7.3 离散型随机变量的数字特征 （专项训练）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（Word版含解析）

2020—2021学年高二数学下学期
7.3离散型随机变量的数字特征
专项训练
一、单选题（共12题；共60分）
1．随机变量false的分布列是（ ）
false
2
4
6
false
false
false
false
A．false B．false
C．false D．false
2．广雅高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是false，记比赛的最终局数为随机变量false，则（）
A．false B．false C．false D．false
3．已知集合false，false，从集合false中任取3个不同的元素，其中最小的元素用false表示，从集合false中任取3个不同的元素，其中最大的元素用false表示，记false，则随机变量false的期望为（ ）
A．false B．false C．3 D．4
4．已知正整数false，false，随机变量false的分布列是
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
则当false在false内增大时，（ ）
A．false B．false
C．false D．E（X）与false没有确定的大小关系
5．设false、false、false，已知随机变量false的分布列为：
false
false
false
false
false
false
false
false
且false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知某口袋中有2个白球和2个黑球，若从中随机取出1个球，再放回1个不同颜色的球，此时袋中的白球个数为false；若从中随机取出2个球，再放回2个不同颜色的球（若取出的是1个黑球1个白球，则放回1个白球1个黑球），此时袋中的白球个数为false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
7．已知随机变量X，Y的分布列如下：
X
0
1
2
P
false
a
b
Y
false
false
P
false
m
则false的最小值为（ ）
A．1 B．false C．2 D．false
8．已知随机变量false的可能取值分别为-1，1，且false，false，其中false，下列关于false，false的说法正确的是（ ）
A．false，false均随x的增大而减小
B．false随x的增大而减小，false随x的增大而增大
C．false为定值，false随x的增大而减小
D．false随x的增大而减小，false为定值
9．已知随机变量false的分布列如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
则false最大值（ ）
A．false B．false C．false D．不是定值
10．已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个篮球，从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为false，从乙盒中取1个球，记红球的个数为false，从丙盒中取1个球，记红球的个数为false，则下列说法正确的是
A．false
B．false
C．false
D．false
11．已知随机变量false满足false， false， false，若false，则
A．false随着false的增大而增大， false随着false的增大而增大
B．false随着false的增大而减小， false随着false的增大而增大
C．false随着false的增大而减小， false随着false的增大而减小
D．false随着false的增大而增大， false随着false的增大而减小
12．下列关于正态分布false的命题：
①正态曲线关于false轴对称；
②当false一定时，false越大，正态曲线越“矮胖”，false越小，正态曲线越“瘦高”；
③设随机变量false，则false的值等于2；
④当false一定时，正态曲线的位置由false确定，随着false的变化曲线沿false轴平移.
其中正确的是
A．①② B．③④ C．②④ D．①④
二、填空题（共4题；共20分）
13．连续投掷一枚均匀硬币，正面出现false次或者背面只要出现一次，就算比赛结束，则比赛结束时出现正面的次数的数学期望是_____________.
14．已知随机变量false的分布列如表所示：false
false
false
false
false
false
false
false
false
则false的最大值是___________.
15．已知随机变量false的概率分布为false，则false______.
16．以下false个命题中，所有正确命题的序号是______.
①已知复数false，则false；
②若false，则false
③一支运动队有男运动员false人，女运动员false人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为false的样本，则样本中男运动员有false人；
④若离散型随机变量false的方差为false，则false.
三、解答题（共4题；共20分）
17．工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲?乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸false(单位：false)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸false满足：false为一级品，false为二级品，false为三级品
（1）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品中随机抽取2件产品，记false为这2件产品中一级品的个数，求false的分布列和数学期望；
（2）为增加产量，工厂需增购设备，已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一?二?三级品的概率分别是false，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备立请说明理由．
18．国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有false等等．false表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．false表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在false四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行false，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行false，胜者为冠军．已知A与false比赛，A的胜率分别为false；B与false比赛，B的胜率分别false；C与D比赛，C的胜率为false．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
19．甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的false，false，false三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为false，false，false且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到false场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了false场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了false场后结束，记甲获胜的场数为false，求false的分布列与数学期望．
20．“博弈”原指下棋，出自我国《论语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人?团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲?乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元.
（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望.
（2）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲?乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲?乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平.
参考答案
1．A
【详解】
false，false
false
false
falsefalse故选：A
2．C
【详解】
false的可能取值为2，3，
解法一：false，
false，
令false，因为false，所以false
则false；false
所以false，
false
false
false，
因为false，所以false，
false
法二：false，
false，
false，
因为false以false为对称轴，开口向下，
所以false在false时，false单调递增，
所以false，排除A，B．
法1：false
false
false
false
令false，false
法2：false
false
false
false
false，false
所以false在false上单调递减，又false，
所以当false时，false，
所以false时false单调递增，
所以false．
故选：C
3．A
【详解】
根据题意，从集合false中任取3个不同的元素，则有false，其中最小的元素false取值分别为false，
从集合false中任取3个不同的元素，其中最大的元素false的取值分别为false，
因为false，可得随机变量false的取值为false，
则false，
false，
所以随机变量false的期望为：false.
故选：A.
4．A
【详解】
由条件可知false，
false，
false，false，false，即false.
故选：A
5．C
【详解】
由分布列得false，
则false，
当且仅当false，false时等号成立，所以false的最小值为false，
故选：C.
