一元二次方程测试题
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题(共8小题)
1.关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0的根的情况,下面判断正确的是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根 D.无实数根
2.a是方程x2+x﹣1=0的一个根,则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是( )
A.2018 B.2019 C.2020 D.2021
3.方程x2+x﹣12=0的根是( )
A.3 B.4 C.﹣3 D.﹣2
4.若关于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一个根是﹣1,则a的值是( )
A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3
5.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是( )
A.(1+x)2=242 B.(2+x)2=242
C.2(1+x)2=242 D.(1+2x)2=242
6.如图Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动,同时,点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动,当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动.运动( )秒后,△PBQ面积为5cm2.
A.0.5 B.1 C.5 D.1或5
7.已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2=0的根,则此菱形的边长是( )
A. B. C. D.
8.如果ax2=(3x﹣)2+m,那么a,m的值分别为( )
A.3,0 B.9, C.9, D.,9
二、填空题(共8小题)
9.若a,b是方程x2﹣x﹣5=0的两个不同的实数根,则a3﹣a2+5b﹣2= .
10.如果ax2+3x+=(3x+)2+m,则a,m的值分别是 .
11.关于x的方程(m+2)x|m|+2mx+2=0是一元二次方程,则m的值为 .
12.已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
13.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2020的值为 .
14.若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根,则= ﹣
15.已知m2+=4m﹣3n﹣13,则的值等于 .
16.已知关于x的方程x2+(a﹣6)x+a=0的两根都是整数,则a的值等于 .
三、解答题(共10小题)
17.解方程:
(1)1﹣x=3x2(配方法解).
(2)3x2﹣x﹣1=0.
18.解方程:
(1)x2﹣x﹣1=0(公式法);
(2)2x2+2x﹣1=0(配方法).
19.解方程
(1)(x+3)(x﹣1)=5
(2)x(x+3)=x+3
20.解下列方程.
(1)2x2﹣4x﹣3=0;
(2)(x﹣1)(x+2)=70.
21.某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系.
(1)请求出y与x的函数关系式;
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元,如何确定该款电动牙刷的销售单价?
22.某商店销售一批纪念品,每件进货价为30元.若售价为每件40元时,每天可售出300件.商场规定该纪念品的销售单价不低于40元,且获利不高于80%.根据市场反应:每涨价1元,每天少卖出10件.设该纪念品的售价为每件x元,销售量为y件.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)设商店每天销售纪念品获得的利润为w元,求商店获得最大利润时纪念品的售价.
(3)若商品某天获利3360元,求当天纪念品的售价.
23.列方程(组)解应用题
某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.
24.如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,有一点到终点运动即停止,设运动时间为t秒.
(1)t为何值时,△PBQ的面积为12cm2;
(2)若PQ⊥DQ,求t的值.
25.我市南湖生态城某楼盘准备以每平方米4800元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米3888元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)王先生准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案:
①打9.5折销售;
②不打折,一次性送装修费每平方米188元,试问那种方案更优惠?
26.先阅读,再解决问题.
阅读:材料一 配方法可用来解一元二次方程.例如,对于方程x2+2x﹣1=0可先配方(x+1)2=2,然后再利用直接开平方法求解方程.其实,配方还可以用它来解决很多问题.
材料二 对于代数式3a2+1,因为3a2≥0,所以3a2+1≥1,即3a2+1有最小值1,且当a=0时,3a2+1取得最小值为1.
类似地,对于代数式﹣3a2+1,因为﹣3a2≤0,所以﹣3a2+1≤1,即﹣3a2+1有最大值1,且当a=0时,﹣3a2+1取得最大值为1.
解答下列问题:
(1)填空:①当x= 时,代数式2x2﹣1有最小值为 ;
②当x= 时,代数式﹣2(x+1)2+1有最大值为 .
(2)试求代数式2x2﹣4x+1的最小值,并求出代数式取得最小值时的x的值.
(要求写出必要的运算推理过程)
一元二次方程测试题
参考答案
一、单选题(共8小题)
1.【答案】 C
【解答】 解:由题意可知:△=(﹣k﹣3)2﹣4(2k+2)
=k2﹣2k+1
=(k﹣1)2≥0,
故选:C.
2.【答案】 A
【解答】 解:∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根,
∴a2+a﹣1=0,即a2+a=1,
∴﹣2a2﹣2a+2020=﹣2(a2+a)+2020=﹣2×1+2020=2018.
