第6章 计数原理（专项训练）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第6章 计数原理（专项训练）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 655.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-08 20:03:01 | ||
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文档简介
2020—2021学年高二数学下学期
计数原理
专项训练
一、单选题（共12题；共60分）
1．已知集合false，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
2．将false方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）
A．33 B．56 C．64 D．78
3．在false的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
4．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面false的距离相等且为第四个点到平面false的false倍，这样的平面false的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．48
5．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为
A．false
B．false
C．false
D．false
6．如图为我国数学家赵爽false约3世纪初false在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则false区域涂色不相同的概率为false false
A．false B．false C．false D．false
7．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形false（边长为2个单位）的顶点false处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为false，则棋子就按逆时针方向行走false个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点false处的所有不同走法共有
A．22种 B．24种 C．25种 D．27种
8．若false的展开式中false的系数为false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知false，当false时，false，则当false时，false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有false女、false男false名教师报名成为志愿者，现在有false个不同的社区需要进行普查工作，从这false名志愿者中选派false名，每人去false个小区，每个小区去false名教师，其中至少要有false名女教师，则不同的选派方案有多少种（ ）
A．false种 B．false种 C．false种 D．false种
11．在false的展开式中，只有第false项的二项式系数最大，则false（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（ ）
A．144 B．216 C．288 D．432
二、填空题（共4题；共20分）
13．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有__________种不同的排法.
14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．
15．2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种．
16．某学校要安排false位数学老师、false位英语老师和false位化学老师分别担任高三年级中false个不同班级的班主任，每个班级安排false个班主任．由于某种原因，数学老师不担任false班的班主任，英语老师不担任false班的班主任，化学老师不担false班和false班的班主任， 则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．
三、解答题（共4题；共20分）
17．设false，其中false.
（1）证明：false，其中false；
（2）当false时，化简：false；
（3）当false时，记false，false，试比较false与false的大小.
18．false的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.
（1）求false的值；
（2）若false，展开式有多少有理项？写出所有有理项.
19．已知false，
（1）求false的值;
（2）若false且false，求false的值;
（3）求证：false.
20．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)
（1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？
（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？
（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？
参考答案
1．A
【详解】
集合false知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：false的集合为false，
而false有 false种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
false的集合为false，而B有false种，
集合对(A,B)的个数为false；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
false的集合为false，而B有false种，
集合对(A,B)的个数为false；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
false的集合为false，
而B有false种，集合对(A,B)的个数为false；
∴一共有false个，
故选：A
2．B
【详解】
记分隔边的条数为false，首先将方格表按图分成三个区域，如图：
分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则false，
其次证明：false，
将方格表的行从上至下依次记为false，列从左至右依次记为false，
行false中方格出现的颜色为false，列false中方格出现的颜色为false，
三种颜色分别记为false，对于一种颜色false，设false为含色方格的行数与列数之和，
定义当false行含false色方格时，false，否则false，
类似的定义false，
所以false
false，
由于染false色的格的行有false个，列有false个，则false色的方格一定在这false行和false列的交叉方格中，从而false，
所以falsefalse所以①，
由于在行false中有false种颜色的方格，于是至少有false条分隔边，
类似地，在列false中至少有false条分隔边，
则false
false②
false③，
下面分两种情况讨论：
1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为false色，则方格表的33列中均含有false色的方格，又false色的方格有363个，
故至少有false行含有false色的方格，于是false④，
由①③④得false；
2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意false均有false，false，
从而由②可得false；
综上所述，分隔边条数的最小值为56.
故选：B
3．B
【详解】
在false的展开式中，通项公式为Tr+1false?false.
对于false，通项公式为Tk+1false?xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.
令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，
故k＝0，r＝2，
故x2项的系数为false?false45，
故选：B.
4．C
【详解】
第一种情况，A，B，C，D点在平面false的同侧.
当平面false∥平面BCD时，A与平面false的距离是false与平面BCD的距离的2倍.
这种情况下有4个平面.
第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面false的一侧，第4个点在平面false的另一侧，这时又有两种情形：
一种情形是平面false与平面BCD平行，且A与平面false的距离是平面false与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.
