3.2.2函数奇偶性的概念（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

函数奇偶性的概念
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．(2021·荆门高一检测)已知一个奇函数的定义域为{1，2，a，b}，则a＋b＝(　　)
A．－3 B．3 C．0 D．1
3．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在区间[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·海安高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋x2＋1，则f(－2)＝________．
6．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________．
三、解答题
7．(10分)判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；
(2)f(x)＝
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
2．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|＋|x－1|是奇函数
B．g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
C. F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数
D．h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．
4．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋)＋f＝________．
三、解答题
5．(10分)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
分析选A.因为F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，定义域为R，所以函数F(x)在R上是奇函数．
2．(2021·荆门高一检测)已知一个奇函数的定义域为{1，2，a，b}，则a＋b＝(　　)
A．－3 B．3 C．0 D．1
分析选A.根据奇函数的定义域关于原点对称可知，a＋b＝－(1＋2)＝－3.
3．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
分析选A. f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．又f(－1)＝－2，f(1)＝2，
f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数．
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在区间[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
分析选B.依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
所以b＝0且a＝，所以a＋b＝.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·海安高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋x2＋1，则f(－2)＝________．
分析根据题意，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋x2＋1，则f(2)＝8＋4＋1＝13，
又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－13.
答案：－13
6．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________．
分析由函数f(x)为奇函数，得f(－1)＋f(1)＝0，
又f(－1)＝0，f(1)＝a＋b，所以a＋b＝0.
答案：0
三、解答题
7．(10分)判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；
(2)f(x)＝
分析(1)奇函数．定义域为R.
因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
分析选C.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数．
2．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|＋|x－1|是奇函数
B．g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
C. F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数
D．h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数
分析选CD.对于A项，因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A错误；
对于B项，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，关于原点对称．
所以g(x)＝＝＝，
满足g(－x)＝－g(x)，故g(x)是奇函数，B项错误；
对于C项，因为F(x)＝f(x)f(－x)，
所以F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，
所以F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，C项正确；
对于D项，由解得x＝±1.
故函数h(x)的定义域为{－1，1}，且h(x)＝0，
所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，D项正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．
分析因为y＝f(x)＋x2为奇函数，
所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，
所以f(－x)＝－f(x)－2x2，
又g(1)＝f(1)＋2＝3，
所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2
＝－f(1)＝－1.
答案：－1
4．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋)＋f＝________．
分析＝＝－(1＋).
因为f(x)是奇函数，
所以f＝f[－(1＋)]＝－f(1＋).
所以f(1＋)＋f＝0.
答案：0
三、解答题
5．(10分)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
分析(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
所以－3x＋q＝－3x－q，所以2q＝0，所以q＝0.
又f(2)＝，所以＝，
解得p＝2，所以p＝2，q＝0.
(2)f(x)＝＝.设1f(x1)－f(x2)＝(x1＋－x2－)
＝
＝(x1－x2)·.
因为11，
所以(x1－x2)·<0，即f(x1)所以f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．