8.5 一元线性回归案例(1)教案-湘教版数学选修2-3（Word版）

一元线性回归案例
第三课时 非线性回归方程到线性回归方程的变换
教学设计
一、教材分析
（一）教材地位：《数学选修2-3》中“一元线性回归案例”这部分内容是《必修3》“变量间的相关关系”的延伸，前面两个课时主要研究一元线性回归模型，但是在很多实际问题中两个变量不一定呈线性相关关系，所以本节课将引导学生探究非线性回归模型，并尝试将某些非线性回归模型通过数学变换转化为线性回归模型，进行更有效的数据处理。
（二）教学重点：
1、利用散点图寻找适合样本数据的模型；
2、探究非线性回归模型，并能利用数学变换将某些非线性回归模型转化为线性回归模型。
（三）教学难点：
1、选择近似效果更好的模型；
2、非线性回归方程到线性回归方程的变换。
二、学情分析
（一）本节课的教学对象是高二学生，通过前面两节课的学习，学生已经掌握相关系数、残差等知识，具有一定的线性回归分析能力，这为探究非线性模型奠定了良好的基础。
（二）学生较少接触数学建模的思想，部分学生对函数变换的相关知识掌握不扎实，在非线性回归方程到线性回归方程的变换时会存在一定困难。
（三）本节课需要进行大量的数据分析处理与运算，学生在课堂时间内难以通过计算得出结论，所以本节课将利用学生平板中的电子表格来辅助操作。
三、教学目标
（一）能根据散点图的特点选择回归模型，并通过函数变换，将某些非线性回归方程转化为线性回归方程，从而借助线性回归模型研究非线性回归模型。
（二）让学生经历非线性回归模型的探索过程，掌握建立非线性模型的基本步骤，体会统计思想。
（三）以探究问题为中心，感受研究非线性回归模型的意义，体验数学的文化内涵，形成学习数学的积极态度。
（四）在教学中培养学生的数学核心素养：数学建模、数学运算、数据分析。
四、教学方法
（一）本节课通过组织学生观察、分析，并引导每位学生利用平板中的电子表格自主探究非线性回归模型，让学生经历知识形成的全过程，同时电子表格的辅助也优化了教学过程，大大提高课堂教学效率。
（二）本节课充分利用智慧课堂的平板教学，教师通过推送选择题到学生平板并由平板自动批改、纠错，及时了解学生的掌握情况；课堂上教师可以通过平板随机抽答提高学生的注意力；学生也可以利用平板将自己的答题内容拍照上传并同步讲解，这些功能充分体现智慧课堂在教学反馈中的准确性和高效性。
五、教学过程
（一）复习回顾
1、教师将以下选择题推送到每位学生的平板上，限时答题，并即时反馈所有学生的答题结果，以此检查学生对基本概念的掌握情况，及时纠错。
用false表示样本容量是false的成对观测数据.
(1)当false时，false,
称false为false和false的（ D ）， false表示false的（ A ）， false表示false的（ A ）
A.标准差 B.方差 C.残差 D.相关系数
(2)当false时，称false和false（ A ）
当false时，称false和false（ C ）
当false时，称false和false（ B ）
A.正相关 B.负相关 C.不相关 D.函数关系
(3)当所有的样本点都散布在某一条直线的附近时，可以为数据建立回归直线false，可以认为false和false满足关系：false，其中false表示随机误差，我们称上述模型为一元线性回归模型.利用最小二乘法可估计得到false.所以，回归直线false一定过（ ）
A.false B. 所有样本点 C. 某个样本点 D.false
【设计意图】利用平板可以即时批改选择题的功能，及时了解每位学生的掌握情况并纠错，通过做题达到复习概念的目的。
2、教师利用平板随机抽取学生回答以下问题。
问题：对两个具有线性相关关系的变量进行回归分析的基本步骤是什么？
答：（1）画出两个变量的散点图或计算变量的相关系数，从中判断两个变量是否具有较高的线性相关性；
（2）若两个变量具有较高的线性相关性，则求出它们的回归直线；
（3）利用所求得的回归直线进行预测。
【设计意图】通过复习线性回归分析的基本步骤，为接下来探究非线性回归模型做铺垫。
（二）练习巩固
语文
86
114
104
109
100
106
112
104
95
99
数学
136
125
122
87
108
113
111
70
94
74
物理
97
91
92
76
93
85
82
78
78
73
问题一：从我班抽取10位同学期中考试的语文、数学、物理成绩如下表：
用平板上的电子表格软件分别研究语文成绩与数学成绩的关系、数学成绩与物理成绩的关系，你能得出什么结论？
教师利用平板随机抽取学生展示自己的研究成果并讲解。
【设计意图】教师先通过平板上的电子表格软件，操作演示研究语文成绩与数学成绩关系的过程，帮助学生熟悉平板操作，之后再让学生动手操作研究数学成绩与物理成绩的关系，为接下来用平板探究非线性回归模型做热身。
下图为电子表格作出的语文成绩与数学成绩的散点图，从散点图和线性相关系数可知语文成绩与数学成绩的线性相关性不强。
下图为电子表格作出的数学成绩与物理成绩的散点图，从散点图和线性相关系数可知数学成绩与物理成绩有较强的线性相关性，且为正相关。
问题二：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中：
温度x（℃）
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y（个）
7
11
21
24
66
115
325
研究产卵数y与温度x的关系，试建立回归方程，并预测温度为36℃时的产卵数。