另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面false）的距离是D到平面EFK距离的一半.
∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，
∴这种情形下的平面false有3×4=12（个）.
第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面false两侧各种有两点.
容易看出：点A到平面EFMN（平面false）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．
就A，C与B，D分别位于平面false两侧的情形来看，就有A离平面false远，B离平面false远，C离平面false远，D离平面false远这四种情况.
又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，
∴平面false有4×3=12（个）.
综上分析，平面false有4+4+12+12=32（个）.
故选C.
5．B
【详解】
按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下
false
false
2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，
则上列情况能表示的三位数字个数分别为：
2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，
根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：
false.
故选B.
6．D
【详解】
提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设5个区域依次为false,分4步进行分析：
false，对于区域false，有5种颜色可选；
false，对于区域false与false区域相邻，有4种颜色可选；
false，对于区域false，与false区域相邻，有3种颜色可选；
false，对于区域false，若false与false颜色相同，false区域有3种颜色可选，
若false与false颜色不相同，false区域有2种颜色可选，false区域有2种颜色可选，
则区域false有false种选择，
则不同的涂色方案有false种，
其中，false区域涂色不相同的情况有：
false，对于区域false，有5种颜色可选；
false，对于区域false与false区域相邻，有4种颜色可选；
false，对于区域false与false区域相邻，有2种颜色可选；
false，对于区域false，若false与false颜色相同，false区域有2种颜色可选，
若false与false颜色不相同，false区域有2种颜色可选，false区域有1种颜色可选，
则区域false有false种选择，
不同的涂色方案有false种，
false区域涂色不相同的概率为false ,故选D．
7．D
【详解】
分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点false处的表示三次骰子的点数之和是false，列举出在点数中三个数字能够使得和为false的false，共有false种组合，利用分类计数原理能得到结果.
详解：由题意知正方形false（边长为false个单位）的周长是false，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点false处的表示三次骰子的点数之和是false，
列举出在点数中三个数字能够使得和为false的有false，
共有false种组合，
前false种组合false，每种情况可以排列出false种结果，
共有false种结果；
false各有false种结果，共有false种结果，
根据分类计数原理知共有false种结果，故选D.
8．B
【详解】
false，
false的展开式通项为false，
false的展开式通项为false，
所以，false的展开式通项为false，
由false可得false，由题意可得false，解得false.
故选：B.
9．B
【详解】
false，
令false，则false；
令false，false，则false，
因为false，
所以false，false，false，
当false时，
false
false，
则false，false，false，false，
故选：B.
10．C
【详解】
只有一名女教师：false;
选派两名女教师：false；
所以共有72+24=96种方法.
故选：C
11．C
【详解】
在false的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项false项的二项式系数最大， 即false，解得：false
故选：C．
12．C
【详解】
先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别记为①②③④⑤，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在①号位置，也不在⑤号位置．
（1）若奇数排在①③号位置，则排法总数为false；
（2）若奇数排在①④号位置，则排法总数为false；
（3）若奇数排在①⑤号位置，则排法总数为false；
（4）若奇数排在②④号位置，则排法总数为false；
（5）若奇数排在②⑤号位置，则排法总数为false；
（6）若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为false；
根据分类加法计数原理可知，排法总数为false．
故选：C．
13．150
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①先将5名学生分成3组，
若分成1、1、3的三组，有false种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有false种分组方法，
则有false种分组方法；
②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有false种情况，
则有false种不同的安排方式.
故答案为：150.
14．66
【详解】
根据题意，分3种情况讨论：
①当A、C、E种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法；
②当A、C、E种二种植物，此时共有C32×A32×2×1×1=36种方法；
③当A、C、E种三种植物，此时共有A33×1×1×1=6种方法；
则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；
故答案为66．
15．24
【解析】
分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题得以解决.
详解：根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为false种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为false种，故有false种；
第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为false种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为false种，这时共有false种；
根据分类计数原理得，共有false种不同的分组方式.
16．32
【解析】
若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，共有false种安排方法，故答案为false .
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】
（1）false，其中.
（2）当false时，由（1）结论可得false
所以原式false.
