第六章 计数原理 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 543.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-08 17:28:54 | ||
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文档简介
第六章计数原理
第六章计数原理
考点一：使用分类加法计数原理计数的两个条件
(1)根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，在这个标准下进行分类.
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分别属于不同类的两种方法是不同的方法，满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
考点二：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
联系：是涉及做一件事的不同方法的种数问题.
区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方
法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.
考点三：两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
考点四：排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
考点五：组合数公式
组合数
公式
乘积
形式
C＝，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
C＝
规定：C＝1.
知识点六：二项式系数的性质
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数false最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数false，false相等，且同时取得最大值
各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
题型探究
题型探究
例1．已知函数false．
（1）当false时，若false，求实数false的值；
（2）若false，求证：false．
【答案】（1）false． (2)见解析.
【解析】
分析：（1）直接化简计算false即得A的值. （2）先通过分析推理求出false，
false，再证明false．
详解：（1）当false时，
false，
所以false
false，
所以false.
（2）因为false，
所以false，
由题意false，
首先证明对于固定的false，满足条件的false是唯一的.
假设false，
则false，而false，false，矛盾.
所以满足条件的false是唯一的.
下面我们求false及false的值：
因为false false，
显然false.
又因为false，故false，
即false.
所以令false，
false，则false，又false，
所以false.
例2．某班级共派出false个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有false种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有false种选法.（1）试求false和； （2）判断false和false的大小（false），并用数学归纳法证明.
【答案】（1）false，false；（2）见解析.
【解析】
(1)根据队里男生甲必须排第一个，然后女生整体排在男生的前面，排成一路纵队入场，可得false，根据从男生和女生中各选一名代表到主席台服务，可得false；
(2)根据false，猜想false，再用数学归纳法证明，第二步的证明利用分析法证明.
详解：（1）false，false.
（2）因为false，所以false，false，
false，由此猜想：当false时，都有false，即false.
下面用数学归纳法证明false（false）.
①false时，该不等式显然成立.
②假设当false时，不等式成立，即false，.
则当false时，false，
要证当false时不等式成立.只要证：false，
只要证：false..
令false，因为false，所以false在false上单调递减，
从而false，而false，所以false成立.
则当false时，不等式也成立.
综合①、②得原不等式对任意的false均成立.
例3．设f(n)＝(a＋b)n（n∈N*，n≥2），若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P．
（1）求证：f(7)具有性质P；
（2）若存在n≤2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值．
【答案】（1）详见解析（2）1934．
【解析】
（1）利用等差数列性质列等量关系：false观察可得当n=7,k=1时满足（2）化简false为一个方程：4k2－4nk＋(n2－n－2)＝0，解这个不定方程的正整数解的关键是配方：(2k－n)2＝n＋2，所以n＋2为完全平方数．又n≤2016，所以n的最大值为442－2＝1934，此时k＝989或945．
试题解析：解：（1）f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为
false＝7，false＝21，false＝35，
因为false＋false＝2false，即false，false，false成等差数列，
所以f(7)具有性质P．
（2）设f(n)具有性质P，
则存在k∈N*，1≤k≤n－1，使false成等差数列，
所以false．
整理得，4k2－4nk＋(n2－n－2)＝0，
即(2k－n)2＝n＋2，所以n＋2为完全平方数．
又n≤2016，由于442＜2016＋2＜452，
所以n的最大值为442－2＝1934，此时k＝989或945．
例4．（1）已知false.
求：①false；
②false；
（2）在false的展开式中，求：
①展示式中的第3项；
②展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1）①false；②false；（2）①false；②false或false.
【详解】
解：（1）令false，则false，
令false，则false.
①∴false.
②∵false展开式中，false、false、false、false都大于零，而false、false、false、false都小于零，
∴false，
令false，则false.
所以false.
（2）false的展开式中第false项为false，
①当false时，所以展示式中的第3项为false.
②false或3时，二项式系数false最大，
false时，由（1）知false，
false时，false．
例5．从包括false、false两人的false个人中选出false人排成一排．
（1）若任意选false人，有多少种不同的排法？
（2）若false、false两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？
（3）若false、false两人都在内且false、false不相邻，有多少种不同排法？
（4）若排头和排尾不允许站false，正中间（第三位）不允许站false，有多少种不同的排法？
【答案】（1）false种；（2）false种；（3）false种；（4）false种.
