3.2.2.2函数奇偶性的应用（习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修（第一册）（Word版含解析）

函数奇偶性的应用
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　)
A. f(2)＞0＞f(4) B．f(2)＜0＜f(4)
C．f(2)＞f(4)＞0 D．f(2)＜f(4)＜0
2．若奇函数f(x)在x∈(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
3．(2021·南宁高一检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且是增函数，若f(1)＝1，则不等式|f(x)|＜1的解集为(　　)
A. (－1，1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A． B．
C． D．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(3)等于______．
6．(2021·青岛高一检测)已知定义在(－∞，＋∞)的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－，则x取值范围是______．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝，
(1)判断函数的奇偶性．
(2)判断函数在x∈(－∞，0)上的单调性，并证明．
8．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式．
(2)画出函数f(x)的图象．
(3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·重庆高一检测)已知f(x)＝1－是定义域为R的奇函数，且对任意实数x，都有f(x2－mx＋2)>，则m的取值范围是(　　)
A．－2＜m＜2 B．0＜m＜2
C．－4＜m＜4 D．m＞2
2．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则f(x)＝________，不等式f(x－2)＞f(x)的解集为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
6．已知函数f(x)＝mx－x|x|，且f(2)＝0.
(1)求实数m的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调减区间；
(3)求x∈[－2，3)时函数的值域．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　)
A. f(2)＞0＞f(4) B．f(2)＜0＜f(4)
C．f(2)＞f(4)＞0 D．f(2)＜f(4)＜0
分析选A.由题意可知，函数的图象如图：
可知f(2)＞0＞f(4).
2．若奇函数f(x)在x∈(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
分析选B.方法一(奇函数的图象特征)：当x<0时，f(x)＝x2＋x＝－，
所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
方法二(直接法)：当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，
所以f(x)有最大值.
3．(2021·南宁高一检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且是增函数，若f(1)＝1，则不等式|f(x)|＜1的解集为(　　)
A. (－1，1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
分析选A.由|f(x)|＜1得－1＜f(x)＜1，
因为f(x)是奇函数且是增函数，f(1)＝1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－1，
则不等式等价为f(－1)＜f(x)＜f(1)，
所以－1＜x＜1，
即不等式的解集为(－1，1).
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A． B．
C． D．
分析选A.由题意得|2x－1|?<2x二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(3)等于______．
分析因为f(x)为奇函数，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋1＝－f(1)＋1，所以f(1)＝.
令x＝1，得f(3)＝f(1)＋1＝＋1＝.
答案：
6．(2021·青岛高一检测)已知定义在(－∞，＋∞)的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－，则x取值范围是______．
分析因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(1)＝－，由f(2x－1)≥－，可得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.
答案：[0，1]
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝，
(1)判断函数的奇偶性．
(2)判断函数在x∈(－∞，0)上的单调性，并证明．
分析(1)因为f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)在x∈(－∞，0)上单调递增，
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1所以f(x1)－f(x2)＝) －) ＝－x,xx)
＝x) ，
因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1所以x2－x1>0，x2＋x1<0，
所以x) <0，即f(x1)则函数f(x)在x∈(－∞，0)上单调递增．
8．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式．
(2)画出函数f(x)的图象．
(3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域．
分析(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x).当x<0时，－x>0，
所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)，函数f(x)的值域为(－∞，1].
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·重庆高一检测)已知f(x)＝1－是定义域为R的奇函数，且对任意实数x，都有f(x2－mx＋2)>，则m的取值范围是(　　)
A．－2＜m＜2 B．0＜m＜2
C．－4＜m＜4 D．m＞2
分析选A.由奇函数的性质可得，f(0)＝1－＝0，得a＝2，所以f(x)＝1－，所以f(1)＝1－＝.而f(x2－mx＋2)>＝f(1)且f(x)单调递增，所以x2－mx＋2＞1恒成立，即x2－mx＋1>0恒成立，
故有Δ＝m2－4＜0，得－2＜m＜2.
2．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
分析选BD.由奇函数的定义验证可知BD正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
分析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
答案：0
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则f(x)＝________，不等式f(x－2)＞f(x)的解集为________．
分析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，
所以x＜0时，－x＞0，
所以f(－x)＝(－x)2＋5x
＝x2＋5x＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2－5x，
故f(x)＝，
因为f(x－2)＞f(x)，
①x－2≥0即x≥2时，(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x，
解得x<，此时2≤x<.
②x＜0时，－(x－2)2－5(x－2)＞－x2－5x，
解得x＞－，此时－③当0≤x＜2时，－(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x，
解得－1＜x＜3，此时0≤x＜2.
综上可得－答案：　
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
分析因为f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，
得f(1－x)<－f(1－2x)，
所以f(1－x)又因为f(x)在(－1，1)上是减函数，
所以
解得0所以原不等式的解集为.
6．已知函数f(x)＝mx－x|x|，且f(2)＝0.
(1)求实数m的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调减区间；
(3)求x∈[－2，3)时函数的值域．
分析(1)由函数f(x)＝mx－x|x|，且f(2)＝0，可得2m－4＝0，解得m＝2，
所以f(x)＝2x－x|x|，
则f(－x)＝－2x＋x|x|＝－f(x)，且x∈R，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝2x－x|x|＝，
图象如图所示：
单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞).
(3)当x∈[－2，3)时，结合函数的图象可得，当x＝1时，函数取得最大值为1；
当x＝3时，函数取最小值为－3，故函数的值域为(－3，1].