苏科版八年级数学上册1.3探索全等三角形的条件一课一练习题2（Ｗord版，解答题，含答案）

1.3《探索全等三角形的条件》习题2
一、解答题
1．如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．
（1）说明△ACD与△BEC全等的理由；（2）说明AB＝AD+BE的理由．
2．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，
∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
3．综合与实践
阅读以下材料：
定义：两边分别相等且夹角互补的两个三角形叫做“互补三角形”．
用符号语言表示为：如图①，在△ABC与△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF，那么△ABC与△DEF是互补三角形．
反之，“如果△ABC与△DEF是互补三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的．
自主探究
利用上面所学知识以及全等三角形的相关知识解决问题：
（1）性质：互补三角形的面积相等
如图②，已知△ABC与△DEF是互补三角形．
求证：△ABC与△DEF的面积相等．
证明：分别作△ABC与△DEF的边BC，EF上的高线，则∠AGC=∠DHE=90°．
……
(将剩余证明过程补充完整)
（2）互补三角形一定不全等，请你判断该说法是否正确，并说明理由，如果不正确，请举出一个反例，画出示意图．
4.已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求证：△BEC≌△DEA；（2）求证：BC⊥FD．
5.如图，点在直线的同侧，过作，垂足为，延长至，使得，连接交直线于点．（1）求证：（2）在直线上任意一点（除点外），求证：
6.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数.
7.如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积多少.
8.
如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD=DC=2.4，BC=4.1．（1）若∠ABE=162°，∠DBC=30°，求∠CBE的度数；（2）求△DCP与△BPE的周长和．
9.如图，已知∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD，你认为这种说法正确吗?如果不正确，请说明理由．
10.如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：．
11.如图，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，PEC与QFC全等．
12.如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．
13.如图
1，点
P、Q
分别是等边△ABC
边
AB、BC
上的动点（端点除外），点
P
从顶点
A、点
Q
从顶点
B
同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP
交于点
M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点
P、Q
分别在
AB、BC
边上运动时，∠QMC
变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图
2，若点
P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线
AQ、CP交点为M，则∠QMC
变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
14.如图（1），在ABC中，，BC=9cm,
AC=12cm,
AB=15cm.现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边ACCBBA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t
s．（1）如图（1），当t=______时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，，DE=4cm,
DF=5cm,
．
在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着ABBCCA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
15.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC
=8cm.点P从A点出发,沿路径向终点B运动，点Q从B点出发,沿路径向终点A运动.点P
和Q分别和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.则点P运动多少秒时，△PEC和△CFQ全等？请说明理由.
16.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N．（1）如图（1），若，，当绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M，N分别改在CA，BC的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM，MN，BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．
17.（1）如图1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　
　；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF=∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
18.现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在中，,若点D为AB的中点，则．
请结合上述结论解决如下问题：已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．
答案
一、解答题
1．（1）∵∠DCE＝∠A，∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠D＝∠BCE，
在△ACD和△BEC中，，∴△ACD≌△BEC（AAS）；
（2）∵△ACD≌△BEC，∴AD＝BC，AC＝BE，∴AC+BC＝AD+BE，即AB＝AD+BE．
2．证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
3．（1）∵△ABC与△DEF是互补三角形，∴∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF．
又∵∠ACB+∠ACG=180°，∴∠ACG=∠E，
在△AGC与△DHE中，∴△AGC≌△DHE（AAS）
∴AG=DH．∴，即△ABC与△DEF的面积相等．
（2）不正确．反例如解图，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴△ABC与△DEF是互补三角形．∴互补三角形一定不全等的说法错误．
4.证明：（1）∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在Rt△BEC与Rt△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（HL）；
（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．
5.（1），
在和中
（2）在上取一点，连接，，
在中，
6.解：延长AE交DC边于点F，如图：
∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE与Rt△CBD中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE＝30°，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．故答案为：75°．
7.∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∴∠FEA=∠BAG，
在△FEA和△GAB中，，∴△FEA≌△GAB(AAS)，∴AG=EF=6，AF=BG=2，
同理可证：△CBG≌△DCH(AAS)，∴CG=DH=4，BG=CH=2，
∴FH=2+6+4+2=14，∴梯形EFHD的面积=×(EF+DH)×FH=×(6+4)×14=70，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD?S△EFA?S△ABC?S△DHC=70?×6×2?×(6+4)×2?×4×2=50.故答案为50.
8.解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°，
∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE，∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度数为66°；
（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AD+DC=4.8，BE=BC=4.1，
△DCP和△BPE的周长和=DC+DP+CP+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=15.4．
9.解：不正确，因为AC不是△ABC和△ACD的对应边，故不能判定△ABC≌△ACD．
10.证明：如图，在线段上取点，使得，连接，
，，，，
在中，，，，
，，，
在和中，，
，，是等腰直角三角形，，
，．
11.解：由题意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，
①如图1，当△PEC≌△CFQ时，则PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2，
②如图2，当点Q与P重合时，△PEC≌△QFC全等，
则PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．解得：t＝，
③如图3，当点Q与A重合时，△PEC≌△CFQ，
则PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，
综上所述：当t＝2秒或秒或6秒时，△PEC与△QFC全等，
故答案为：2或或6．
12.当△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵运动时间相同，∴P，Q的运动速度也相同，∴x＝2．
当△ACP≌△BQP时，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝＝
故答案为2或．
13.（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°?∠PAC＝180°?60°＝120°．
14.（1）
∵△APC的面积等于△ABC面积的一半
当P点运动到BC边上时，此时
即
此时
当P点运动到AB边上时，作PQ⊥AC于Q
此时即
∴此时P点在AB边的中点，此时
综上所述，当t=或时，△APC的面积等于△ABC面积的一半
（2）∵，DE=4cm,
DF=5cm,
此时P点运动的时间为
∵P,Q同时出发，所以Q运动的时间也是∴Q运动的速度为
15.设运动时间为秒时，和全等，
∵和全等，∴，
有三种情况：如图1所示，在上，在上，，，∴，∴.
（2）如图2所示，,都在上，此时,重合，，，∴，∴.
（3）如图3所示，当到达点(和点重合)，在上时，此时点停止运动，
∵，，，∴，∴.∵，∴符合题意.
答：点运动1秒或3.5秒或12秒时，和全等.
16.（1）．证明如下：如图，延长CB到E，使，连接DE．
，．，．
在和中，，，，．
，，，．
在和中，，，．
，；
（2）．证明如下：如图，延长CB到E，使，连接DE．
，．，，．
在和中，，，，．
，，，，
，，．
在和中，，，．
，；
（3）补充完成题图，如图所示．
．证明如下：如上图，在CB上截取BE=AM，连接DE．
，，，．
，．
在和中，，，
，．
，，．
在和中，，，．
，．
17.（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD（SAS），∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH（SAS），∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．
18.（1）AE//BF；QE=QF
（2）QE=QF
证明：延长EQ交BF于D，
,
（3）当点P在线段BA延长线上时，此时（2）中结论成立
证明：延长EQ交FB的延长于D
因为AE//BF所以
EQ=QF