2.1.1不等关系与比较大小（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

不等关系与比较大小
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
2．m＝ax＋b2，n＝bx＋a2，且m＞n，a＞b，则(　　)
A．x＞a＋b B．x＜a＋b
C．x＞a－b D．x＜a－b
3．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“aA．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2021·哈尔滨高一检测)若x，y∈R，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．≥
B．<
C．x2＋y2≥2x－4y－5
D．x2＋y2<2x－4y－5
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知a为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4).(填“>”“<”或“＝”)
6．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是____________．
三、解答题
7．(10分)(2021·齐齐哈尔高一检测)已知a，b都是正实数，且a≠b.求证：a5＋b5>a2b3＋a3b2.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．“＞1”的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＞y B．x＞y＞0
C．x＜y D．y＜x＜0
2．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xA．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是________．
4．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
三、解答题
5．(10分)已知a>0，b>0，试比较M＝＋与N＝＋的大小．
6.(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小.
(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
分析选C.对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．
2．m＝ax＋b2，n＝bx＋a2，且m＞n，a＞b，则(　　)
A．x＞a＋b B．x＜a＋b
C．x＞a－b D．x＜a－b
分析选A.因为m＝ax＋b2，n＝bx＋a2，m＞n，
所以ax＋b2＞bx＋a2，
所以ax－bx＞a2－b2，(a－b)x＞(a＋b)(a－b).
因为a＞b，所以a－b＞0，
所以x＞a＋b.
3．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“aA．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
分析选A.若(a－b)a2<0，则a－b<0，即a若0＝a所以(a－b)a2<0是a4．(2021·哈尔滨高一检测)若x，y∈R，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．≥
B．<
C．x2＋y2≥2x－4y－5
D．x2＋y2<2x－4y－5
分析选C.因为－
＝＝≤0，
所以≤，故A，B错；
因为x2＋y2－(2x－4y－5)
＝(x－1)2＋(y＋2)2≥0，
所以x2＋y2≥2x－4y－5.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知a为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4).(填“>”“<”或“＝”)
分析因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝
－7<0，
所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
答案：<
6．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是____________．
分析设该校有初中班x个，高中班y个，
则有：
答案：
三、解答题
7．(10分)(2021·齐齐哈尔高一检测)已知a，b都是正实数，且a≠b.求证：a5＋b5>a2b3＋a3b2.
【证明】(a5＋b5)－(a2b3＋a3b2)
＝(a5－a3b2)＋(b5－a2b3)
＝a3(a2－b2)－b3(a2－b2)
＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，
因为a，b都是正实数，
所以a＋b＞0，a2＋ab＋b2＞0，
又因为a≠b，所以(a－b)2＞0，
所以(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)＞0，
即a5＋b5>a2b3＋a3b2.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．“＞1”的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＞y B．x＞y＞0
C．x＜y D．y＜x＜0
分析选B.当x＞y＞0时，必有＞1，
而>1?>0?x＞y＞0或x＜y＜0.
所以x＞y＞0是>1的充分不必要条件．
2．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xA．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
分析选B.方法一：因为x所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)
＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，
故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；
同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)
＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，
故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz.
又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)
＝a(z－y)＋b(y－z)
＝(a－b)(z－y)<0，
故az＋by＋cx综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.
方法二(特殊值法)：若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是________．
分析P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2.
因为a，b，c不全相等，
所以P－Q>0，
所以P>Q.
答案：P>Q
4．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
分析原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.
则不等关系“在8天内它的行程就超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)>2 200.
若每天行驶(x－12)km，
则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.
答案：8(x＋19)>2 200　>9
三、解答题
5．(10分)已知a>0，b>0，试比较M＝＋与N＝＋的大小．
分析因为M－N
＝－
＝－
＝－
＝(a－b)
＝－.
因为a>0，b>0，
所以(1＋a)(1＋b)>0，－(a－b)2≤0，得M－N≤0，
当a＝b时，M＝N；
当a≠b时，M6.(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小.
(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
分析(1)-=
==
=.
因为a＞b＞c＞0，
所以a－b＞0，ab＞0，a＋b－c＞0.
所以＞0，即>.
(2)(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋.
因为≥0，
所以＋≥＞0，
所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
所以2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.