【设计意图】由于学生目前只接触过线性回归模型，所以这个问题学生大概率会得到下图的结果，但此时学生会注意到散点图中的散点并非都落在回归直线的附近，而且从线性相关系数也可以得出两者的线性相关性并非很强，于是我们要进一步探究是否有更好的函数模型能近似模拟这组数据的关系，从而引入新课。

（三）新课探究
1、探究：在平板上的电子表格软件中选择其他函数模型的趋势线，并观察哪种函数模型拟合的效果更好？（ ）
A.指数函数 B.对数函数 C.幂函数 D.多项式函数
【设计意图】让学生利用电子表格绘制以上几种函数模型的趋势线与散点图作对比，看哪种函数模型拟合的效果更好，也可以通过电子表格里给出的相关系数来判断，主要是让学生体会实际问题中两个变量不一定都呈线性相关关系，我们要通过散点图寻找拟合效果更好的函数模型。
2、探究：若不借助计算器的统计模型，你能否把非线性回归模型，转化为线性回归模型？
（分false和false两种形式进行探讨 ）
【设计意图】电子表格虽然能帮助我们迅速找出拟合效果较好的函数模型并得出回归方程，但由于考试时不能使用计算器，所以我们接下来探究利用数学变换的方法，将某些非线性回归模型转化为线性回归模型，从而利用我们已学过的线性回归方程来求解。
（1）对于false，令false，则false
152844510160
t=x^2
y
441
7
529
11
625
21
729
24
841
66
1024
115
1225
325
false，即false.
（2）对于false，两边取对数得false，令false，
x
1139825-33655lny
21
1.945910149
23
2.397895273
25
3.044522438
27
3.17805383
29
4.189654742
32
4.744932128
35
5.783825182
false，即false.
（四）谈谈收获
1、如何寻找适合样本数据的模型；散点图结合函数图象
2、对于模型我们如何评判其拟合效果；从散点图、相关系数等角度
3、有些非线性模型可以通过数学变换转化为线性模型。
体会统计思想：
对于样本数据，我们不可能知道这些数据来自于什么模型，我们只能根据问题的背景和已经掌握的数学知识建立模型来近似这个正确的模型，统计学的任务是建立近似效果更好的模型。
39763706350 （五）操作应用
（2015新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
false
false
false
false
false
false
false
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中false，false =falsefalse。
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dfalse哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
附：对于一组数据false,false，……，false,其线性回归方程false的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：false，false。
让学生独立完成后，通过平板将自己的答案拍照上传，教师抽取同学来讲解。
解：（Ⅰ）y=c+dfalse适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。
（Ⅱ）令false，先建立false关于false的线性回归方程，
false，
false，
false关于false的线性回归方程为false。
【设计意图】本道题目需要选择正确的函数模型，并能理解表格中各字母的意义，选择正确的数据代入计算，培养学生的数据分析处理能力，运算能力。
作业：登录作业平台完成相应作业。
教学反思：
这节课利用智慧课堂的平板教学，由于人手一台平板，所以每位学生可以独立完成探究过程，而且课堂中通过平板推送题目，我可以实时监测到学生的学习质量，及时给予纠错和反馈，提升课堂教学的有效性。在教学过程中，我一方面要让学生感受到电子表格在研究非线性函数模型时便利，一方面又要让学生掌握非线性模型到线性模型的变换方法，能通过数据分析和运算来求解非线性方程，培养学生的数学核心素养（数学建模、数学运算、数据分析）。