七年级数学平面镶嵌
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文档简介
(共33张PPT)
图片欣赏(一)
观察各种建筑物的地板，你有没有发现
一些美丽的平面图案
图片欣赏(二)
注意: 1. 不留缝隙
2. 没有重叠
平面镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。
说明：我们只探讨顶点与顶点重合，边与边重合的情形。
请用你的一种正多边形,只用一种,那些能进行平面镶嵌，那些不能,为什么
观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？
正多边形每个内角:
能否
平面
镶嵌
图形 一个顶点周围正多边形的个数
能
能
能
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
6
4
3
不能
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
内角和
各个内角
180o
60o
360o
90o
540o
108o
720o
120o
∴解得
仅用一个正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。
能单独镶嵌平面的正多边形只有三种：
正三角形、正四边形、正六边形
令正多边形的边数为n,个数为m,则有
（1） 正三角形的平面镶嵌
60°
60°
60°
60°
60°
60°
（2） 正方形的平面镶嵌
90°
（3） 正六边形的平面镶嵌
120 °
120 °
120 °
1
2
3
（4）正五边形不能进行平面镶嵌
如果用两种正多边形进行镶嵌，又有几种情况呢？请尝试。
用两种正多边形进行平面镶嵌
1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌
2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌，探讨有几种情况
①
②
注：m、 n分别指同一顶点处正三角形、正方形的个数。
图案
注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果
120°
120°
60°
60°
图案（Ⅰ）
图案（Ⅱ）
60°
60°
120°
60°
60°
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
1、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？
2、如果用正三角形与
正十二边形，如何镶嵌？
正八边形与正方形的平面镶嵌
正十二边形与正三角形的平面镶嵌
正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌
资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
任意形状的三角形或
四边形的平面镶嵌
小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉
小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？
妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什么东西
只好丢掉！
小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的桌布吧。
结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。
在一个工厂的废料堆里，正堆放着大量的四边形木块，这些废木块
的大小、形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是
不规则的四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须剧掉一些
边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板！同学们
说说行吗？
结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形
发现二:
用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形也能进行
平面镶嵌
发现一:
同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种:正三角形、
正方形、正六边形
发现三:
正多边形镶嵌的条件：
（1）同一顶点的各角度数和为360度；
（2）各个正多边形的边长要相等。
课后研究题:
（1）设计一幅平面图形铺满地面的美丽图案,与你的同学比一
比,看看谁设计得更有新意。
（2）我们用若干种正多边形能不能同样进行平面镶嵌呢？
如果可以，你试试？
图片欣赏(一)
观察各种建筑物的地板，你有没有发现
一些美丽的平面图案
图片欣赏(二)
注意: 1. 不留缝隙
2. 没有重叠
平面镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。
说明：我们只探讨顶点与顶点重合，边与边重合的情形。
请用你的一种正多边形,只用一种,那些能进行平面镶嵌，那些不能,为什么
观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？
正多边形每个内角:
能否
平面
镶嵌
图形 一个顶点周围正多边形的个数
能
能
能
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
6
4
3
不能
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
内角和
各个内角
180o
60o
360o
90o
540o
108o
720o
120o
∴解得
仅用一个正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。
能单独镶嵌平面的正多边形只有三种：
正三角形、正四边形、正六边形
令正多边形的边数为n,个数为m,则有
（1） 正三角形的平面镶嵌
60°
60°
60°
60°
60°
60°
（2） 正方形的平面镶嵌
90°
（3） 正六边形的平面镶嵌
120 °
120 °
120 °
1
2
3
（4）正五边形不能进行平面镶嵌
如果用两种正多边形进行镶嵌，又有几种情况呢？请尝试。
用两种正多边形进行平面镶嵌
1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌
2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌，探讨有几种情况
①
②
注：m、 n分别指同一顶点处正三角形、正方形的个数。
图案
注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果
120°
120°
60°
60°
图案（Ⅰ）
图案（Ⅱ）
60°
60°
120°
60°
60°
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
1、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？
2、如果用正三角形与
正十二边形，如何镶嵌？
正八边形与正方形的平面镶嵌
正十二边形与正三角形的平面镶嵌
正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌
资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
任意形状的三角形或
四边形的平面镶嵌
小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉
小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？
妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什么东西
只好丢掉！
小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的桌布吧。
结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。
在一个工厂的废料堆里，正堆放着大量的四边形木块，这些废木块
的大小、形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是
不规则的四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须剧掉一些
边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板！同学们
说说行吗？
结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形
发现二:
用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形也能进行
平面镶嵌
发现一:
同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种:正三角形、
正方形、正六边形
发现三:
正多边形镶嵌的条件：
（1）同一顶点的各角度数和为360度；
（2）各个正多边形的边长要相等。
课后研究题:
（1）设计一幅平面图形铺满地面的美丽图案,与你的同学比一
比,看看谁设计得更有新意。
（2）我们用若干种正多边形能不能同样进行平面镶嵌呢？
如果可以，你试试？