6．B
【详解】
由题意得false的可能取值为1，3，且false，
则false，false，
false的可能取值为0，2，4，
且false，false，
则falsefalse，false，
所以false，
故选：B
7．D
【详解】
解：由分布列的性质知，false，false，所以false，false，所以
false，false，
所以false，
当且仅当false，即false时等号成立，故false的最小值为false．
故选：D
8．B
【详解】
由题意知，随机变量false的数学期望false，
方差false.
当false时，false，由false在false恒成立.
所以false在false上单调递减，
false在false恒成立.
false在false上单调递增，
故选：B.
9．B
【详解】
由随机变量false的分布列得：
false，解得false，false，
false，false．
false，
当false时，false取得最大值false．
故选：false．
10．C
【详解】
随机变量false可取值false，其中
false，false，
故false，false.
随机变量false可取值false， false，false，
故false，false.
随机变量false可取值false，当false时，丙盒中无红球或有一个红球，
无红球的概率为false，有一个红球的概率为false，
故false，false，
故false，false.
综上，false，故选C.
11．C
【详解】
∵ 随机变量false满足false， false， false
∴false
∴false
∵false
∴false随着false的增大而减小， false随着false的增大而减小
故选C
12．C
【详解】
分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．
详解：①正态曲线关于false轴对称，故①不正确，
②当false一定时，false越大，正态曲线越“矮胖”，false越小，正态曲线越“瘦高”；正确；
③设随机变量false，则false的值等于1；故③不正确；
④当false一定时，正态曲线的位置由false确定，随着false的变化曲线沿false轴平移.正确.
故选C.
13．false
【详解】
由题意知：每次投掷硬币正面、背面出现的概率均为false；
∵正面出现false次或者背面只要出现一次，比赛结束，
∴假设比赛结束时，硬币抛掷了false次，false；
1、当false时，有前false次全部为正面，第false次为背面，则false，出现正面的次数的期望为false，
2、当false时，false次全部为正面，则false，出现正面的次数的期望为false，
∴false
故答案为：false
14．false
【详解】
由题知false，解得false，
则false，
false，
从而false
false，，false，
所以当false时，false取得最大值，最大值为false.
故答案为：false.
15．false
【详解】
因为false，
所以false，
解得false，
所以false，false，false，
所以false，
false.
故答案为：false
16．①③④
【详解】
①false，则false，①正确；
②令false，则false；令false，则false
false，②错误；
③抽样比为：false，则男运动员应抽取：false人，③正确；
④由方差的性质可知：false，④正确.
本题正确结果：①③④
17．（1）分布列见解析，期望为1（2）应选乙设备，理由见解析.
【详解】
（1）根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的分法抽取的40件产品中，
尺寸在false，false，false的产品数分别为false,false，
所以随机变量false的取值为false，
则false，false，false
所以随机变量false的分布列为：
false
0
1
2
false
false
false
false
所以期望false.
（2）设甲乙设备生产该产品一件的平均利润false元、false元，
由频率分布直方图可知，甲设备生产一级品、二级品、三级品的概率分别为：
false，
所以false，
false
可得false，所以应选购乙设备.
18．（1）false；（2）分布列见解析，false.
【详解】
解：（1）false进入第二轮的概率为false，
false与false比赛，false获胜，false与false比赛，false获胜，且false与false比赛，false获胜，
其概率为false，
故在false进入第二轮的前提下，false最终获得冠军的概率false．
（2）false参加比赛获胜的局数false的取值有0，1，2，3．
false，
false，
false，
false．
false的分布列为：
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
false．
19．（1）false；（2）分布列见解析；期望为false．
【详解】
解：（1）甲赢两场，分下面三种情况
①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜
概率为：false ；
②第一场甲输，二三场均胜
概率为：false；
③第一场甲胜，第二场输，第三场胜
概率为：false ；
由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了false场且甲晋级的概率为：false.
（2）依题意false的所有可能取值为false，false，false
由（1）知false，
当比赛进行了false场后结束，甲获胜的场数为false时，
分两种情况：
3场比赛中甲参加了1场，输了,概率为：false
3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：false
3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.
所以false，
故false，
故false的分布列为
false
false
false
false
false
false
false
false
则false．
20．（1）false；（2）答案见解析.
【详解】
解析（1）因为是各自随机“亮”出正反面，所以甲?乙“亮”出正面的概率均可认为是false，
设乙在此游戏中的收益为随机变量false，则false的可能取值为false，1，3，
所以可得乙的收益的分布列为
false
-2
1
3
false
false
false
false
false.
（2）假设甲以false的概率“亮”出正面，乙以false的概率“亮”出正面，
甲收益的随机变量为false，乙收益的随机变量为false，此时甲的收益分布列为
false
2
-1
-3
false
false
false
false
所以甲的收益期望为falsefalse.
同理可得乙的收益分布列为
false
-2
1
3
false
false
false
false
所以乙的收益期望为falsefalse.
根据甲的收益期望，可知乙的最优策略是“亮”出正面的概率为false，
否则若false，有false，甲的收益期望false，
甲可以选择都“亮”出反面的策略，即false，达到预期收益最大，此时false.
若false，则甲选择都“亮”出正面的策略，即false，达到预期收益最大，false.
同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为false，
所以最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为false.
而当false时，false，false，
所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平.