1.5.1全称量词与存在量词（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含解析）

全称量词与存在量词
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列命题中，存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②能被6整除的数也能被3整除；③任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中，是真命题的是(　　)
A．?x∈R，x2＋2>0
B．?x∈R，x2＋x＝－2
C．?x∈R，x2－x＋>0
D．?x∈R，x2＋2x＋2<0
3．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是(　　)
A．?x∈Q，有x∈P B．?x∈P，有x?Q
C．?x?Q，有x∈P D．?x?Q，有x?P
4．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“?a∈M，a?A”为真命题的集合M是(　　)
A．{a|a≥－3} B．{a|a>－3}
C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3}
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用量词符号“?，?”表示下列命题：
(1)有的实数不能写成小数形式：________；
(2)凸n边形的外角和等于2π：________．
6．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为________．
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
……
三、解答题
7．(10分)用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．下列命题是存在量词命题的是(　　)
A．函数y＝x2的图像的顶点为(0，0)
B．正方形都是平行四边形
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于或等于3
2．(多选题)下列命题是真命题的为(　　)
A．?x∈R，－x2－1＜0
B．?n∈Z，?m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对为________．
4．命题“?x∈R，x2＋2x＋5＝0”是________(填“全称量词”或“存在量词”)命题，它是________命题(填“真”或“假”).
三、解答题
5．(10分)若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列命题中，存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②能被6整除的数也能被3整除；③任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．0 B．1 C．2 D．3
分析选B.命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题③是全称量词命题．故有1个存在量词命题．
2．下列命题中，是真命题的是(　　)
A．?x∈R，x2＋2>0
B．?x∈R，x2＋x＝－2
C．?x∈R，x2－x＋>0
D．?x∈R，x2＋2x＋2<0
分析选A.对于A选项：?x∈R，x2＋2>0恒成立，A正确；
对于B选项：因为x2＋x＋2＝＋>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋x＝－2，B错误；
对于C选项：因为x2－x＋＝，存在x＝，使x2－x＋＝0，C错误；对于D选项：?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋2x＋2<0，D错误．
3．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是(　　)
A．?x∈Q，有x∈P B．?x∈P，有x?Q
C．?x?Q，有x∈P D．?x?Q，有x?P
分析选D.因为P∩Q＝Q且P≠Q，
所以QP，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有元素集合Q中是没有的，所以A，B，C正确，D错误．
4．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“?a∈M，a?A”为真命题的集合M是(　　)
A．{a|a≥－3} B．{a|a>－3}
C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3}
分析选D.因为x＋3≥0，
所以A＝{x|x≥－3}．
又因为对?a∈M，都有a?A，所以a<－3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用量词符号“?，?”表示下列命题：
(1)有的实数不能写成小数形式：________；
(2)凸n边形的外角和等于2π：________．
分析(1)有的实数不能写成小数形式：
?x∈R，x不能写成小数形式；
(2)凸n边形的外角和等于2π：
?n∈N，且n≥3，则凸n边形的外角和等于2π.
答案：(1)?x∈R，x不能写成小数形式
(2)?n∈N，且n≥3，则凸n边形的外角和等于2π
6．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为________．
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
……
分析根据已知等式可得，
对于任意n∈N*且n≥2，总有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，
所以得到如下全称量词命题：?n∈N*且n≥2，
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
答案：?n∈N*且n≥2，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
三、解答题
7．(10分)用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
分析(1)?a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题．
(2)?x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题．
(3)?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，是假命题．
(4)?x∈R，使x2＋x＋4≤0.x2＋x＋4＝
2＋＞0恒成立，所以为假命题．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．下列命题是存在量词命题的是(　　)
A．函数y＝x2的图像的顶点为(0，0)
B．正方形都是平行四边形
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于或等于3
分析选D.含有存在量词的命题叫作存在量词命题，故D“存在实数大于或等于3”是存在量词命题．
2．(多选题)下列命题是真命题的为(　　)
A．?x∈R，－x2－1＜0
B．?n∈Z，?m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
分析选ABC.对于A，?x∈R，－x2≤0，
所以－x2－1＜0，此命题是真命题；
对于B，当m＝0时，nm＝m恒成立，此命题是真命题；对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，此命题是真命题．对于D，
因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
所以≤<.故该命题是假命题．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对为________．
分析当a＝，b＝时，存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题，故所求有序数对可以为.
答案：(答案不唯一)
4．命题“?x∈R，x2＋2x＋5＝0”是________(填“全称量词”或“存在量词”)命题，它是________命题(填“真”或“假”).
分析该命题含有存在量词?，是存在量词命题，为假命题．x2＋2x＋5＝0，所以Δ＝22－4×1×5＝－16＜0，方程无解，命题为假命题．
答案：存在量词　假
三、解答题
5．(10分)若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．
分析若x>0，由|x|>ax得a<＝1，
若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，
若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，
则实数a的取值范围是－1