2.2.1 基本不等式（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

基本不等式
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是(　　)
A．1 B． C．2 D．3
2．(2021·唐山高一检测)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．3 D．4
3．(2021·南通高一检测)函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为(　　)
A．6 B．2 C． D．
4．(2021·扬州高一检测)当x>0时，函数y＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x>1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________．
6．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
三、解答题
7．(10分)(2021·合肥高一检测)(1)已知x<，求y＝2x－1＋的最大值；
(2)求y＝(x>1)的最小值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·盐城高一检测)已知a>0，b>0，且＋＝，则ab的最小值是(　　)
A．24 B．2 C．5 D．
2．(多选题)(2021·怀化高一检测)当x>0时，下列函数最小值为2的是(　　)
A.y＝x(2－x) 　 B．y＝
C．y＝＋ D．y＝x2＋－1
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
4．(2021·天津高一检测)若x<，y＝3x＋，当x＝______时，y的最大值为______．
5. 规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________．
三、解答题
6．(10分)若a>b，且ab＝2，求的最小值．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是(　　)
A．1 B． C．2 D．3
分析选D.由题意得，mn≤＝＝3，
当且仅当m＝n时取等号，所以mn的最大值是3.
2．(2021·唐山高一检测)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．3 D．4
分析选D.因为正数a，b满足ab＝10，则a＋2b≥2＝2＝4，即a＋2b≥4，当且仅当a＝2b＝2时，取等号，故a＋2b的最小值为4，故选D.
3．(2021·南通高一检测)函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为(　　)
A．6 B．2 C． D．
分析选B.因为x>－2，所以x＋2>0，
所以y＝x＋＝x＋2＋－2
≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝且x>－2，即x＝2时等号成立．
4．(2021·扬州高一检测)当x>0时，函数y＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
分析选B.因为x>0，
所以y＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
即y＝有最大值1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x>1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________．
分析由题得x＝y＋1>1，所以y>0.
所以x＋＝y＋1＋＝y＋＋1≥2＋1＝3，(当且仅当y＝1时取等号)所以函数的最小值为3.
答案：3
6．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
分析因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0.
≤＝.
当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．
所以≤.
答案：≤
三、解答题
7．(10分)(2021·合肥高一检测)(1)已知x<，求y＝2x－1＋的最大值；
(2)求y＝(x>1)的最小值．
分析(1)因为x<，
所以2x－5<0，
所以y＝2x－1＋＝2x－5＋＋4＝－＋4≤
－2＋4＝2，
当且仅当5－2x＝时，即x＝2时等号成立．
所以y＝2x－1＋的最大值为2；
(2)因为x>1，所以x－1>0，y＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当x－1＝，
即x＝1＋时等号成立，
所以y＝(x>1)的最小值2＋2.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·盐城高一检测)已知a>0，b>0，且＋＝，则ab的最小值是(　　)
A．24 B．2 C．5 D．
分析选B.因为a>0，b>0，
所以＝＋≥，
所以ab≥2，当且仅当＝时取等号，
所以ab的最小值是2.
2．(多选题)(2021·怀化高一检测)当x>0时，下列函数最小值为2的是(　　)
A.y＝x(2－x) 　 B．y＝
C．y＝＋ D．y＝x2＋－1
分析选BD.对于A中，函数y＝x(2－x)＝－x2＋2x，此时函数在(0，＋∞)上无最小值，所以A不正确；
对于B中，由x>0，可得y＝＝x＋≥2，
当且仅当x＝1时取等号，所以B正确；
对于C中，y＝＋＝t＋≥2，
当且仅当t＝，t＝1时，等号成立，
但是t＝≥，故C不正确；
对于D中，函数y＝x2＋－1＝x2＋1＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x2＋1＝2，即x＝1时取等号，D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
分析因为
＝，
因为x>0，y>0，x＋2y＝5，xy>0，
所以≥＝4，
当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时成立，
故所求的最小值为4.
答案：4
4．(2021·天津高一检测)若x<，y＝3x＋，当x＝______时，y的最大值为______．
分析当x<时，5－3x>0，y＝3x＋＝5－≤5－2＝3，
当且仅当5－3x＝时，
即当x＝时，等号成立，因此，y的最大值为3.
答案：　3
5. 规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________．
分析1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
所以＝1或＝－2(舍)，所以k＝1.
＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
答案：1　3
三、解答题
6．(10分)若a>b，且ab＝2，求的最小值．
分析＝＝＝(a－b)＋＝2＝4，当且仅当a－b＝，
即a＝＋1，b＝－1时，等号成立，
所以的最小值为4.