（3）【解法一】当false时，false，
所以false，所以false，令false，得false，
当false时，false；当false时，false，即false.
下面先用数学归纳法证明：当false时，false，（☆）
①当false时，false，（☆）式成立；
②假设false时，（☆）式成立，即false，
则false时，（☆）式右边false
false
所以，当false，（☆）式也成立.
综合①②知，当false时，false.
所以，当false时，false；当false时，false.
【解法二】
当false时，false，所以false，所以false，令false，得false，要比较false与false的大小，即可比较false与false的大小，设false，则false，
由false，得false，所以false在false上递增，
由false，得false，所以false在false上递减，
所以当false时，false，false，
当false时，false，即false，即false，即false，
综上所述，当false时，false；当false时，false.
18．（1）2或14；（2）false，false，false.
【详解】
因为奇数项的二项式系数之和为128，
所以false，解得false，
所以二项式为false
第一项：false，系数为1，
第二项：false，系数为false，
第三项：false，系数为false，
由前三项系数成等差数列得：false ，
解得false或false.
（2）若false，由（1）得二项式为false，通项为：
false，其中false
所以false，
令false即false，此时false；
令false即false，不符题意；
令false即false，不符题意；
令false即false，此时false；
令false即false，不符题意；
令false即false，不符题意；
令false即false， 此时false
综上，有3项有理项，分别是：
false，false，false.
19．（1）false（2）false（3）见解析
【解析】
分析：（1）令false，根据false可求false的值；
（2）由false，解得false可求false的值;
（3）利用二项展开式及放缩法即可证明.：
详解：
（1）令false，则false=0，又false
所以false
（2）由false，解得false，所以false
（3）false
false
20．(1) 48 (2) 240 (3) 36
【详解】
(1 )先排2名教授,有false(种)不同的排法,
再排4名实习学生,有false(种)不同的排法,
故由分步乘法计数原理可得，共有false (种)不同的排法
(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有false (种)不同的排法
又2名教授,有false(种)不同的排法,
所以共有false (种)不同的排法
(3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有false种分组方法.
再将三组分别分配到三所中学任教故共有false (种)不同的排法.
计数原理
专项训练
一、单选题（共12题；共60分）
1．已知集合false，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
2．将false方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）
A．33 B．56 C．64 D．78
3．在false的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
4．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面false的距离相等且为第四个点到平面false的false倍，这样的平面false的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．48
5．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为
A．false
B．false
C．false
D．false
6．如图为我国数学家赵爽false约3世纪初false在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则false区域涂色不相同的概率为false false
A．false B．false C．false D．false
7．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形false（边长为2个单位）的顶点false处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为false，则棋子就按逆时针方向行走false个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点false处的所有不同走法共有
A．22种 B．24种 C．25种 D．27种
8．若false的展开式中false的系数为false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知false，当false时，false，则当false时，false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有false女、false男false名教师报名成为志愿者，现在有false个不同的社区需要进行普查工作，从这false名志愿者中选派false名，每人去false个小区，每个小区去false名教师，其中至少要有false名女教师，则不同的选派方案有多少种（ ）
A．false种 B．false种 C．false种 D．false种
11．在false的展开式中，只有第false项的二项式系数最大，则false（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（ ）
A．144 B．216 C．288 D．432
二、填空题（共4题；共20分）
13．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有__________种不同的排法.
14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．
15．2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种．
16．某学校要安排false位数学老师、false位英语老师和false位化学老师分别担任高三年级中false个不同班级的班主任，每个班级安排false个班主任．由于某种原因，数学老师不担任false班的班主任，英语老师不担任false班的班主任，化学老师不担false班和false班的班主任， 则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．
三、解答题（共4题；共20分）
17．设false，其中false.
（1）证明：false，其中false；
（2）当false时，化简：false；
（3）当false时，记false，false，试比较false与false的大小.
18．false的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.
（1）求false的值；
（2）若false，展开式有多少有理项？写出所有有理项.
19．已知false，
（1）求false的值;
（2）若false且false，求false的值;
（3）求证：false.
