7.1 条件概率与全概率公式 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word含答案）

第七章 随机变量及其分布
第七章 随机变量及其分布
7.1条件概率与全概率公式
7.1条件概率与全概率公式
知识数量
知识数量
知识点一条件概率
概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
知识点二概率乘法公式
由条件概率的定义，任意两个事件A与B ,若P(A)>0，则false,我们称上式为概率的乘法公式.
知识点三条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
知识点四全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．
知识点五贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
题型探究
题型探究
例1．假定患有疾病{d1，d2，d3}中的某一个的人可能出现症状S=false中一个或多个，其中：
S1=食欲不振；S2=胸痛；
S3=呼吸急促；S4=发热．
现从20000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数据：
疾病
人数
出现S中一个或几个症状人数
d1
7750
7500
d2
5250
4200
d3
7000
3500
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，在没有别的可依据的诊断手段情况下，推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
【答案】推测病人患有疾病d1较为合适
【详解】
以A表示事件“患者出现S中的某些症状”，Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1，2，3)，由于该问题数据很多，用事件的频率近似作为概率，由统计数据可知，
Pfalse=false=0.3875，Pfalse=false=0.2625，
Pfalse=false=0.35，Pfalse=false≈0.9677，
Pfalse=false=0.8，Pfalse=false=0.5，
所以Pfalse=Pfalse+Pfalse+Pfalse
=0.3875×0.9677+0.2625×0.8+0.35×0.5≈0.76．
由贝叶斯公式可得，
Pfalse=false=false≈0.4934，
Pfalse=false=false≈0.2763，
Pfalse=false=false≈0.2303．
从而推测病人患有疾病d1较为合适．
例2．现有一堆颜色不同，形状一样的小球放入两个袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球.
（1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；
（2）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率；
（3）将两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为false，求false的分布列.
【答案】（1）false；（2）false；（3）分布列见解析.
【详解】
解：（1）设事件false为“从甲袋中取出红球”，事件false为“从乙袋中取出红球”，事件false为“两球颜色不同”，则false，false
所以false.
（2）设事件false为“取出为白球”，事件false为“取到甲袋”，事件false为“取到乙袋”，
则false，false，false
则false
（3）合为一袋后，有9个红球和7个白球，则false的取值范围应为false
false；false；
false；false
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
例3．甲、乙两所学校高三年级分别有false人，false人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了false名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如表：
甲校：
分组
false
false
false
false
false
false
false
false
频数
false
false
false
false
false
false
false
false
乙校：
分组
false
false
false
false
false
false
false
false
频数
false
false
false
false
false
false
false
false
（1）计算false、false的值；
（2）若规定考试成绩在false内为优秀，由以上统计数据填写下面的false列联表，并判断是否有false的把握认为两所学校的数学成绩有差异；
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
总计
（3）若规定考试成绩在false内为优秀，现从已抽取的false人中抽取两人，要求每校抽false人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.
参考公式：false，其中false.临界值表：
false
false
false
false
false
false
false
false
【答案】（1）false，false；（2）分布列见解析，有；（3）false.
【详解】
（1）从甲校抽false(人)，
从乙校抽false(人)，
根据表中数据可得false，false；
（2）表格填写如下，
甲校
乙校
总计
优秀
false
false
false
非优秀
false
false
false
总计
false
false
false
false，
故有false的把握认为两所学校的数学成绩有差异；
（3）设两校各取一人，有人优秀为事件false，乙校学生不优秀为事件false，
根据条件概率，则所求事件的概率false.
