8.2.6随机变量的数学期望课件-湘教版数学选修2-3（29张PPT）

随机变量的数学期望
自主预习学案
1.通过实例，理解离散型随机变量数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望，掌握两点分布、二项分布的数学期望，并能解决一些实际问题．
2．通过本节学习，体会离散型随机变量的数学期望在实际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴趣．
重点：离散型随机变量的数学期望概念及计算．
难点：求离散型随机变量的数学期望．
温故知新
回顾复习求样本平均数的方法和在频率分布直方图中求平均数的估计值的方法．
离散型随机变量的数学期望
思维导航
1．有一组数据，其中有3个1，2个2，1个3，这组数据的平均数是多少？从中任取一个数据，用X表示这个数据，X的可能取值有哪些？X取每个值的概率是多少？将X的每个值与其对应的概率相乘，求其所有积的和与上面求得的平均数相比较，你发现了什么？
新知导学
1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝_________________________为随机变量X的
_______或__________．
2．离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的_______水平．
3．若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝_______.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
x1p1＋x2p2＋…＋xi pi＋xnpn
均值
数学期望
平均
p
np
(p＋q)n－1
np
5．若a、b为常数，X为离散型随机变量，则aX＋b也是离散型随机变量，并且E(aX＋b)＝__________，特别地，E(c)＝______ (c是常数)．
aE(X)＋b
c
[答案]　A
[答案]　A
[解析]　节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200 ×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故期望利润为706元．应选A.
3．由于电脑故障，使得随机变量X的概率分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下表．请你先将丢失的数据补全，再求随机变量的数学期望，其期望值为________.
[答案]　3.5
[解析]　本题考查随机变量的概率，数学期望．由分布列的性质知，它们的概率的和为1，可以得到应填的数为2，然后根据数学期望E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.15
0.20
4．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.
典例探究学案
求离散型随机变量的数学期望
[分析]　(1)“甲获胜”的含义是：第一次甲中，或者第一次甲、乙都不中、第二次甲中，或者第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．
(2)“甲投球次数”ξ的取值为1、2、3，ξ＝1表示第一次甲中；ξ＝2表示第一次甲、乙都未中，第二次甲中；ξ＝3表示第一、二次甲、乙都不中．
[方法规律总结]　求离散型随机变量的期望的一般步骤是：①明确随机变量的取值，以及取每个值的所有试验结果；②求出随机变量取各个值的概率；③列出分布列；④利用期望公式进行计算．
(2013·福州文博中学高二期末)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
请小牛同学计算ξ的数学期望 ，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝(　　)
t
1
2
3
P(ξ＝t)
？
！
？
A．1　　　 B．4　　　
C．3　　　 D．2
[答案]　D
[解析]　设？处为x，！处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，∴期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.
[分析]　(1)可由离散型随机变量X的分布列的性质求出m.
(2)利用期望公式及性质求解
离散型随机变量的期望的性质
[解析]　(1)由离散型随机变量分布列的性质，
得 0.4＋m＋0.3＝1.
∴m＝0.3，∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.
(2)方法一：∵Y＝5X＋4，
∴随机变量Y的分布列为：
∴E(Y)＝4×0.4＋14×0.3＋24×0.3
＝1.6＋4.2＋7.2＝13.
方法二：∵Y＝5X＋4，
∴E(Y)＝E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13.
Y
4
14
24
P
0.4
0.3
0.3
[方法规律总结]　对于aX＋b型的随机变量，利用期望的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解较简捷．
[方法规律总结]　1.求期望的实际应用问题一般步骤：首先判断随机变量X是否服从特殊分布(如两点分布和二项分布)，如果是，代入相应的公式求期望值；如果不是，则先列出X的分布列，再代入期望公式求解．
2．解答实际应用问题时，先分析实际背景，将所求问题概率模型化，再利用有关概率知识求解．
谢谢!