，m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生疫情防控意识不强，有待进一步加强防控意识教育，则该校疫情防控意识不强的学生约有多少人？
25．清明期间，某校计划组织八年级学生去树湘纪念馆参观，与某公交公司洽谈后，得知该公司有A，B两种不同型号客车，它们的载客量和租金如下表所示：
类别 A型客车 B型客车
载客量（人/辆） 50 30
租金（元/辆） 300 180
经计算，租用A，B型客车共15辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的代数式填写下表：
类别 车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元）
A型客车 x 50x 300x
B型客车 15﹣x 　 　 　 　
（2）若租用A型客车的数量不小于B型客车数量的2倍，采用怎样的方案可以使租车总费用y最少，最少是多少？
26．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上．）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，10，12 D．6，7，8
解：32+42＝52，故选项A符合题意；
42+52≠62，故选项B不符合题意；
52+102≠122，故选项C符不合题意；
62+72≠82，故选项D不符合题意；
故选：A．
2．下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．在函数y＝中，自变量x取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．x≠1
解：根据题意可得x﹣1≠0；
解得x≠1；
故选：D．
4．在平面直角坐标系中位于第二象限内的点是（　　）
A．（2021，2021） B．（2021，﹣2021）
C．（﹣2021，﹣2021） D．（﹣2021，2021）
解：A．（2021，2021）在第一象限，故本选项不合题意；
B．（2021，﹣2021）在第四象限，故本选项不合题意；
C．（﹣2021，﹣2021）在第三象限，故本选项不合题意；
D．（﹣2021，2021在第二象限，故本选项符合题意；
故选：D．
5．“新冠病毒”的英语“Novelcoronavirus”中，字母“n”出现的频率是（　　）
A． B． C．2 D．1
解：在“Novelcoronavirus”中，字母的总数是16，字母“n”有2个，
因而字母“n”出现的频率是：＝．
故选：B．
6．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：∵正多边形的每一个外角都等于36°，
∴正多边形的边数＝＝10．
故选：D．
7．如果点P（m，﹣2，）和点Q（﹣3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
解：∵点P（m，﹣2，）和点Q（﹣3，n）关于x轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
则m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1cm，
∴BC＝2BD＝2cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4cm．
故选：C．
9．一次函数y＝3x﹣2的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵k＝3＞0，b＝﹣2＜0，
∴一次函数的图象过第一，三，四象限，
故选：B．
10．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；
点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；
点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡对应的答案栏内）．
11．在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　55°　．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
故答案是：55°．
12．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M、N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝100m，则A，B间的距离为 　50　m．
解：∵AM＝AC，BN＝BC，
∴AB是△CMN的中位线，
∴AB＝MN，
∵MN＝100m，
∴AB＝×100＝50（m），
故答案为：50．
13．道县县城进行“城区改造”活动，在整个城区种植树苗5000株，树苗的成活率为90%，则成活的树苗大约有 　4500　株．
解：∵整个城区种植树苗5000株，树苗的成活率为90%，
∴成活的树苗大约有：5000×90%＝4500（株）．
故答案为：4500．
14．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线y＝﹣x+3的图象上，则y1与y2的大小关系是 　y1＞y2　．
解：当x＝﹣3时，y1＝﹣（﹣3）+3＝6；
当x＝1时，y2＝﹣1+3＝2．
∵6＞2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
15．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，1），“炮”位于点（﹣1，2），则“马”位于点 　（4，﹣1）　．
解：如图所示：“马”位于点（4，﹣1）．
故答案为：（4，﹣1）．
16．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　24　．
解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝4，
在直角三角形ABO中，由勾股定理得，AO＝3，
∴AC＝6，
∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24，
故答案为：24．
17．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到的直线是 　y＝﹣2x+3　．
解：∵直线y＝﹣2x向上平移3个单位长度，
∴平移后其直线解析式为：y＝﹣2x+3．
故答案是：y＝﹣2x+3．
18．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E为BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 　2　cm．
解：如图，连接AE交BD于点P′，连接P′C，AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AP′＝P′C，
∴P′C+P′E＝P′A+P′E＝AE最短，
∵点E为边BC的中点，
∴CE＝BC＝2（cm），
∴AE＝＝＝2（cm），
∴PE+PC的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，请将答案填在答题卷卡上对应的题号处）
19．如图，已知AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，BC＝DC，求证：AB＝AD．
【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
∴AB＝AD．
20．方格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（2）画出△ABC向下平移5个单位长度，再向右平移5个单个长度得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
解：（1）如图△A1B1C1为所求作的三角形．A1（2，3），B1（4，1），C1（1，1）．
（2）如图△A2B2C2为所求作的三角形，A2（3，﹣2），B2（1，﹣4），C2（4，﹣4）．
21．正比例函数y＝kx与一次函数y＝ax+b的图象都经过点A（2，4），且一次函数的图象交x轴于点B（0，6）．
求：正比例函数和一次函数的表达式．
解：把A（2，4）代入y＝kx中，得4＝2k，
解得k＝2，
∴正比例函数的表达式为y＝2x；
把A（2，4），B（0，6）代入y＝ax+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6．
22．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，
（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
解：（1）根据题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝20（km）．
答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km；
（2）过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长．
∵CD⊥l，
∴∠CDB＝90°，
∵∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝30°，BC＝20km，
∴，
（km）．
答：这条最短公路的长为km．
23．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：
（1）四边形OCED是矩形；
（2）OE＝BC．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD，
又∵菱形ABCD中，BC＝CD，
∴OE＝BC．
24．新冠疫情期间，某学校为加强学生的疫情防控意识，组织八年级800名学生参加疫情防控知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频数分布表
分数段 频数 频率
60.5～70.5 2 m
70.5～80.5 8 0.4
80.5～90.5 n 0.3
90.5～100.5 4 0.2
（1）这次抽取了 　20　名学生的竞赛成绩进行统计，其中，m＝　0.1　，n＝　6　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生疫情防控意识不强，有待进一步加强防控意识教育，则该校疫情防控意识不强的学生约有多少人？
解：（1）8÷0.4＝20（人），
m＝2÷20＝0.1，
n＝20×0.3＝6，
故答案为：20，0.1，6；
（2）如图，
（3）800×0.1＝80（人），
答：该校疫情防控意识不强的学生约有80人．
25．清明期间，某校计划组织八年级学生去树湘纪念馆参观，与某公交公司洽谈后，得知该公司有A，B两种不同型号客车，它们的载客量和租金如下表所示：
类别 A型客车 B型客车
载客量（人/辆） 50 30
租金（元/辆） 300 180
经计算，租用A，B型客车共15辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的代数式填写下表：
类别 车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元）
A型客车 x 50x 300x
B型客车 15﹣x 　30（15﹣x）　 　180（15﹣x）　
（2）若租用A型客车的数量不小于B型客车数量的2倍，采用怎样的方案可以使租车总费用y最少，最少是多少？
解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（15﹣x）辆，
B型车的载客量30（15﹣x），租金为180（15﹣x）．
故答案为：30（15﹣x），180（15﹣x）；
（2）根据题意得：x≥2（15﹣x），
解得：x≥10，
∵y＝300x+180（15﹣x）＝120x+2700，
又∵120＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x是正整数，
∴当x取最小值10时，y有最小值3900，
答：租A型客车10辆，B型客车5辆，可使租车总费用y最少，最少为3900元．
26．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，
∵∠CBE＝60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．