例4．在新冠肺炎疫情防控进入常态化的当下，某医院2020年准备招聘若干名医学硕士进行医学检验.在招聘的最后阶段，只有false，false，false3名医学硕士进入实验检测环节的考核，医院给false，false，false3名医学硕士各准备了7管血样，且均有2管含有某种病毒，其中含病毒的血样的检测结果呈阳性，不含病毒的血样的检测结果呈阴性.现要求这3人分别对7管血样逐一检测，1次只能检测1管，直至检测出含有某种病毒的2管血样
（1）若false将7管血样随机编号为1，2，3，4，5，6，7，且按编号从小到大的顺序对血样进行检测，求其在第1管血样检测结果呈阳性的条件下，总共进行了4次检测的概率；
（2）求false检测了6次的概率；
（3）已知false，false，false均通过了实验检测环节的考核，医院又加试一个环节，即让false，false，false3人进行血样中病毒的识别检验，若false识别病毒的正确率为0.6，false与false识别病毒的正确率均为false，每人只有1次识别病毒的机会，且识别结果互不影响，试比较在这次加试中，false，false，false3名医学硕士中有1人识别病毒成功的概率与有2人识别病毒成功的概率的大小.
【答案】（1）false；（2）false；（3）答案见解析.
【详解】
（1）记事件false为第1管血样检测结果呈阳性，事件false为总共进行4次检测，
则false，false，
则所求概率为false，
所以医学硕士false在第1管血样检测结果呈阳性的条件下，总共进行了4次检测的概率为false.
（2）检测进行了6次，说明前5次只检测出一管阳性，不管第六次检测的结果是阳性还是阴性，都能找到两管阳性血样，从而所求概率false.
（3）由已知可得false，false，false，3名医学硕士有1人识别成功的概率false，
有2人识别成功的概率false.
false，
由false，且false，得false；
由false，且false，得false；
由false，且false，得false.
所以当false时，false，即false，false，false，3名医学硕士中有1人识别病毒成功的概率小于有2人识别病毒成功的概率；
当false时，false，即false，false，false，3名医学硕中有1人识别病毒成功的概率大于有2人识别病毒成功的概率；
当false时，false，即false，false，false，3名医学硕士中有1人识别病毒成功的概率等于有2人识别病毒成功的概率.
例5．已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%.甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%.从该电脑卖家中随机购买一台电脑；
（1）求买到优质电脑的概率；
（2）若已知买到的是优质电脑，求买到的是甲品牌电脑的概率（精确到0.1%）.
【答案】（1）0.83（2）0.675
【详解】
（1）从该电脑卖家中随机购买一台电脑，为甲品牌优质电脑的概率为false
为乙品牌优质电脑的概率为false，所以买到优质电脑的概率为false
（2）买到的是甲品牌电脑的概率为false
课后小练
课后小练
1.近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？
愿意接种
不愿意接种
合计
男
女
合计
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附： K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P（K2≥k）
0.050??? 0.010???? 0.005
k
3.841??? 6.635??? ?7.879
2.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在 M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在 N 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 M 处和 N 处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
3.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：
（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为 ξ ，求 ξ 的数学期望 E(ξ) ．
4.某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 23 ，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．
（1）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？
5.某理科考生参加自主招生面试，从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率；
（2）该考生答对理科题的概率均为 45 ，若每题答对得10分，否则得零分，现该生抽到3道理科题，求其所得总分 X 的分布列与数学期望 E(X) .
答案解析
1.【答案】
（1）解：由题意得
?
愿意接种
不愿意接种
合计
男
30
10
40
女
50
5
55
合计
80
15
100
?K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=95×(30×5?50×10)240×55×80×15≈4.408>3.841??
有 95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．
（2）p=C61C41C152?C92=2469=823
【解析】
（1）由线性回归分析的方法及要求直接求解即可，
（2）由条件概率的求法直接求解即可.
2.【答案】
（1）解：甲同学两分球投篮命中的概率为 510+410+310+610+7105=0.5 ，
甲同学三分球投篮命中的概率为 110+0+110+210+1105=0.1 ，
设甲同学累计得分为 X ，
则 P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.3 ，
所以，甲同学通过测试的概率为0.3
（2）解：乙同学两分球投篮命中率为 210+410+310+510+6105=0.4 ，
乙同学三分球投篮命中率为 110+210+310+110+3105=0.2 .