20．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)
（1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？
（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？
（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？
参考答案
1．A
【详解】
集合false知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：false的集合为false，
而false有 false种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
false的集合为false，而B有false种，
集合对(A,B)的个数为false；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
false的集合为false，而B有false种，
集合对(A,B)的个数为false；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
false的集合为false，
而B有false种，集合对(A,B)的个数为false；
∴一共有false个，
故选：A
2．B
【详解】
记分隔边的条数为false，首先将方格表按图分成三个区域，如图：
分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则false，
其次证明：false，
将方格表的行从上至下依次记为false，列从左至右依次记为false，
行false中方格出现的颜色为false，列false中方格出现的颜色为false，
三种颜色分别记为false，对于一种颜色false，设false为含色方格的行数与列数之和，
定义当false行含false色方格时，false，否则false，
类似的定义false，
所以false
false，
由于染false色的格的行有false个，列有false个，则false色的方格一定在这false行和false列的交叉方格中，从而false，
所以falsefalse所以①，
由于在行false中有false种颜色的方格，于是至少有false条分隔边，
类似地，在列false中至少有false条分隔边，
则false
false②
false③，
下面分两种情况讨论：
1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为false色，则方格表的33列中均含有false色的方格，又false色的方格有363个，
故至少有false行含有false色的方格，于是false④，
由①③④得false；
2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意false均有false，false，
从而由②可得false；
综上所述，分隔边条数的最小值为56.
故选：B
3．B
【详解】
在false的展开式中，通项公式为Tr+1false?false.
对于false，通项公式为Tk+1false?xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.
令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，
故k＝0，r＝2，
故x2项的系数为false?false45，
故选：B.
4．C
【详解】
第一种情况，A，B，C，D点在平面false的同侧.
当平面false∥平面BCD时，A与平面false的距离是false与平面BCD的距离的2倍.
这种情况下有4个平面.
第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面false的一侧，第4个点在平面false的另一侧，这时又有两种情形：
一种情形是平面false与平面BCD平行，且A与平面false的距离是平面false与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.
另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面false）的距离是D到平面EFK距离的一半.
∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，
∴这种情形下的平面false有3×4=12（个）.
第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面false两侧各种有两点.
容易看出：点A到平面EFMN（平面false）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．
就A，C与B，D分别位于平面false两侧的情形来看，就有A离平面false远，B离平面false远，C离平面false远，D离平面false远这四种情况.
又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，
∴平面false有4×3=12（个）.
综上分析，平面false有4+4+12+12=32（个）.
故选C.
5．B
【详解】
按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下
false
false
2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，
则上列情况能表示的三位数字个数分别为：
2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，
根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：
false.
故选B.
6．D
【详解】
提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设5个区域依次为false,分4步进行分析：
false，对于区域false，有5种颜色可选；
false，对于区域false与false区域相邻，有4种颜色可选；
false，对于区域false，与false区域相邻，有3种颜色可选；
false，对于区域false，若false与false颜色相同，false区域有3种颜色可选，
若false与false颜色不相同，false区域有2种颜色可选，false区域有2种颜色可选，
则区域false有false种选择，
则不同的涂色方案有false种，
其中，false区域涂色不相同的情况有：
false，对于区域false，有5种颜色可选；
false，对于区域false与false区域相邻，有4种颜色可选；
false，对于区域false与false区域相邻，有2种颜色可选；
false，对于区域false，若false与false颜色相同，false区域有2种颜色可选，
若false与false颜色不相同，false区域有2种颜色可选，false区域有1种颜色可选，
则区域false有false种选择，
不同的涂色方案有false种，
false区域涂色不相同的概率为false ,故选D．
7．D
【详解】
分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点false处的表示三次骰子的点数之和是false，列举出在点数中三个数字能够使得和为false的false，共有false种组合，利用分类计数原理能得到结果.
详解：由题意知正方形false（边长为false个单位）的周长是false，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点false处的表示三次骰子的点数之和是false，
列举出在点数中三个数字能够使得和为false的有false，
共有false种组合，
前false种组合false，每种情况可以排列出false种结果，
共有false种结果；
false各有false种结果，共有false种结果，
根据分类计数原理知共有false种结果，故选D.