【详解】
（1）从false人中任选false人来排队共有false种不同的排法；
（2）先从false、false两人中任选false人有false种不同的方法，再从剩余的false人中任选false人有false种不同的方法，再将选出的false人进行全排列，
共有false种不同的排法；
（3）因false、false都在内，所以只需从余下false人中选false人有false种不同结果，
false、false不相邻，使用插空法共有false种不同排法；
（4）第一类：所选false人无false、false，有false种不同排法；
第二类：所选false人有false无false，则false只能站中间三个位置的其中一个位置，有false种不同排法；
第三类：所选false人无false有false，则false有false个位置可供选择，有false种不同排法；
第四类：所选false人有false、false，若false排中间时，有false种不同排法，
若false不排中间时，有false种不同排法，共有false种不同排法；
综上，共有种false不同排法．
例6．（1）求(-x+false)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项.
（2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相.
①求3位女同学站在一起的概率；
②求4位男同学互不相邻的概率.
【答案】（1）各项系数之和为：false，常数项为：false ；（2）①false；②false .
【详解】
解：（1）令false得各项系数之和为false，
展开式的通项公式false，
由false得false，
则常数项为false．
（2）①把3位女生当作一个元素，则有false种排法，
则对应的概率false．
②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有false．
则对应概率false．
课后小练
课后小练
1．在二项式false的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求系数最大的项．
2．如图,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点涂上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么有多少种不同的涂色方法?
3．已知false展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求false的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
4．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
男生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
false
5
表二：女生
女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
false
（1）求false,false的值；
（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为false，求随机变量false的分布列及数学期望；
（3）由表中统计数据填写false列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
45
参考公式：false，其中false.
参考数据：
false
0.01
0.05
0.01
false
2.706
3.841
6.635
5．已知二项式false展开式中所有项的二项式系数和为64.
（1）求false的值；
（2）若展开式所有项的系数和为false，其中false为有理数，求false和false的值.
6．蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户通过步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网络挂号、网络购票等行为就会减少相应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树.这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙伴们可以在现实沙漠化地区（阿拉善、通辽、库布齐等）种下一棵实体的树目前通辽地区对部分基地樟子松幼苗的培育技术进行了改进，为了了解改进后的效果，现从改进前后的树苗培育基地各抽取了false株产品作为样本，检测其同样生长周期的高度（单位：false），若高度不低于false才适合移植，否则继续等待生长图1是改进前的样本的频率分布直方图，表2是改进后的样本频率分布表.
图1
表2技术改进后样本的频率分布表
高度
频数
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
（1）根据图1和表2提供的信息，试从移植率的角度对培育技术改进前后的优劣进行比较；
（2）估计培育技术未改进的基地树苗高度的平均数；
（3）在市场中，规定高度在false内的为三等苗，false内的为二等苗，false内的为一等苗.现从表2高度不低于false的树苗样本中采用分层抽样的方法抽取false株，再从这false株幼苗中随机抽取false株，求这false株中一、二、三等苗都有的概率.
参考答案
1．（1），，（2）和
【详解】
（1）∵
由题设可知
解得n=8或n=1（舍去）
当n=8时，通项
据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8
∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，
（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1
∵， 由≥1得r≤3
又∵，由≤1得：r≥2
∴ r=2或r=3所求项为和
2．420
【解析】
先给点S涂色,有5种不同的方法,再给点A涂色,有4种不同的方法,接着给点B涂色,有3种不同的方法,当点C与点A同色时,给点D涂色有3种不同的方法；当点C与点A不同色时,给点C涂色有2种不同的方法,给点D涂色也有2种不同的方法,依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知不同的涂色方法共有5×4×3×(3+2×2)=420(种).
3．（1）false；（2）false；（3）false.
【详解】
解：由题意，false展开式前三项的二项式系数和为22．
false1false二项式定理展开：前三项二项式系数为：false，
解得：false或false舍去false．
即n的值为6．
false2false由通项公式false，
令false，
可得：false．
false展开式中的常数项为false；
false是偶数，展开式共有7项false则第四项最大
false展开式中二项式系数最大的项为false．
4．（1）false；（2）详见解析；（3）没有.
【详解】
（1）设从高一年级男生中抽取false人，则false
解得false，则从女生中抽取20人
所以false，false.
（2） 表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则false的所有可能的取值为0,1,2.
false，false，
false.则随机变量false的概率分布列为：
false
0
1
2
false
false
false
false
所以false数学期望为false.
（3）false列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
false，
因为false，false
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
5．（1）false（2）false，false
【详解】
解：（1）由题意，false，false
（2）方法一：展开式的通项为false
则false，
false
方法二：令false，则false，
因为falsefalse
故，false，false.
6．（1）改进后的培育技术更好，详见解析；（2）falsefalse；（3）false.
【详解】
解析：（1）根据题图和题表可知，培育技术改进前树苗的移植率为false，培育技术改进后树苗的移植率为false，所以培育技术改进后树苗的移植率更高，因此改进后的培育技术更好.
（2）falsefalse.
