3.2.1.1 函数的单调性（习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修（第一册）（Word版含解析）

函数的单调性
　一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
2．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递减，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
4．(多选题)下列四个函数中，在(－∞，0]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间为________．
6．(2021·银川高一检测)已知函数f(x)＝则f(x)的单调递增区间是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝.
证明函数在(－2，＋∞)上单调递增．
8．已知函数f(x)＝x＋.
(1)用单调性的定义证明f(x)在[2，＋∞)上单调递增；
(2)解不等式f(x2－2x＋4)≤f(7).
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知对任意的0＜x1＜x2都有＞0，设a＝f(π)，b＝f(e)，其中e＝2.718 28…，则(　　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．a，b大小关系不能确定
2．(2021·济南高一检测)已知函数f(x)＝若f(a2－4)＞f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－4，1)
B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
C．(－1，4)
D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调减区间是________．
4．已知函数y＝f(x)是定义在区间(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(1－2m)，则m的取值范围是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝px＋(p，q为常数)，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．
6．已知f(x)＝，x∈(－2，2).
(1)求证：函数f(x)在(－2，2)上单调递增；
(2)若f(2＋a)＞f(2a－1)，求实数a的取值范围．
　一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
分析选D.由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．
2．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)分析选D. 因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，
所以f(a2＋1)3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递减，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
分析选B.因为y＝ax在(0，＋∞)上是减函数，
所以a<0.因为y＝－在(0，＋∞)上单调递减，所以－b>0，b<0.
则y＝ax2＋bx的对称轴x＝－<0且抛物线开口向下，
所以y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．
4．(多选题)下列四个函数中，在(－∞，0]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
分析选AB. f(x)＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，A对；函数f(x)＝2x2在(－∞，0]上单调递减，B对；函数f(x)＝x＋1在R上单调递增，C错；函数f(x)＝中x≠0，D错．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间为________．
分析根据题意，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，故f(x)的单调递增区间为(－∞，1].
答案：(－∞，1]
6．(2021·银川高一检测)已知函数f(x)＝则f(x)的单调递增区间是________．
分析根据题意，函数f(x)＝
则在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2＋1，单调递增，且f(x)≥1，在区间(－∞，0)上，f(x)＝－x2＋1，单调递增，且f(x)＜1，故f(x)在R上为增函数，即其递增区间为(－∞，＋∞).
答案：(－∞，＋∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝.
证明函数在(－2，＋∞)上单调递增．
【证明】设x1，x2∈(－2，＋∞)，且x2则f(x2)－f(x1)＝－
＝，
因为x1＞x2＞－2，
所以x2－x1<0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
所以<0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
8．已知函数f(x)＝x＋.
(1)用单调性的定义证明f(x)在[2，＋∞)上单调递增；
(2)解不等式f(x2－2x＋4)≤f(7).
分析(1)设x1，x2是[2，＋∞)上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝，
因为2≤x10，x1x2－4>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增．
(2)因为x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3>2，
所以由(1)知x2－2x＋4≤7，即x2－2x－3≤0，
解得－1≤x≤3.
所以不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知对任意的0＜x1＜x2都有＞0，设a＝f(π)，b＝f(e)，其中e＝2.718 28…，则(　　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．a，b大小关系不能确定
分析选C.因为对0＜x1＜x2都有＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(π)＜f(e)，即a＜b.
2．(2021·济南高一检测)已知函数f(x)＝若f(a2－4)＞f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－4，1)
B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
C．(－1，4)
D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
分析选D.作出f(x)＝的图象如图，
可知f(x)在R上单调递增，若f(a2－4)＞f(3a)，
则a2－4＞3a，解可得a＞4或a＜－1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调减区间是________．
分析化简函数为：f(x)＝
当x＞0时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，作出图象位于轴左侧的部分，同理作出右侧部分，
由图象不难得出，函数的单调减区间为和.
答案：和
4．已知函数y＝f(x)是定义在区间(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(1－2m)，则m的取值范围是________．
分析由题意得：
解得－＜m＜.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝px＋(p，q为常数)，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．
分析(1)因为
即解得
所以f(x)＝2x＋.
(2)f(x)＝2x＋在区间上单调递减．
证明如下：设任意的两个实数x1，x2，且满足0则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋－＝2(x1－x2)＋＝
.
因为0所以x2－x1>0，00，
所以f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)＝2x＋在区间上单调递减．
6．已知f(x)＝，x∈(－2，2).
(1)求证：函数f(x)在(－2，2)上单调递增；
(2)若f(2＋a)＞f(2a－1)，求实数a的取值范围．
分析(1)?x1，x2∈(－2，2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝) －)
＝）（4＋x）) ，
因为－2＜x1＜x2＜2，
所以x1－x2＜0，4－x1x2>0，
(4＋x)(4＋x)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＝）（4＋x）) ＜0，
即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(－2，2)上单调递增；
(2)由(1)可知，不等式f(2＋a)＞f(2a－1)，
等价于2＞2＋a＞2a－1＞－2，
解可得，－＜a＜0.故a的范围为.