第八章 成对数据的统计分析 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word含答案）

第八章 成对数据的统计分析
第八章 成对数据的统计分析
知识点1.列联表
（1）．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．
（2）．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：
X
Y
合计

Y＝0
Y＝1

X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．
知识点2.独立性检验解决实际问题的主要环节
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．
(3)根据检验规则得出推断结论．
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
知识点3.相关关系的分类
按变量间的增减性分为正相关和负相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也增加
②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也减少
按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关
知识点4.一元线性回归模型
称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
知识点5.对模型刻画数据效果的分析
残差图法
残差图中，如残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，说明经验回归方程较好地刻画两个变量的关系．
残差平方和法
残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
题型探究
题型探究
例1．下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量false（单位：false）和年份代码false绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码false分别为1～7）.
（1）根据散点图说明false与false之间的相关关系（线性正相关、线性负相关或无相关关系）；
（2）根据散点图相应数据计算得false，false，求false关于false的线性回归方程；
（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.
附：回归方程false中斜率和截距的最小二乘计公式分别为：false.
【答案】（1）正相关；（2）false；（3）效果较好.
【详解】
（1）false与false之间线性正相关；
（2）false，false
false
false，false
所以false关于false的线性回归方程为false.
（3）由残差图知，残差的绝对值相对于false较小，残差图均匀分布在一个较窄的带形区域内，故线性回归方程的拟合效果较好.
例2．某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.
（Ⅰ）设消费者的年龄为false，对该款智能家电的评分为false.若根据统计数据，用最小二乘法得到false关于false的线性回归方程为false，且年龄false的方差为false，评分false的方差为false.求false与false的相关系数false，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.
（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有false的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.
好评
差评
青年
8
16
中老年
20
6
附：线性回归直线false的斜率false；相关系数false，独立性检验中的false，其中false.
临界值表：
false
0.050
0.010
0.001
false
3.841
6.635
10.828
【答案】（Ⅰ）false，相关性较强；（Ⅱ）有false的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.
【详解】
（Ⅰ）相关系数false
false
false.
故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强.
（Ⅱ）由列联表可得
false.
故有false的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.
例3．false指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当false数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当false数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于false我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮.
（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与false指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有false的把握认为男生的身高对false指数有影响.
身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
体重较重
合计
（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高false
166
167
160
173
178
169
158
173
体重false
57
58
53
61
66
57
50
66
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为false.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）false；
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重false
57
58
53
61
66
57
50
66
残差false
0.1
0.3
0.9
false
false
②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为false.请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.
（参考公式）
false，false，false，false，false.
（参考数据）
false，false，false，false，false.
false
0.10
0.05
0.01
0.005
false
2.706
3.811
6.635
7.879
【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）①残差表见解析，0.91；②false
【详解】
（1）
身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
6
15
21
体重较重
6
5
11
合计
12
20
32
由于false，
因此没有false的把握认为男生的身高对false指数有影响.
（2）①，对编号为6的数据：false，对编号为7的数据：false，对编号为8的数据false，完成残差表如下所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重false
57
58
53
61
66
57
50
66
残差false
0.1
0.3
0.9
false
false
false
false
3.5
falsefalse.
所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值false约为0.91.
②由①可知，第八组数据的体重应为58.
此时false，又false，false，false，
false，
false，
所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为false.
例4．随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：
x
1
2
3
4
5
y(万人)
20
50
100
150
180
（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是false，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从false到false）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从false到false），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第false格的概率为false，试证明false是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程false中，false.
【答案】（1）false，预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）约400元.
【详解】
解：（1）false
false
false
false
故false 从而false
所以所求线性回归方程为false，
令false，解得false.
故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人
（2）遥控车开始在第0格为必然事件，false，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为false,即false.遥控车移到第false（false）格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①遥控车先到第false格，又掷出奇数，其概率为false