（3）由题意知，false株幼苗中一、二、三等苗分别有false、false、false株,
false.
第六章计数原理
考点一：使用分类加法计数原理计数的两个条件
(1)根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，在这个标准下进行分类.
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分别属于不同类的两种方法是不同的方法，满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
考点二：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
联系：是涉及做一件事的不同方法的种数问题.
区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方
法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.
考点三：两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
考点四：排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
考点五：组合数公式
组合数
公式
乘积
形式
C＝，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
C＝
规定：C＝1.
知识点六：二项式系数的性质
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数false最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数false，false相等，且同时取得最大值
各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
题型探究
题型探究
例1．已知函数false．
（1）当false时，若false，求实数false的值；
（2）若false，求证：false．
【答案】（1）false． (2)见解析.
【解析】
分析：（1）直接化简计算false即得A的值. （2）先通过分析推理求出false，
false，再证明false．
详解：（1）当false时，
false，
所以false
false，
所以false.
（2）因为false，
所以false，
由题意false，
首先证明对于固定的false，满足条件的false是唯一的.
假设false，
则false，而false，false，矛盾.
所以满足条件的false是唯一的.
下面我们求false及false的值：
因为false false，
显然false.
又因为false，故false，
即false.
所以令false，
false，则false，又false，
所以false.
例2．某班级共派出false个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有false种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有false种选法.（1）试求false和； （2）判断false和false的大小（false），并用数学归纳法证明.
【答案】（1）false，false；（2）见解析.
【解析】
(1)根据队里男生甲必须排第一个，然后女生整体排在男生的前面，排成一路纵队入场，可得false，根据从男生和女生中各选一名代表到主席台服务，可得false；
(2)根据false，猜想false，再用数学归纳法证明，第二步的证明利用分析法证明.
详解：（1）false，false.
（2）因为false，所以false，false，
false，由此猜想：当false时，都有false，即false.
下面用数学归纳法证明false（false）.
①false时，该不等式显然成立.
②假设当false时，不等式成立，即false，.
则当false时，false，
要证当false时不等式成立.只要证：false，
只要证：false..
令false，因为false，所以false在false上单调递减，
从而false，而false，所以false成立.
则当false时，不等式也成立.
综合①、②得原不等式对任意的false均成立.
例3．设f(n)＝(a＋b)n（n∈N*，n≥2），若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P．
（1）求证：f(7)具有性质P；
（2）若存在n≤2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值．
【答案】（1）详见解析（2）1934．
【解析】
（1）利用等差数列性质列等量关系：false观察可得当n=7,k=1时满足（2）化简false为一个方程：4k2－4nk＋(n2－n－2)＝0，解这个不定方程的正整数解的关键是配方：(2k－n)2＝n＋2，所以n＋2为完全平方数．又n≤2016，所以n的最大值为442－2＝1934，此时k＝989或945．
试题解析：解：（1）f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为
false＝7，false＝21，false＝35，
因为false＋false＝2false，即false，false，false成等差数列，
所以f(7)具有性质P．
（2）设f(n)具有性质P，
则存在k∈N*，1≤k≤n－1，使false成等差数列，
所以false．
整理得，4k2－4nk＋(n2－n－2)＝0，
即(2k－n)2＝n＋2，所以n＋2为完全平方数．
又n≤2016，由于442＜2016＋2＜452，
所以n的最大值为442－2＝1934，此时k＝989或945．
例4．（1）已知false.
求：①false；
②false；
（2）在false的展开式中，求：
①展示式中的第3项；
②展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1）①false；②false；（2）①false；②false或false.
【详解】
解：（1）令false，则false，
令false，则false.
①∴false.
②∵false展开式中，false、false、false、false都大于零，而false、false、false、false都小于零，
∴false，
令false，则false.
所以false.
（2）false的展开式中第false项为false，
①当false时，所以展示式中的第3项为false.
②false或3时，二项式系数false最大，
false时，由（1）知false，
false时，false．
例5．从包括false、false两人的false个人中选出false人排成一排．
（1）若任意选false人，有多少种不同的排法？
（2）若false、false两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？
（3）若false、false两人都在内且false、false不相邻，有多少种不同排法？
（4）若排头和排尾不允许站false，正中间（第三位）不允许站false，有多少种不同的排法？
【答案】（1）false种；（2）false种；（3）false种；（4）false种.