故选:A.
3.【答案】 A
【解答】 解:(x﹣3)(x+4)=0,
x﹣3=0或x+4=0,
所以x1=3,x2=﹣4.
故选:A.
4.【答案】 C
【解答】 解:∵关于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一个根是﹣1,
∴a+2a+1=0,
∴3a+1=0,
解得a=﹣,
故选:C.
5.【答案】 C
【解答】 解:依题意得:2(1+x)2=242.
故选:C.
6.【答案】 B
【解答】 解:设经过x秒钟,使△PBQ的面积为5cm2,
BP=6﹣x,BQ=2x,
∵∠B=90°,
∴BP×BQ=5,
∴×(6﹣x)×2x=5,
∴x1=1,x2=5(舍去),
答:如果点P、Q分别从A、B同时出发,经过1秒钟,使△PBQ的面积为5cm2.
故选:B.
7.【答案】 C
【解答】 解:方程x2﹣3x+2=0,
分解得:(x﹣1)(x﹣2)=0,
解得:x=1或x=2,
∵菱形的对角线互相垂直
∴根据勾股定理得:=,
故选:C.
8.【答案】 B
【解答】 解:由ax2=(3x﹣)2+m
=9x2﹣2x++m
得:a=9,+m=1
所以:m=
故选:B.
二、填空题(共8小题)
9.【答案】 3
【解答】 解:∵a,b是方程x2﹣x﹣5=0的两个不同的实数根,
∴a2﹣a=5,a+b=1,
∴a3﹣a2=5a,
∴a3﹣a2+5b﹣2=5a+5b﹣2=5(a+b)﹣2=5×1﹣2=3.
故答案为:3.
10.【答案】 9,
1
4
【解答】 解:(3x+)2+m
=9x2+3x++m,
则a=9,+m=,
解得,m=,
故答案为:9,.
11.【答案】 2
【解答】 解:∵关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程,
∴|m|=2且m+2≠0,
解得m=2.
故答案是:2.
12.【答案】 k<2且k≠0
【解答】 解:∵a=k,b=﹣4,c=2,
△=b2﹣4ac=16﹣8k>0,即k<2方程有两个不相等的实数根,
且二次项系数不为零,k≠0.
则k的取值范围是k<2且k≠0.
故答案为:k<2且k≠0.
13.【答案】 2023
【解答】 解:由题意可知:2m2﹣3m﹣1=0,
∴2m2﹣3m=1,
∴原式=3(2m2﹣3m)+2020=2023.
故答案为:2023.
14.【答案】 -
1
2
.
【解答】 解:∵方程有实根,
∴△≥0,即△=4(1+a)2﹣4(3a2+4ab+4b2+2)≥0,
化简得:2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0,
∴(a+2b)2+(a﹣1)2≤0,而(a+2b)2+(a﹣1)2≥0,
∴a+2b=0,a﹣1=0,解得a=1,b=﹣,
所以=﹣.
故答案为﹣.
15.【答案】 2
3
【解答】 解:m2+=4m﹣3n﹣13
(m﹣2)2+(n+6)2=0,
则m﹣2=0,n+6=0,
所以m=2,n=﹣6,
所以=+=.
故答案是:.
16.【答案】 0或16
【解答】 解:设两个根为x1≥x2,
由韦达定理得,
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2=6,
∴(x1+1)(x2+1)=7,
∴或,
∴或,
∴a=x1x2=0或16.
故答案为:0或16.
三、解答题(共10小题)
17.【解答】 解:(1)移项得:3x2+x=1,
x2+x=,
配方得:x2+x+()2=+()2,
(x+)2=,
开方得:x+=,
x1=,x2=;
(2)3x2﹣x﹣1=0,
b2﹣4ac=(﹣)2﹣4×3×(﹣1)=18,
x==,
解得:x1=,x2=.
18.【解答】 解:(1)∵x2﹣x﹣1=0,
∴a=1,b=﹣1,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×(﹣1)=5>0,
∴x==,
∴x1=,x2=;
(2)∵2x2+2x﹣1=0,
∴x2+x﹣=0,
∴x2+x+=+,
∴=,
∴x+=±,
∴x1=,x2=.
