2.2.2 基本不等式的应用（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2.2.2 基本不等式的应用（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 112.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-08 19:51:49 | ||
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文档简介
基本不等式的应用
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a>b>0，全集为R，集合M＝{x|bA．P＝M∩(RN) B．P＝(RM)∩N
C．P＝M∪N D．P＝M∩N
2．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是( )
A．3 B．6 C．6 D．12
3．已知x＞0，y＞0且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
4．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A． B．1 C．2 D．3
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________．
6．(2021·广州高一检测)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知a，b都是正数，求证：≥4.
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值．
(2)x＋y的最小值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
2．(多选题)(2021·长沙高一检测)下列函数的最小值为4的有( )
A.y＝x2＋ B．y＝x＋－2
C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
4．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．(2021·长沙高一检测)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
6．(2021·泰州高一检测)2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x(x＞0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.25x)倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a－0.875x)万元，其中a＞0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a>b>0，全集为R，集合M＝{x|bA．P＝M∩(RN) B．P＝(RM)∩N
C．P＝M∪N D．P＝M∩N
分析选A.由a>b>0结合基本不等式可得，a>>>b，故P＝M∩(RN).
2．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是( )
A．3 B．6 C．6 D．12
分析选D.设直角三角形的两直角边分别为a，b，
因为直角三角形面积为18，即ab＝36，
所以两条直角边的和a＋b≥2＝12，
当且仅当a＝b＝6时取等号，
所以两条直角边的和的最小值是12.
3．已知x＞0，y＞0且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
分析选B.(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.
4．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A． B．1 C．2 D．3
分析选D.根据题意，正数a，b满足a＋b＝1，
则＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，故＋的最小值为3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________．
分析＝＋＝＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时等号成立．
所以的最小值为4＋2.
答案：4＋2
6．(2021·广州高一检测)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
分析设仓库建在离车站d km处，由已知y1＝2＝，得k1＝20，所以y1＝，y2＝8＝k2·10，得k2＝，所以y2＝d，
所以y1＋y2＝＋≥2＝8.
当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．
答案：5
7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
分析总运费与总存储费用之和f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知a，b都是正数，求证：≥4.
【证明】因为a>0，b>0，
所以a＋≥2＝2，b＋≥2＝2.
由不等式的性质，得≥4，当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立．
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值．
(2)x＋y的最小值．
分析(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥
10＋2＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
分析选B.由＋≥
得m≤(a＋3b)＝＋＋6，
又＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当＝，
即a＝3b时等号成立．
所以m≤12，所以m的最大值为12.
2．(多选题)(2021·长沙高一检测)下列函数的最小值为4的有( )
A.y＝x2＋ B．y＝x＋－2
C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
分析选AD.对于A，y＝x2＋≥2＝4，当且仅当x＝±时等号成立，故A正确．
对于B，取x＝－1，则y＝－12<4，故B不正确．
对于C，y＝＋≥4，因为x2＋6＝4无解，故等号不成立，故C错误．
对于D，y＝＋x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝1即x＝2时等号成立，故D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
分析设两个正方形边长分别为a，b，
则由题可得2a＋2b＝2，
即a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2×＝，
当且仅当a＝b＝时取等号．
答案：
4．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
分析设两数分别为x，y，即4x＋9y＝60，
＋＝
＝≥×(13＋12)＝，
当且仅当＝，且4x＋9y＝60，
即x＝6且y＝4时，等号成立，
故应分别填上6，4.
答案：6 4
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．(2021·长沙高一检测)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
【证明】(1)因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以ab≤＝，所以ab≤，
所以＋＋＝＋＝≥8，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
(2) ＝＋＋＋1，
由(1)可知＋＋≥8，
所以＋＋＋1≥9，
即≥9.
当且仅当a＝b＝时等号成立．
6．(2021·泰州高一检测)2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x(x＞0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.25x)倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a－0.875x)万元，其中a＞0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．
分析(1)由题意，得0.15(1＋0.25x)(10－x)≥0.15×10，
整理得：x2－6x≤0，解得0≤x≤6，
又x＞0，故0＜x≤6.
所以x的取值范围是(0，6].