【详解】
（1）从false人中任选false人来排队共有false种不同的排法；
（2）先从false、false两人中任选false人有false种不同的方法，再从剩余的false人中任选false人有false种不同的方法，再将选出的false人进行全排列，
共有false种不同的排法；
（3）因false、false都在内，所以只需从余下false人中选false人有false种不同结果，
false、false不相邻，使用插空法共有false种不同排法；
（4）第一类：所选false人无false、false，有false种不同排法；
第二类：所选false人有false无false，则false只能站中间三个位置的其中一个位置，有false种不同排法；
第三类：所选false人无false有false，则false有false个位置可供选择，有false种不同排法；
第四类：所选false人有false、false，若false排中间时，有false种不同排法，
若false不排中间时，有false种不同排法，共有false种不同排法；
综上，共有种false不同排法．
例6．（1）求(-x+false)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项.
（2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相.
①求3位女同学站在一起的概率；
②求4位男同学互不相邻的概率.
【答案】（1）各项系数之和为：false，常数项为：false ；（2）①false；②false .
【详解】
解：（1）令false得各项系数之和为false，
展开式的通项公式false，
由false得false，
则常数项为false．
（2）①把3位女生当作一个元素，则有false种排法，
则对应的概率false．
②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有false．
则对应概率false．
课后小练
课后小练
1．在二项式false的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求系数最大的项．
2．如图,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点涂上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么有多少种不同的涂色方法?
3．已知false展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求false的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
4．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
男生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
false
5
表二：女生
女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
false
（1）求false,false的值；
（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为false，求随机变量false的分布列及数学期望；
（3）由表中统计数据填写false列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
45
参考公式：false，其中false.
参考数据：
false
0.01
0.05
0.01
false
2.706
3.841
6.635
5．已知二项式false展开式中所有项的二项式系数和为64.
（1）求false的值；
（2）若展开式所有项的系数和为false，其中false为有理数，求false和false的值.
6．蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户通过步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网络挂号、网络购票等行为就会减少相应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树.这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙伴们可以在现实沙漠化地区（阿拉善、通辽、库布齐等）种下一棵实体的树目前通辽地区对部分基地樟子松幼苗的培育技术进行了改进，为了了解改进后的效果，现从改进前后的树苗培育基地各抽取了false株产品作为样本，检测其同样生长周期的高度（单位：false），若高度不低于false才适合移植，否则继续等待生长图1是改进前的样本的频率分布直方图，表2是改进后的样本频率分布表.
图1
表2技术改进后样本的频率分布表
高度
频数
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
（1）根据图1和表2提供的信息，试从移植率的角度对培育技术改进前后的优劣进行比较；
（2）估计培育技术未改进的基地树苗高度的平均数；
（3）在市场中，规定高度在false内的为三等苗，false内的为二等苗，false内的为一等苗.现从表2高度不低于false的树苗样本中采用分层抽样的方法抽取false株，再从这false株幼苗中随机抽取false株，求这false株中一、二、三等苗都有的概率.
参考答案
1．（1），，（2）和
【详解】
（1）∵
由题设可知
解得n=8或n=1（舍去）
当n=8时，通项
据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8
∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，
（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1
∵， 由≥1得r≤3
又∵，由≤1得：r≥2
∴ r=2或r=3所求项为和
2．420
【解析】
先给点S涂色,有5种不同的方法,再给点A涂色,有4种不同的方法,接着给点B涂色,有3种不同的方法,当点C与点A同色时,给点D涂色有3种不同的方法；当点C与点A不同色时,给点C涂色有2种不同的方法,给点D涂色也有2种不同的方法,依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知不同的涂色方法共有5×4×3×(3+2×2)=420(种).
3．（1）false；（2）false；（3）false.
【详解】
解：由题意，false展开式前三项的二项式系数和为22．
false1false二项式定理展开：前三项二项式系数为：false，
解得：false或false舍去false．
即n的值为6．
false2false由通项公式false，
令false，
可得：false．
false展开式中的常数项为false；
false是偶数，展开式共有7项false则第四项最大
false展开式中二项式系数最大的项为false．
4．（1）false；（2）详见解析；（3）没有.
【详解】
（1）设从高一年级男生中抽取false人，则false
解得false，则从女生中抽取20人
所以false，false.
（2） 表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则false的所有可能的取值为0,1,2.
false，false，
false.则随机变量false的概率分布列为：
false
0
1
2
false
false
false
false
所以false数学期望为false.
（3）false列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
false，
因为false，false
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
5．（1）false（2）false，false
【详解】
解：（1）由题意，false，false
（2）方法一：展开式的通项为false
则false，
false
方法二：令false，则false，
因为falsefalse
故，false，false.
6．（1）改进后的培育技术更好，详见解析；（2）falsefalse；（3）false.
【详解】
解析：（1）根据题图和题表可知，培育技术改进前树苗的移植率为false，培育技术改进后树苗的移植率为false，所以培育技术改进后树苗的移植率更高，因此改进后的培育技术更好.
（2）falsefalse.
（3）由题意知，false株幼苗中一、二、三等苗分别有false、false、false株,
false.