正方形
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文档简介
(共22张PPT)
比较平行四边形与矩形和菱形的性质
平行四边形
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分
边:
角:
对角线:
矩形
角:
对角线:
轴对称图形
四个角是直角
对角线相等
菱形的性质
菱
形
的
性
质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直
分别平分两组对角
轴对称图形
具有平行四边形一切性质
探索:什么样的图形是正方形 正方形 是菱形吗 为什么 正方形是矩形吗 为什么 正方形具有怎样的性质
对称性
特征
正方形是中心对称图形
它也是轴对称图形
（1）它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
（2）具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
（3）具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
正方形的概念：
的平行四边形是正方形。
的菱形是正方形
的矩形是正方形
定义法
菱形法
矩形法
有一组邻边相等且有一个角
是直角的
有一个角是直角
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
邻边相等且有一个角是直角
知识梳理
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
例题解析
学一学
例1. 如图12.2.8，在正方ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
解：
因为四边形ABCD是正方形
得
根据正方形的四个内角都为直角
又因为正方形的对角线平分内角
所以
根据正方形的两条对角线互相垂直
所以
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG
A
B
C
D
E
F
G
解：
因为四边形ABCD是正方形
根据正方形的四边相等，得
AD=CD
又知四边形DEFG也是正方形
所以 DE=DG
又因为正方形的每个内角为
所以
所以
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 得到。
所以AE=CG
范例精讲：
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形
分成四个全等的等腰直角三角形。
求证: △AOB 、△BOC 、 △COD、
△AOD是全等的等腰直角三角形
已知：如图,正方形ABCD的对角线AC、BD
相交 于点O.
思考:要从几个方面去证明这个问题
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC=BD，AC⊥BD
AO=BO=CO=DO
∴△AOB、 △BOC 、△COD、
△AOD 是等腰直角三角形，并且
△AOB ≌△BOC ≌△COD ≌△AOD
练习1．
已知: 正方形ABCD对角线 AC、
BD相交于点O且AB=a cm
求：AC的长及正方形的面积S。
（2）△ABC是什么三角形？
（1）正方形的面积怎么求？
分析：
若正方形的边长a cm，则该正方形的对角线长为 cm
结论：
边长乘以边长
直角三角形
（3）知道直角三角形两直角边的长，
要求斜边的长该么办
应用勾股定理
练习2．
已知：在正方形ABCD中，
对角线AC、BD相交
于点O，且AC＝6cm，
求： 正方形的面积S。
分析：
解法一：先求△AOB的面积，正方形的面积是△AOB
面积的几倍？
解法二：正方形的边长和对角线的长有什么关系？
解法三： 正方形是特殊的菱形，菱形的面积怎么求？
请大家自己完成练习！
例2
已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长
线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,
只须证△MDF是等腰三角形,
即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
△CMD≌△ADF
试一试看能不能完成证明
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=AD ∠CDA=∠ADF=90°
∵∠CMD与∠AME是对顶角
∴∠CMD=∠AME
∵CE⊥AF
∴∠AEM=90°
∴∠1=∠2
在△CMD和△AFD中
∠1=∠2
CD=AD
∠CDA=∠ADF=90°
∴ △CMD≌△AFD （ASA）
∴DM=DF
∴∠MFD=45°
请你谈谈本节课有哪些收获
感悟与收获
归纳
1 、正方形是中心对称图形，轴对称图形。
2、正方形的四条边都相等。
3、正方形的四个角都相等。
4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，
且每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
比较平行四边形与矩形和菱形的性质
平行四边形
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分
边:
角:
对角线:
矩形
角:
对角线:
轴对称图形
四个角是直角
对角线相等
菱形的性质
菱
形
的
性
质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直
分别平分两组对角
轴对称图形
具有平行四边形一切性质
探索:什么样的图形是正方形 正方形 是菱形吗 为什么 正方形是矩形吗 为什么 正方形具有怎样的性质
对称性
特征
正方形是中心对称图形
它也是轴对称图形
（1）它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
（2）具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
（3）具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
正方形的概念：
的平行四边形是正方形。
的菱形是正方形
的矩形是正方形
定义法
菱形法
矩形法
有一组邻边相等且有一个角
是直角的
有一个角是直角
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
邻边相等且有一个角是直角
知识梳理
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
例题解析
学一学
例1. 如图12.2.8，在正方ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
解：
因为四边形ABCD是正方形
得
根据正方形的四个内角都为直角
又因为正方形的对角线平分内角
所以
根据正方形的两条对角线互相垂直
所以
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG
A
B
C
D
E
F
G
解：
因为四边形ABCD是正方形
根据正方形的四边相等，得
AD=CD
又知四边形DEFG也是正方形
所以 DE=DG
又因为正方形的每个内角为
所以
所以
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 得到。
所以AE=CG
范例精讲：
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形
分成四个全等的等腰直角三角形。
求证: △AOB 、△BOC 、 △COD、
△AOD是全等的等腰直角三角形
已知：如图,正方形ABCD的对角线AC、BD
相交 于点O.
思考:要从几个方面去证明这个问题
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC=BD，AC⊥BD
AO=BO=CO=DO
∴△AOB、 △BOC 、△COD、
△AOD 是等腰直角三角形，并且
△AOB ≌△BOC ≌△COD ≌△AOD
练习1．
已知: 正方形ABCD对角线 AC、
BD相交于点O且AB=a cm
求：AC的长及正方形的面积S。
（2）△ABC是什么三角形？
（1）正方形的面积怎么求？
分析：
若正方形的边长a cm，则该正方形的对角线长为 cm
结论：
边长乘以边长
直角三角形
（3）知道直角三角形两直角边的长，
要求斜边的长该么办
应用勾股定理
练习2．
已知：在正方形ABCD中，
对角线AC、BD相交
于点O，且AC＝6cm，
求： 正方形的面积S。
分析：
解法一：先求△AOB的面积，正方形的面积是△AOB
面积的几倍？
解法二：正方形的边长和对角线的长有什么关系？
解法三： 正方形是特殊的菱形，菱形的面积怎么求？
请大家自己完成练习！
例2
已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长
线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,
只须证△MDF是等腰三角形,
即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
△CMD≌△ADF
试一试看能不能完成证明
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=AD ∠CDA=∠ADF=90°
∵∠CMD与∠AME是对顶角
∴∠CMD=∠AME
∵CE⊥AF
∴∠AEM=90°
∴∠1=∠2
在△CMD和△AFD中
∠1=∠2
CD=AD
∠CDA=∠ADF=90°
∴ △CMD≌△AFD （ASA）
∴DM=DF
∴∠MFD=45°
请你谈谈本节课有哪些收获
感悟与收获
归纳
1 、正方形是中心对称图形，轴对称图形。
2、正方形的四条边都相等。
3、正方形的四个角都相等。
4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，
且每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D