8．B
【详解】
false，
false的展开式通项为false，
false的展开式通项为false，
所以，false的展开式通项为false，
由false可得false，由题意可得false，解得false.
故选：B.
9．B
【详解】
false，
令false，则false；
令false，false，则false，
因为false，
所以false，false，false，
当false时，
false
false，
则false，false，false，false，
故选：B.
10．C
【详解】
只有一名女教师：false;
选派两名女教师：false；
所以共有72+24=96种方法.
故选：C
11．C
【详解】
在false的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项false项的二项式系数最大， 即false，解得：false
故选：C．
12．C
【详解】
先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别记为①②③④⑤，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在①号位置，也不在⑤号位置．
（1）若奇数排在①③号位置，则排法总数为false；
（2）若奇数排在①④号位置，则排法总数为false；
（3）若奇数排在①⑤号位置，则排法总数为false；
（4）若奇数排在②④号位置，则排法总数为false；
（5）若奇数排在②⑤号位置，则排法总数为false；
（6）若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为false；
根据分类加法计数原理可知，排法总数为false．
故选：C．
13．150
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①先将5名学生分成3组，
若分成1、1、3的三组，有false种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有false种分组方法，
则有false种分组方法；
②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有false种情况，
则有false种不同的安排方式.
故答案为：150.
14．66
【详解】
根据题意，分3种情况讨论：
①当A、C、E种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法；
②当A、C、E种二种植物，此时共有C32×A32×2×1×1=36种方法；
③当A、C、E种三种植物，此时共有A33×1×1×1=6种方法；
则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；
故答案为66．
15．24
【解析】
分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题得以解决.
详解：根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为false种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为false种，故有false种；
第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为false种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为false种，这时共有false种；
根据分类计数原理得，共有false种不同的分组方式.
16．32
【解析】
若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，若数学老师分到false两班，共有false种分法，共有false种安排方法，故答案为false .
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】
（1）false，其中.
（2）当false时，由（1）结论可得false
所以原式false.
（3）【解法一】当false时，false，
所以false，所以false，令false，得false，
当false时，false；当false时，false，即false.
下面先用数学归纳法证明：当false时，false，（☆）
①当false时，false，（☆）式成立；
②假设false时，（☆）式成立，即false，
则false时，（☆）式右边false
false
所以，当false，（☆）式也成立.
综合①②知，当false时，false.
所以，当false时，false；当false时，false.
【解法二】
当false时，false，所以false，所以false，令false，得false，要比较false与false的大小，即可比较false与false的大小，设false，则false，
由false，得false，所以false在false上递增，
由false，得false，所以false在false上递减，
所以当false时，false，false，
当false时，false，即false，即false，即false，
综上所述，当false时，false；当false时，false.
18．（1）2或14；（2）false，false，false.
【详解】
因为奇数项的二项式系数之和为128，
所以false，解得false，
所以二项式为false
第一项：false，系数为1，
第二项：false，系数为false，
第三项：false，系数为false，
由前三项系数成等差数列得：false ，
解得false或false.
（2）若false，由（1）得二项式为false，通项为：
false，其中false
所以false，
令false即false，此时false；
令false即false，不符题意；
令false即false，不符题意；
令false即false，此时false；
令false即false，不符题意；
令false即false，不符题意；
令false即false， 此时false
综上，有3项有理项，分别是：
false，false，false.
19．（1）false（2）false（3）见解析
【解析】
分析：（1）令false，根据false可求false的值；
（2）由false，解得false可求false的值;
（3）利用二项展开式及放缩法即可证明.：
详解：
（1）令false，则false=0，又false
所以false
（2）由false，解得false，所以false
（3）false
false
20．(1) 48 (2) 240 (3) 36
【详解】
(1 )先排2名教授,有false(种)不同的排法,
再排4名实习学生,有false(种)不同的排法,
故由分步乘法计数原理可得，共有false (种)不同的排法
(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有false (种)不同的排法
又2名教授,有false(种)不同的排法,
所以共有false (种)不同的排法
(3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有false种分组方法.
再将三组分别分配到三所中学任教故共有false (种)不同的排法.