《课时备课工具——“导评用”案》
第
五
章：
第
1
单元
第
1
课时
共
2
课时
学
科
数学
课
型
新授课
课
题
5.1.1任意角的概念(1)
知识梳理
特殊到一般，具体到抽象的思维方法
角的概念
本节知识
任意角的三角函数
转化划归的数学素养
教学重点
任意角角度概念。
教学难点
任意角的表示。
板书设计
任意角的概念
例1
象限角和轴线角
例2
终边相同的角
例3
学习目标
1.了解任意角的概念,能区分正角、负角和零角.
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3.会表示终边相同的角的集合.
核心情境
在某次跳水比赛中,甲运动员顺时针腾空转体两周半入水,乙运动员逆时针腾空转体一周半入水.根据上述材料回答以下问题:设甲运动员转过的角为α,如何用任意角来描述甲运动员的动作?
学习任务一：任意角的概念
学习评价：回忆锐角三角函数的定义，温故知新
教学过程：
1、任意角的定义：角可以看成平面内
绕着
从一个位置旋转到另一个位置所形成的
?、
图示：其中O为
,OA为
,OB为
?、
记法：角α或∠α,或简记为α
角的分类
正角：按
方向旋转形成的角
负角：按
方向旋转形成的角
零角：一条射线
作任何旋转形成的角?
例1、平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O逆时针旋转90°到射线OB的位置,接着再顺时针旋转30°到OC的位置,则∠AOC的度数为 .?
变式训练：1.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( ).
A.120°
B.-120°
C.-60°
D.60°
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：弄清角的始边与终边及旋转方向和大小
学习任务二：象限角与轴线角
学习评价：加深对任意角的理解。
教学过程：
(1)象限角:在直角坐标系中讨论角,使角的顶点与
重合,角的始边与
轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就把这个角叫作第几象限角.?
(2)轴线角:使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在坐标轴上.
例2、
(1)若角θ为第四象限角,则90°+θ是( ).
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)有下列结论:①三角形的内角必是第一、二象限角;
②始边相同而终边不同的角一定不相等;
③小于90°的角为锐角;④钝角比第三象限角小;
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确的结论为 (填序号).?
变式训练：若角α的终边经过点P(-3,0),则角α( ).
A是第三象限角
B.是第二象限角
C.既是第二象限角又是第三象限角
D.不属于任何象限
任务解析/教师点评/设计意图：
方法指导 (1)先利用不等式写出角的范围,再求90°+θ的范围,最后判断在第几象限;(2)关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念.
方法总结：判断象限角的关键是弄清角的始边与终边及旋转方向和大小.判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
学习任务三：终边相同的角的表示
学习评价：锻炼应用能力、操作能力
教学过程：
例3
、(1)在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.①-120°;②640°;③-950°12'.
(2)与435°角的终边相同的角可以表示为( ).
A.-75°+k·360°,k∈Z
B.-435°+k·360°,k∈Z
C.75°+k·360°,k∈Z
D.75°+k·180°,k∈Z?
变式训练：求终边落在直线y=x上的角的集合.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：1.求解终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°~360°范围内相应的角;
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
(3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁.
堂测：1.-215°是( ).
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.与400°角终边相同的角可以表示为( ).
A.-40°+k·360°,k∈Z
B.-400°+k·180°,k∈Z
C.40°+k·360°,k∈Z
D.40°+k·180°,k∈Z
3.30°角的始边与x轴的非负半轴重合,把终边按顺时针方向旋转2周,所得角的度数是 .?
4.已知角α=45°,在-720°~0°范围内所有与α有相同终边的角β为
.?
课堂小结
1、任意角的概念.?
2、终边相同的角度表示.
课后作业
课堂反思《课时备课工具——“导评用”案》
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共
2
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数学
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型
新授课
课
题
5.1.1任意角的概念(1)
知识梳理
特殊到一般，具体到抽象的思维方法
角的概念
本节知识
任意角的三角函数
转化划归的数学素养
教学重点
任意角角度概念。
教学难点
任意角的表示。
板书设计
任意角的概念
例1
象限角和轴线角
例2
终边相同的角
例3
学习目标
1.了解任意角的概念,能区分正角、负角和零角.
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3.会表示终边相同的角的集合.
核心情境
在某次跳水比赛中,甲运动员顺时针腾空转体两周半入水,乙运动员逆时针腾空转体一周半入水.根据上述材料回答以下问题:设甲运动员转过的角为α,如何用任意角来描述甲运动员的动作?
学习任务一：任意角的概念
学习评价：回忆锐角三角函数的定义，温故知新
教学过程：
1、任意角的定义：角可以看成平面内
绕着
从一个位置旋转到另一个位置所形成的
?、
图示：其中O为
,OA为
,OB为
?、
记法：角α或∠α,或简记为α
角的分类
正角：按
方向旋转形成的角
负角：按
方向旋转形成的角
零角：一条射线
作任何旋转形成的角?
