2021-2022七年级数学下册试题 一课一练《平方差公式和完全平方公式》习题1-北师大版（word版含答案）

《平方差公式和完全平方公式》习题1
一、选择题
1．下列各式中能用平方差公式计算的是(　　)
A．(a+3b)(3a﹣b)
B．(3a﹣b)(3a﹣b)
C．(3a﹣b)(﹣3a+b)
D．(3a﹣b)(3a+b)
2．下列乘法公式的运用，不正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知，则a2－b2－2b的值为
A．4
B．3
C．1
D．0
4．化简(a+b+c)－(a－b+c)的结果为(
)
A．4ab+4bc
B．4ac
C．2ac
D．4ab－4bc
5．为了应用乘法公式计算(x－2y＋1)(x＋2y－1)，下列变形中正确的是
(
)
A．[x－(2y＋1)]2
B．[x－(2y－1)][x＋(2y－1)]
C．[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]
D．[x＋(2y－1)]2
6．下面有4道题，小明在横线上面写出了答案：
①，②，③，④若a﹣b=2，则．他写对答案的题是(
)
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
7．在计算()
()时，最佳的方法是(
)
A．运用多项式乘多项式法则
B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则
D．运用完全平方公式
8．式子(其中x为整数)一定能被(
)整除．
A．48
B．28
C．8
D．6
9．计算的结果是(　　)
A．
B．
C．
D．
10．若，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
11．如图(1)，边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图(2)所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论(　　)
A．(m﹣n)2＝m2﹣2mn+n2
B．(m+n)2＝m2+2mn+n2
C．(m﹣n)2＝m2+n2
D．m2﹣n2＝(m+n)(m﹣n)
12．已知，则的值等于(
)
A．
B．
C．
D．
13．若多项式9x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为(　　)
A．±24
B．±12
C．24
D．12
14．4张长为a，宽为b(a＞b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a＋b)的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是(　　)
A．a＝1.5b
B．a＝2b
C．a＝2.5b
D．a＝3b
二、填空题
15．已知x+y=8，xy=12，则的值为_______.
16．计算
________
17．对于任意实数，规定的意义是=ad-bc．则当x2-3x+1=0时，
=______．
18．如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b(a＞b)．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
三、解答题
19．先化简，再求值：(2x+3)(2x﹣3)﹣(x﹣2)2﹣3x(x﹣1)，其中x=1，y=﹣3．
20．街心花园有一块边长为米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米东西向减少2米，改造后得到一块长方形的草坪．
(1)求改造后的长方形草坪的面积．
(2)改造后的图形的面积是增大了还是缩小了?请说明理由．
21．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算:
(1)
(2)20182-20172019
22．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如，，，则8、16、24这三个数都是奇特数．
(1)32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．
(2)设两个连续奇数是和(其中n取正整数)．由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
23．设是实数，定义关于※的一种运算如下：．例如
求的值；
①乐于思考的小慧发现，你能说明理由吗?
②小慧猜想，你认为她的猜想成立吗?请说明理由．
24．仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
(1)请你写出第6个等式：　　　　；
(2)请写出第n个等式，并加以验证；
(3)运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
25．若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2-2m
n＋n2)＋(
)＝0，
即(
)2＋(
)2＝0．根据非负数的性质，
∴m＝n＝
(1)完善上述解答过程，然后解答下面的问题：
(2)设等腰三角形ABC的三边长a、b、c，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求△ABC的周长．
26．阅读理解：
若x满足，求的值．
解：设，则，
归纳方法：
首先，利用换元进行式子简化，再利用和(差)是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．
解决问题：
(1)若x满足，则=
；
(2)若x满足，求的值；
(3)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点
E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为
平方单位．
答案
一、选择题
1．D．2．D.3．C．4．A.5．B．6．C．7．B．8．B．9．A．
10．B．11．D．12．C．13．A．14．D
二、填空题
15．28.
16．
17．1
18．3
三、解答题
19．解：(2x+3)(2x﹣3)﹣(x﹣2)2﹣3x(x﹣1)
=4x2﹣9﹣x2+4x﹣4﹣3x2+3x
=7x﹣13，
当x=1时，原式=7﹣13=﹣6．
20．(1)设原来的正方形的边长为，则新的长方形的边长为，
改造后的长方形草坪面积为；
(2)原来正方形草坪面积为：
改造后的长方形草坪面积比原来的正方形草坪面积减少．
21．解：(1)9992=(1000-1)2
=10002-2×1000×1+1
=1000000-2000+1
=998001；
(2)20182-2017×2019=20182-(2018-1)(2018+1)
=20182-20182+1
=1．
22．(1)∵，，，则8、16、24这三个数都是奇特数
∴奇特数是8的整数倍，即8n(n是正整数)
∵
∴32是奇特数，
∵2020不是8的整数倍
∴2020不是奇特数，
故答案为：是，不是
(2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：
∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n；
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
23．解：根据题中的新定义得：原式；
；
②成立，理由为：
，
则．
24．(1)根据式子的特点，可知第6个等式是：
　252﹣212=8×23．
故答案为：252﹣212=8×23；
(2)第n个等式是：
(4n+1)2﹣(4n﹣3)2=8(4n﹣1)．
验证：左边=(4n+1)2﹣(4n﹣3)2
=16n2+8n+1﹣16n2+24n﹣9
=32n﹣8
=8(4n﹣1)
=右边；
(3)8×7+8×11+…+8×399+8×403
=92﹣52+132﹣92+…+4012﹣3972+4052﹣4012
=4052﹣52
=(405+5)(405﹣5)
=410×400
=164000．
25．解：(1)完善例题的解题过程：
∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2-2m
n＋n2)＋(
n2-8n+16
)＝0，
即(
m-n
)2＋(
n-4
)2＝0，
∴m＝n＝
4
；
(2)∵a2＋b2－4a－6b＋13＝0，
∴，
∴，
∴且，
∴，
∵等腰△ABC的三边长为：a、b、c，
∴当时，三边分别为：2、2、3，此时能围成三角形，△ABC的周长=2+2+3=7；
当时，三边分别为：2、3、3，此时能围成三角形，△ABC的周长=2+3+3=8；
综上所述，等腰△ABC的周长为7或8.
26．(1)设，，则，，
∴
，
故答案为：；
(2)设，，则，，
∵，即，
∴
∴
；
(3)∵BE=DF=x，
∴，，
依题意得：，
设，，则，，
，
故答案为：．