4.4.2对数函数的图象和性质的应用练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案）

对数函数的图象和性质的应用
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x2)＝2f(x)　　　　 B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x)
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln (x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　)
3．若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
4．(2021·安康高一检测)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至8 000，则C大约增加了(lg 2≈0.301 0)(　　)
A．10%　　 B．30%　　 C．60%　　 D．90%
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是________.
6．(2021·扬州高一检测)已知函数f(x)＝lg (2＋x2)，则满足不等式f(2x－1)三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(2021·银川高一检测)设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域．
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最小值．
8．(2021·西安高一检测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(a－1)＜－1，求实数a的取值范围．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数y＝lg (x＋)是(　　)
A．偶函数
B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
2．(多选题)设函数f(x)＝x，下列四个命题正确的是(　　)
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数
D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|>|f(1－a)|
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．使得log2(－x)4．若函数f(x)＝loga(x＋5)＋1(a＞0且a≠1)，图象恒过定点P(m，n)，则m＋n＝________；函数g(x)＝ln (x2＋m)的单调递增区间为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0且a≠1).
(1)若a>1，解不等式f(x)<0.
(2)若函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
6．已知函数f(x)＝lg |x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x2)＝2f(x)　　　　 B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x)
分析选D.由题意，f(x)＝logax，
所以f(2x)＝loga2x＝loga2＋logax
＝f(2)＋f(x)，
f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，
f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，故D是错误的．
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln (x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　)
分析选D.由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B.又x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，排除C.
3．若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
分析选C.根据对数的性质可得－x2＋4x＋5>0，
解得－1要使函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)上单调递增，只需解得≤m<2.
4．(2021·安康高一检测)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至8 000，则C大约增加了(lg 2≈0.301 0)(　　)
A．10%　　 B．30%　　 C．60%　　 D．90%
分析选B.当＝1 000时，C1＝Wlog21 000，
当＝8 000时，C2＝Wlog28 000，
所以＝＝＝≈1.3，所以C大约增加了30%.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是________.
分析令g(x)＝x2－ax＋1(a>0，且a≠1)，
①当a>1时，y＝logax在R＋上单调递增，
所以要使函数有最小值，必须g(x)min>0，所以Δ<0，解得－2②当0答案：16．(2021·扬州高一检测)已知函数f(x)＝lg (2＋x2)，则满足不等式f(2x－1)分析因为函数f(x)＝lg (2＋x2)，满足不等式f(2x－1)答案：(－1，2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(2021·银川高一检测)设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域．
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最小值．
分析(1)由题意得，f(0)＝loga3＋loga3＝2loga3＝2，所以a＝3，所以f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)，
所以解得－3(2)因为f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)
＝log3(3＋x)(3－x)＝log3(9－x2)，
且x∈(－3，3)，所以log3(9－x2)在[0，]上单调递减，所以当x＝时，f(x)在区间[0，]上取得最小值，是log33＝1.
8．(2021·西安高一检测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(a－1)＜－1，求实数a的取值范围．
分析(1)令x＞0，则－x＜0，
f(－x)＝(x＋1)＝f(x)
所以x＞0时，f(x)＝(x＋1)，
则f(x)＝
(2)因为f(x)＝(－x＋1)在(－∞，0]上为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
因为f(a－1)＜－1＝f(1)，所以|a－1|＞1，所以a＞2或a＜0.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数y＝lg (x＋)是(　　)
A．偶函数
B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
分析选B.已知函数的定义域是R，因为f(－x)＝lg ＝lg
＝－lg ＝－f(x)，所以y是奇函数．
2．(多选题)设函数f(x)＝x，下列四个命题正确的是(　　)
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数
D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|>|f(1－a)|
分析选AB.f(x)＝x，x＞0.
函数f(|x|)＝|x|，因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以f(|x|)为偶函数，A正确；
若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，因为a≠b，
所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，
所以a＋b＝(ab)＝0，所以ab＝1.
因此B正确．函数f(－x2＋2x)＝(－x2＋2x)
由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；
若0＜a＜1，所以1＋a＞1－a，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1＋a)－f(1－a)
＝－(1－a2)＜0，即|f(1＋a)|＜|f(1－a)|，因此D不正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．使得log2(－x)分析在同一直角坐标系内画出函数y1＝log2(－x)及y2＝x＋1的图象，如图．
结合定义域及图象知－1答案：－14．若函数f(x)＝loga(x＋5)＋1(a＞0且a≠1)，图象恒过定点P(m，n)，则m＋n＝________；函数g(x)＝ln (x2＋m)的单调递增区间为________．
分析当x＋5＝1时，即x＝－4，不论a为什么时使函数有意义的数，函数值都为1，即恒过(－4，1)，所以m＝－4，n＝1，所以m＋n＝－3；
所以函数g(x)＝ln (x2－4)，
定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，
令u(x)＝x2－4，递增区间为(2，＋∞)，g(u)＝ln u在定义域内为增函数，复合函数g(u(x))根据同增异减性质，函数g(x)递增区间为(2，＋∞).
答案：－3　(2，＋∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0且a≠1).
(1)若a>1，解不等式f(x)<0.
(2)若函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
分析(1)因为a>1，loga(1－ax)<0，
所以loga(1－ax)所以a>1时，不等式的解集为.
(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，而t＝1－ax在区间(0，2]上单调递减，所以00.再由解得06．已知函数f(x)＝lg |x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．
分析(1)要使函数有意义，需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以f(－x)＝f(x).
所以函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示．
(3)由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0).
证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg .
因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1所以|x1|>|x2|>0.所以>1.所以lg >0.所以f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0).