平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O逆时针旋转90°到射线OB的位置,接着再顺时针旋转30°到OC的位置,则∠AOC的度数为 .
解析 不妨画出简图如图所示,由图和已知可得∠AOC=90°+(-30°)=60°.
所以∠AOC的度数为60°.
变式训练：1.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( ).
A.120°
B.-120°
C.-60°
D.60°
解析 时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即为-×360°=-120°.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：弄清角的始边与终边及旋转方向和大小
学习任务二：象限角与轴线角
学习评价：加深对任意角的理解。
教学过程：
(1)象限角:在直角坐标系中讨论角,使角的顶点与
重合,角的始边与
轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就把这个角叫作第几象限角.?
(2)轴线角:使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在坐标轴上.
例2、
(1)若角θ为第四象限角,则90°+θ是( ).
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)有下列结论:①三角形的内角必是第一、二象限角;
②始边相同而终边不同的角一定不相等;
③小于90°的角为锐角;④钝角比第三象限角小;
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确的结论为 (填序号).?
解析 (1)∵角θ为第四象限角,∴k·360°+270°<θ∴k·360°+360°<90°+θ(2)对于①,90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确;
对于②,始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确;
对于③,小于90°的角可以是0°角,也可以是负角,故③不正确;
对于④,钝角大于-100°,而-100°角是第三象限角,故④不正确;
对于⑤,0°角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑤不正确.
变式训练：若角α的终边经过点P(-3,0),则角α( ).
A是第三象限角
B.是第二象限角
C.既是第二象限角又是第三象限角
D.不属于任何象限
解析 (1)∵角θ为第四象限角,∴k·360°+270°<θ∴k·360°+360°<90°+θ(2)对于①,90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确;
对于②,始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确;
对于③,小于90°的角可以是0°角,也可以是负角,故③不正确;
对于④,钝角大于-100°,而-100°角是第三象限角,故④不正确;
对于⑤,0°角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑤不正确.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法指导 (1)先利用不等式写出角的范围,再求90°+θ的范围,最后判断在第几象限;(2)关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念.
方法总结：判断象限角的关键是弄清角的始边与终边及旋转方向和大小.判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
学习任务三：终边相同的角的表示
学习评价：锻炼应用能力、操作能力
教学过程：
例3
、(1)在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.①-120°;②640°;③-950°12'.
(2)与435°角的终边相同的角可以表示为( ).
A.-75°+k·360°,k∈Z
B.-435°+k·360°,k∈Z
C.75°+k·360°,k∈Z
D.75°+k·180°,k∈Z?
解析 (1)①因为-120°=240°-360°,所以与-120°角终边相同的角是240°角,故它是第三象限角;
②因为640°=280°+360°,所以与640°角终边相同的角是280°角,故它是第四象限角;
③因为-950°12'=129°48'-3×360°,所以与-950°12'角终边相同的角是129°48'角,故它是第二象限角.
(2)因为435°=360°+75°,所以与435°角终边相同的角可以表示为75°+k·360°,k∈Z.
变式训练：求终边落在直线y=x上的角的集合.
解析 终边落在射线y=x(x>0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在射线y=x(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z},所以终边落在直线y=x上的角的集合是S={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：1.求解终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°~360°范围内相应的角;
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
(3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁.
堂测：
1.与-225°角终边在同一条直线的角β的集是
;满足不等式-360°≤β≤360°的元素β为
.?
解析 与-225°角终边在同一条直线的角β的集合是;
令k=0,1,2,3,则β=-225°,-45°,135°,315°.
2.与400°角终边相同的角可以表示为( ).
A.-40°+k·360°,k∈Z
B.-400°+k·180°,k∈Z
C.40°+k·360°,k∈Z
D.40°+k·180°,k∈Z
解析 400°=360°+40°,∴与400°角终边相同的角可以表示为40°+k·360°,k∈Z.
3.30°角的始边与x轴的非负半轴重合,把终边按顺时针方向旋转2周,所得角的度数是 .?
解析 由题意知,所得角为30°-2×360°=-690°
4.已知角α=45°,在-720°~0°范围内所有与α有相同终边的角β为
.?
解析 所有与角α有相同终边的角可表示为β=45°+k·360°(k∈Z),
则令-720°≤45°+k·360°≤0°,得-765°≤k·360°≤-45°,
解得-≤k≤-,从而k=-2或k=-1,
代入β=45°+k·360°(k∈Z),得β=-675°或β=-315°.
课堂小结
1、任意角的概念.?
2、终边相同的角度表示.
课后作业
课堂反思