(2)由题意知，网店销售利润为
0．15(a－0.875x)x万元，
技术指导后，养羊的利润为
0．15(1＋0.25x)(10－x)万元，
则0.15(a－0.875x)x
≤0.15(1＋0.25x)(10－x)恒成立，
又0＜x＜10，所以a≤＋＋1.5，
又＋≥2＝5，当且仅当x＝4时等号成立，
所以0＜a≤6.5，即a的最大值为6.5.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a>b>0，全集为R，集合M＝{x|b
C．P＝M∪N D．P＝M∩N
2．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是( )
A．3 B．6 C．6 D．12
3．已知x＞0，y＞0且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
4．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A． B．1 C．2 D．3
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________．
6．(2021·广州高一检测)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知a，b都是正数，求证：≥4.
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值．
(2)x＋y的最小值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
2．(多选题)(2021·长沙高一检测)下列函数的最小值为4的有( )
A.y＝x2＋ B．y＝x＋－2
C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
4．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．(2021·长沙高一检测)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
6．(2021·泰州高一检测)2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x(x＞0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.25x)倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a－0.875x)万元，其中a＞0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a>b>0，全集为R，集合M＝{x|b
C．P＝M∪N D．P＝M∩N
分析选A.由a>b>0结合基本不等式可得，a>>>b，故P＝M∩(RN).
2．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是( )
A．3 B．6 C．6 D．12
分析选D.设直角三角形的两直角边分别为a，b，
因为直角三角形面积为18，即ab＝36，
所以两条直角边的和a＋b≥2＝12，
当且仅当a＝b＝6时取等号，
所以两条直角边的和的最小值是12.
3．已知x＞0，y＞0且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
分析选B.(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.
4．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A． B．1 C．2 D．3
分析选D.根据题意，正数a，b满足a＋b＝1，
则＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，故＋的最小值为3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________．
分析＝＋＝＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时等号成立．
所以的最小值为4＋2.
答案：4＋2
6．(2021·广州高一检测)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
分析设仓库建在离车站d km处，由已知y1＝2＝，得k1＝20，所以y1＝，y2＝8＝k2·10，得k2＝，所以y2＝d，
所以y1＋y2＝＋≥2＝8.
当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．
答案：5
7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
分析总运费与总存储费用之和f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知a，b都是正数，求证：≥4.
【证明】因为a>0，b>0，
所以a＋≥2＝2，b＋≥2＝2.
由不等式的性质，得≥4，当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立．
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值．
(2)x＋y的最小值．
分析(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥
10＋2＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
分析选B.由＋≥
得m≤(a＋3b)＝＋＋6，
又＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当＝，
即a＝3b时等号成立．
所以m≤12，所以m的最大值为12.
2．(多选题)(2021·长沙高一检测)下列函数的最小值为4的有( )
A.y＝x2＋ B．y＝x＋－2
C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
分析选AD.对于A，y＝x2＋≥2＝4，当且仅当x＝±时等号成立，故A正确．
对于B，取x＝－1，则y＝－12<4，故B不正确．
对于C，y＝＋≥4，因为x2＋6＝4无解，故等号不成立，故C错误．
对于D，y＝＋x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝1即x＝2时等号成立，故D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
分析设两个正方形边长分别为a，b，
则由题可得2a＋2b＝2，
即a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2×＝，
当且仅当a＝b＝时取等号．
答案：
4．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
分析设两数分别为x，y，即4x＋9y＝60，
＋＝
＝≥×(13＋12)＝，
当且仅当＝，且4x＋9y＝60，
即x＝6且y＝4时，等号成立，
故应分别填上6，4.
答案：6 4
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．(2021·长沙高一检测)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
【证明】(1)因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以ab≤＝，所以ab≤，
所以＋＋＝＋＝≥8，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
(2) ＝＋＋＋1，
由(1)可知＋＋≥8，
所以＋＋＋1≥9，
即≥9.
当且仅当a＝b＝时等号成立．
6．(2021·泰州高一检测)2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x(x＞0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.25x)倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a－0.875x)万元，其中a＞0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．
分析(1)由题意，得0.15(1＋0.25x)(10－x)≥0.15×10，
整理得：x2－6x≤0，解得0≤x≤6，
又x＞0，故0＜x≤6.
所以x的取值范围是(0，6].
(2)由题意知，网店销售利润为
0．15(a－0.875x)x万元，
技术指导后，养羊的利润为
0．15(1＋0.25x)(10－x)万元，
则0.15(a－0.875x)x
≤0.15(1＋0.25x)(10－x)恒成立，
又0＜x＜10，所以a≤＋＋1.5，
又＋≥2＝5，当且仅当x＝4时等号成立，
所以0＜a≤6.5，即a的最大值为6.5.
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用