设乙同学累计得分为 Y ，则 P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128 ，
P(Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128 ，
设“甲得分比乙得分高”为事件 A ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 B ，
则 P(AB)=P(X=5)?P(Y=4)=0.075×0.128=0.0096 ，
P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]?[P(Y=4)+P(Y=5)]=0.0768 ，
由条件概率公式可得 P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18
【解析】
（1）分别求出甲同学两分球投篮命中的概率和甲同学三分球投篮命中的概率，设甲同学累计得分为X，则P（X≥4）=P（X=4）+P（X=5），由此能求出甲同学通过测试的概率；
（2）乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，求出P（Y=4）=0.128，P（Y=5）=0.128，设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P（AB）=P（X=5）?P（X=4），P（B）=[P（X=4）+P（X=5）]?[P（Y=4）+P（Y=5）]，由条件概率得： P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18。
3.【答案】
（1）解：由题意知，样本容量为 60.005×20=60,b=60×(0.01×20)=12 ，
a=60?6?12?24=18,c=1860×20=0.015 ．
平均数为 (30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64 ，
设中位数为 x ，因为 0.005×20+0.015×20=0.4<0.5,0.005×20+0.015×20+0.02×20=0.8>0.5 ，所以 x∈(60,80) ，则 0.005×20+0.015×20+(x?60)×0.02=0.5 ，
解得 x=65 ．
（2）解：由题意可知，分数在 [60,80) 内的学生有24人，分数在 [80,100] 内的学生有12人．设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件 A ，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件 B ，
则 P(A)=2436=23,P(AB)=24×2336×35=46105 ，所以 P(B|A)=P(AB)P(A)=2335 ．
（3）解：在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为 2460×10=4 ，“合格”的学生人数为 10?4=6 ．
由题意可得 ξ 的所有可能取值为0,5,10,15,20．
P(ξ=0)=C44C104=1210,P(ξ=5)=C43C61C104=24210,P(ξ=10)=C42C62C104=90210 ，
P(ξ=15)=C41C63C104=80210,P(ξ=20)=C64C104=15210 ．
所以 ξ 的分布列为
E(ξ)=0+5×24210+10×90210+15×80210+20×15210=12 ．
【解析】
根据频率分布直方图及其性质可求出 a,b,c ，平均数，中位数；
设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件 A ，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件 B ，由条件概率公式 P(B|A)=P(AB)P(A) 可求出；
（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为 2460×10=4 ，“合格”的学生数为6；由题意可得 ξ=0 ，5，10，15，20，利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望．
4.【答案】
（1）解：由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
P=C41C22C63×C31×23×(13)2+C42C21C63×C30×(23)0×(13)3=115
（2）解：设学生甲答对的题数为 X ，则 X 的所有可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C41C22C63=15 ，
P(X=2)=C42C21C63=35 ，
P(X=3)=C43C20C63=15 ，
E(X)=1×15+2×35+3×15=2 ，
D(X)=(1?2)2×15+(2?2)2×35+(3?2)2×15=25 ，
设学生乙答对题数为 Y ，则 Y 所有可能的取值为0，1，2，3，
由题意知 Y～B(3,23) ， E(Y)=3×23=2 ， D(Y)=3×23×13=23 ，
E(X)=E(Y) ， D(X)∴甲被录取的可能性更大．
【解析】
（1）利用独立事件结合古典概型求概率公式和已知条件求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．
（2）利用已知条件求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求出期望和方差，再从期望和方差的角度分析出甲被录取的可能性更大。
5.【答案】
（1）解：记该考生在第一次抽到理科题为事件 A ，第二次和第三次均抽到理科题为事件 B .
P(A)=C41A62A73 ， P(B)=A43A73 ，
该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率：
P(B|A)=P(AB)P(A)=A43C41A62=15
（2）解： P(X=0)=C30(15)3=1125 ；
P(X=10)=C3145(15)2=12125 ；
P(X=20)=C32(45)2(15)1=48125 ；
P(X=30)=C30(45)3=64125 .
其所得总分 X 的分布列为：
X
0
10
20
30
P
1125
12125
48125
64125
数学期望 E(X)=24
【解析】(1)根据题意由概率以及条件概率的定义代入数值求出结果即可。(2)由随机变量的概率分布结合伯努力概率公式代入数值即可求出各个随机变量对应下的概率值，列表即可。