3.3幂函数 （练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

幂　函　数
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A． B．1 C． D．2
2．(2021·北京高一检测)如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内(　　)
A．为增函数 B．为减函数
C．有最小值 D．有最大值
3．(2021·湘潭高一检测)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，三个值，则相应于曲线C1，C2，C3的n值依次为(　　)
A. －2，，2 B．2，，－2
C．－2，2， D．2，－2，
4．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A. nC．n>m>0 D．m>n>0
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·齐齐哈尔高一检测)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－1在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为______．
6．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为________.
三、解答题
7．(10分)定义函数f(x)＝min{x2，x－1}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
(1)试作出函数f(x)的图象，并求函数f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·扬州高一检测)已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(多选题)(2021·启东高一检测)已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2，8)，下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是偶函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
4．(2021·锦州高一检测)幂函数f(x)＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上单调递减且为偶函数，则整数m的值是________.
三、解答题
5．(10分)(2021·巩义高一检测)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)，经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A． B．1 C． D．2
分析选A.因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，
所以k＝1，f＝＝，
即α＝－，所以k＋α＝.
2．(2021·北京高一检测)如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内(　　)
A．为增函数 B．为减函数
C．有最小值 D．有最大值
分析选C.因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，
所以f(2)＝2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，
所以f(x)在定义域内先递减再递增，有最小值．
3．(2021·湘潭高一检测)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，三个值，则相应于曲线C1，C2，C3的n值依次为(　　)
A. －2，，2 B．2，，－2
C．－2，2， D．2，－2，
分析选B.函数y＝x－2，y＝x2，y＝x中令x＝4得到的函数值依次为，16，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3的n值依次为2，，－2.
4．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A. nC．n>m>0 D．m>n>0
分析选A.由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.
取x＝2，则有2m>2n，得m>n，故n二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·齐齐哈尔高一检测)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－1在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为______．
分析因为幂函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以m2－3m＋3＝1，且m2－m－1＞0，解得m＝2.
答案：2
6．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为________.
分析根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．
综上f(x)的解析式为f(x)＝x3.
答案：f(x)＝x3
三、解答题
7．(10分)定义函数f(x)＝min{x2，x－1}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
(1)试作出函数f(x)的图象，并求函数f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
分析在同一坐标系中作出函数y＝x2(x≠0)与y＝x－1(x≠0)的图象(如图).
令x2＝x－1，解得x＝1，所以函数f(x)的图象如图所示：
所以f(x)＝
由图可知f(x)的值域为∪.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·扬州高一检测)已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
分析选B.因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<0(m∈N)，则m＝0或m＝1.
当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不符合题意．
当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，符合题意，
因此m＝1.
2．(多选题)(2021·启东高一检测)已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2，8)，下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是偶函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
分析选AD.因为幂函数y＝xα的图象过点(2，8)，
所以2α＝8，解得α＝3，
所以幂函数为y＝x3；
所以幂函数y＝x3的图象过原点，A正确；
且幂函数y＝x3是定义域R上的奇函数，B错误；
幂函数y＝x3是定义域R上的增函数，C错误；
幂函数y＝x3的值域是R，所以D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
分析因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.
答案：(－∞，0)
4．(2021·锦州高一检测)幂函数f(x)＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上单调递减且为偶函数，则整数m的值是________.
分析幂函数f(x)＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3＜0，
所以－1＜m＜3，m的整数值为0或1或2.
当m＝0时，f(x)＝x－3不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x－4是偶函数；
当m＝2时，f(x)＝x－3不是偶函数；
所以整数m的值是1.
答案：1
三、解答题
5．(10分)(2021·巩义高一检测)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)，经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
分析因为幂函数f(x)经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，
即2＝2(m2＋m)－1
所以m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1.
所以f(x)＝x，
则函数的定义域为[0，＋∞)，
并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)＞f(a－1)得，
解得1≤a＜.
所以a的取值范围为.