19.【解答】 解:(1)方程整理为一般式得x2+2x﹣8=0,
则(x+4)(x﹣2)=0,
∴x+4=0或x﹣2=0,
解得x=﹣4或x=2;
(2)∵x(x+3)﹣(x+3)=0,
∴(x+3)(x﹣1)=0,
则x+3=0或x﹣1=0,
解得x=﹣3或x=1.
20.【解答】 解:(1)∵2x2﹣4x=3,
∴x2﹣2x=,
则x2﹣2x+1=+1,即(x﹣1)2=,
∴x﹣1=±,
∴x1=,x2=;
(2)方程整理,得:x2+x﹣72=0,
∴(x﹣8)(x+9)=0,
∴x﹣8=0或x+9=0,
解得x1=8,x2=﹣9.
21.【解答】 解:(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b,
将(30,100),(35,50)代入 y=kx+b,
得,
解得,
∴y与x的函数关系式为 y=﹣10x+400;
(2)设该款电动牙刷每天的销售利润为w元,
由题意得 w=(x﹣20)?y
=(x﹣20)(﹣10x+400)
=﹣10x2+600x﹣8000
=﹣10(x﹣30)2+1000,
∵﹣10<0,
∴当x=30时,w有最大值,w最大值为1000.
答:该款电动牙刷销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1000 元;
(3)设捐款后每天剩余利润为 z 元,
由题意可得 z=﹣10x2+600x﹣8000﹣200
=﹣10x2+600x﹣8200,
令z=550,即﹣10x2+600x﹣8200=550,
﹣10(x2﹣60x+900)=﹣250,
x2﹣60x+900=25,
解得x1=25,x2=35,
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图,
由图象可得:当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元,且不高于35元时,可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元.
22.【解答】 解:(1)由题意得:y=300﹣10(x﹣40)=700﹣10x,
而40≤x≤30(1+80%),即40≤x≤54,
即y=700﹣10x(40≤x≤54);
(2)由题意得:w=y(x﹣30)=(700﹣10x)(x﹣30)=﹣10(x﹣70)(x﹣30),
则函数的对称轴为x=(70+30)=50,
∵﹣10<0,故抛物线开口向下,
当x=50时,w取得最大值,
故商店获得最大利润时纪念品的售价为50元;
(3)由题意得:w=3360,即w=﹣10(x﹣70)(x﹣30)=3360,解得x=58(舍去)或42,
故当天纪念品的售价42元.
23.【解答】 解:设茶园垂直于墙的一边长为xm,则另一边的长度为(69+1﹣2x)m,根据题意,得
x(69+1﹣2x)=600,
整理,得
x2﹣35x+300=0,
解得x1=15,x2=20,
当x=15时,70﹣2x=40>35,不符合题意舍去;
当x=20时,70﹣2x=30,符合题意.
答:这个茶园的长和宽分别为30m、20m.
24.【解答】 解:(1)设x秒后△PBQ的面积等于12cm2.
则AP=x,QB=2x.
∴PB=8﹣x.
∴×(8﹣x)2x=12,
解得x1=2,x2=6,
答:2秒或6秒后△PBQ的面积等于12cm2;
(2)设x秒后PQ⊥DQ时,则∠DQP为直角,
∴△BPQ∽△CQD,
∴=,
设AP=x,QB=2x.
∴=,
解得:x=2或8,
经检验x=2是原分式方程的根,x=8是增根.
答:2秒后PQ⊥DQ.
25.【解答】 解:(1)设平均每次下调的百分率为x,
则4800(1﹣x)2=3888,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),
故平均每次下调的百分率为10%;
(2)方案①购房优惠:3888×100×(1﹣0.95)=19440(元);
方案②可优惠:188×100=18800(元).
故选择方案①更优惠.
26.【答案】 【第1空】0
【第2空】-1
【第3空】-1
【第4空】1
【解答】 解:(1)根据题意得:
①当x=0时,代数式2x2﹣1有最小值为﹣1;
②当x=﹣1时,代数式﹣2(x+1)2+1有最大值为1;
故答案为:0,﹣1;﹣1,1.
(2)∵2x2﹣4 x+1=2(x2﹣2x)+1=2(x2﹣2x+1﹣1)+1=2(x﹣1)2﹣1,
2(x﹣1)2≥0,
∴2(x﹣1)2﹣1≥﹣1,
即2(x﹣1)2﹣1有最小值﹣1,
当x=1时,2(x﹣1)2﹣1取得最小值﹣1.