3.4函数的应用(一)（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

函数的应用(一)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．国庆节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计(　　)
A．280元 B．320元 C．340元 D．360元
2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A． B．
C． D．－1
3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量/L 加油时的累
计里程/千米
5月1日 12 35 000
5月15日 48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为(　　)
A.6 L B．8 L C．10 L D．12 L
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________．
5．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
6．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长应为______m．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：辆)，
利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y(单位：元)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为多少时，自行车厂生产新样式单车的利润最大？最大利润是多少？
8．某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为(　　)
A.4 s B．5 s C．6 s D．7 s
2．(多选题)已知每生产100 g饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100 g 300 g
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是(　　)
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某零售商购买某种商品的进价P(单位：元/kg)与数量x(单位：kg)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品______kg.
4．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸________份．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知A，B两城市相距100 km，两地之间距离A城市x km的D处修建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20 t，B城市每天产生的垃圾量为10 t．
(1)求x的取值范围；
(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；
(3)垃圾处理厂建在距离A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？
6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与各自的资金投入a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a2＋120.设甲大棚的资金投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元).
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入f(x)最大．
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．国庆节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计(　　)
A．280元 B．320元 C．340元 D．360元
分析选D.由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40，1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可以获赠购物券280＋60＋20＝360(元).
2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A． B．
C． D．－1
分析选D.设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，
解得x＝－1.
3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量/L 加油时的累
计里程/千米
5月1日 12 35 000
5月15日 48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为(　　)
A.6 L B．8 L C．10 L D．12 L
分析选B.因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48 L，即汽车行驶35 600－35 000＝600 km耗油48 L，所以每100 km的耗油量为8 L．
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________．
分析日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N*.
答案：2t2＋108t＋400，t∈N*
5．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
分析设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4，7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.
解y≥0，得6－≤x≤6＋，
所以有营运利润的时间为2.
又6<2<7，
所以有营运利润的时间不超过7年．
答案：7
6．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长应为______m．
分析设矩形的长为x，则宽为(24－2x)，则矩形的面积为S＝(24－2x)x＝－(x2－12x)＝－(x－6)2＋18，所以当x＝6时，矩形面积最大．此时隔墙的长为(24－2x)＝3 m．
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：辆)，
利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y(单位：元)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为多少时，自行车厂生产新样式单车的利润最大？最大利润是多少？
分析(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为(20 000＋100x)元，
则y＝
(2)当0y＝－(x－300)2＋25 000，
则当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x是减函数，
则y<60 000－100×400＝20 000<25 000，
所以当月产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车的利润最大，最大利润为25 000元．
8．某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
分析(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为f(x)＝
＝
(2)是．理由：只乘一辆车的车费为：
f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，
换乘两辆车的车费为2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)
＝38.8(元)，因为40.3>38.8，
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为(　　)
A.4 s B．5 s C．6 s D．7 s
分析选B.已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5时，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在245 m以上(含245 m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245 m以上高度的时间为5 s.
2．(多选题)已知每生产100 g饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100 g 300 g
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是(　　)
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
分析选BD.大包装300 g8.4元，则等价为100 g2.8元，小包装100 g3元，则买大包装实惠，故B正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某零售商购买某种商品的进价P(单位：元/kg)与数量x(单位：kg)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品______kg.
分析由题意得，购买这种商品所需费用y(单位：元)与数量x(单位：kg)之间的函数关系式为y＝
从而易得30×50＜2 700＜30×100，
即该零售商购买这种商品的数量应在50 kg与100 kg之间，
故最多可购买这种商品＝90(kg).
答案：90
4．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸________份．
分析设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进 30x 2 60x
卖出 20x＋10×250 3 60x＋7 500
退回 10(x－250) 0.8 8x－2 000
y＝[(60x＋7 500)＋(8x－2 000)]－60x
＝8x＋5 500(250≤x≤400，x∈N).
因为y＝8x＋5 500在[250，400]上单调递增，
所以当x＝400时，y取得最大值8 700.
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元．
答案：400
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知A，B两城市相距100 km，两地之间距离A城市x km的D处修建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20 t，B城市每天产生的垃圾量为10 t．
(1)求x的取值范围；
(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；
(3)垃圾处理厂建在距离A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？
分析(1)由题意得，
解得10≤x≤90，故x的取值范围为[10，90].
(2)由题意得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，
即y＝x2－500x＋25 000(10≤x≤90).
(3)y＝x2－500x＋25 000＝＋.
当x＝时，y最小．即当垃圾处理厂建在距离A城市km处时，才能使每天的垃圾处理费用最少．
6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与各自的资金投入a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a2＋120.设甲大棚的资金投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元).
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入f(x)最大．
分析(1)因为甲大棚的资金投入为50万元，则乙大棚的资金投入为150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120
＝277.5(万元).
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120
＝－x＋4＋250，依题意得
解得20≤x≤180，
所以f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180).
令t＝∈[2，6]，则f(x)转化为
y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282(万元).
所以当甲大棚投入资金128万元，乙大棚投入资金72万元时，总收入最大，且最大总收入为282万元．