②遥控车先到第false格，又掷出偶数，其概率为false
所以false，false
false当false时，数列false是公比为false的等比数列
false
以上各式相加，得falsefalse
false（false），
false获胜的概率false
失败的概率false
false设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为false元，false或false
falseX的期望false
false参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为false，约400元.
课后小练
课后小练
1．某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100false数据，统计结果如表所示：
得分
false
false
false
false
false
false
男性人数
20
60
40
40
30
10
女性人数
10
70
60
75
50
35
（1）把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类，请完成如下false列联表，并判断是否有false的把握认为该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别有关？
不太熟悉
比较熟悉
合计
男性
女性
合计
（2）为增加员工消防安全知识及自救?自防能力，现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛．在每轮比赛中，小组两位成员各答两道题目，若他们答对题目个数和不少于3个，则小组积1分，否则积0分．已知false与false在同一小组，false答对每道题的概率为false答对每道题的概率为false，且false，理论上至少要进行多少轮比赛才能使false所在的小组的积分的期望值不少于5分？附：参考公式及false检验临界值表
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
2．2021年2月25日举行的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，国家电网共有23名（个）先进个人、先进集体获得表彰.其中，国网西藏电力有限公司农电工作部从习近平总书记手中接过了“全国脱贫攻坚楷模”奖牌.过去8年，在党中央坚强领导下，经过世界规模最大、力度最强的脱贫攻坚战，近1亿人摆脱绝对贫困.长期以来贫困地区的农产品面临“种得出卖不出”“酒香也怕巷子深”的困境.深谙互联网思维的国家电网人，搭平台、建渠道，以一款APP让众多贫困地区的产品销售易如反掌.2020年“6.18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍.针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出100次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对商品和服务都做出好评的交易为40次，对商品和服务部不满意的交易为5次.
（1）请完成关于商品和服务评价的false列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为商品好与服务好评有关?
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
40
对商品不满意
5
合计
100
（2）从“对服务不满意”的评价中分层选出10个，再从这10个评价中随机选出6个，记其中“对商品不满意”的个数为false，求false的分布列及数学期望.
附：false，false.
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
3．2021年1月1日，新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代，为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：false，false，false，false，false，false，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求false的值；
（2）估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的false列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？
优秀
非优秀
合计
文科生
30
理科生
55
合计
100
参考公式及数据：false，false
false(false)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
4．2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅游的外地游客人数false（单位：万人），并绘制成下图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.
（1）用模型①false，②false分别拟合false与false的关系，根据散点图判断，哪个模型的拟合效果最好?（不必说理由）
（2）根据（1）中选择的模型，求false关于false的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元?
参考数据：下表中false，false.
false
false
false
false
false
false
23
2.15
60
3.58
84.5
21.31
参考公式：对于一组数据false，false，…，false，回归方程false中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为false，false.
5．false年开始，小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌的服装．小李所租服装店每年的租金如下表：
年份
false
false
false
false
年份代号false
false
false
false
false
租金false（千元）
false
false
false
false
根据以往的统计可知，每年卖甲品牌服装的收入为false万元，卖乙品牌服装的收入为false万元．
（I）求false关于false的线性回归方程；
（II）由（I）求得的回归方程预测此服装店false年的利润为多少．（年利润false年收入false年租金）
参考公式：在线性回归方程false中，false，false．
参考答案
1．（1）填表见解析；有false的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关；（2）理论上至少要进行16轮比赛．
【详解】
（1）
不太熟悉
比较熟悉
合计
男性
120
80
200
女性
140
160
300
合计
260
240
500
false
false有false的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关．
（2）false在一轮比赛中积1分的概率为false
false，
又false，则false
false，且false
false，此时false，
设false所在的小组在false轮比赛中的积分为false，则false，
false，所以理论上至少要进行16轮比赛．
2．（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析，false.
【详解】
（1）由题意可得关于商品和服务评价的false列联表如下：
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
40
20
60
对商品不满意
35
5
40
合计
75
25
100
false，
故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
（2）由（1）得从“对服务不满意”的评价中分层选出的10个评价中，“对商品好评”的有8个，“对商品不满意”的有2个，故false的所有可能取值为0，1，2，
false，false，false，
false
0
1
2
false
false
false
false
所以false.
3．（1）false；（2）false；（3）列联表答案见解析，没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与科别有关”.
【详解】
解：（1）由题可得false，解得false；
（2）平均成绩为：false；
（3）由（2）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有false人，
由此可得完整的false列联表：
优秀
非优秀
合计
文科生
15
30
45
理科生
10
45
55
合计
25
75
100
∵false，
∴没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与科别有关”.
4．（1）模型②false的拟合效果最好；（2）false；（3）3400万元.
【详解】
（1）模型②false的拟合效果最好.
（2）令false，知false与false可用线性方false拟合，则
false，false，
所以，false关于false的线性回归方程为false，
故false关于x的回归方程为false.
（3）2021年10月，即false时，false（万人），
此时，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为3400万元.
5．（I）false；（II）14.45万元.
【详解】
命题意图 本题考查线性回归方程．
解析（I）根据表中数据，计算可得false，false，
false，
false
false，
false，
false关于false的线性回归方程为false
（II）将false代入回归方程得false（千元）．
false预测第false年卖甲品牌服装的收入为false万元，卖乙品牌服装的收入为false万元，
false预测false年的利润为false（万元）．